Trigonometrische Funktionen/Zum Nachschlagen

Zum Nachschlagen

• Steckbrief der Sinus- und Kosinusfunktion
• trigonometrische Funktionen im Überblick
• allgemeine Kosinusfunktion

$x\rightarrow a\cdot\cos\Big(b\cdot (x+c)\Big)+d$ mit $a,b,c,d \in \R$ und $a,b\neq 0$

• allgemeine Sinusfunktion

$x\rightarrow a\cdot\sin\Big(b\cdot (x+c)\Big)+d$ mit $a,b,c,d \in \R$ und $a,b\neq 0$

• allgemeine quadratische Funktion in der Scheitelpunktsform mit Scheitelpunkt bei $S(-c|d)$

Scheitelform: $x\rightarrow a \cdot \left(x+c\right)^2 +d$ mit $a,c,d \in \R$ und $a\neq 0$

• Amplitude $A$

Die Amplitude gibt die maximale Auslenkung aus der Ruhelage an.

• Extremum

Ein lokales Extremum einer Funktion $f$ ist eine Stelle $x$, an der $f$ größere oder kleinere Werte besitzt als an allen anderen Stellen einer kleinen Umgebung von $x$.

• Frequenz $f$

Als Frequenz $f$ bezeichnet man die Anzahl der durchlaufenen Schwingungsperioden pro Zeitintervall. Ihre Einheit ist Hertz (abgekürzt Hz). Werden beispielsweise 50 Schwingungsperioden pro Sekunde durchlaufen, so sagt man, die Schwingung hat 50 Hz.

Es gilt: $f = \frac{1}{T}$

( $T$ Schwingungsdauer)

• Hochpunkt

Ein Hochpunkt einer Funktion $f$ ist eine Stelle $x$, an der $f$ größere Werte besitzt als an allen anderen Stellen einer kleinen Umgebung von $x$.

• Kosinusfunktion

Die Funktion $x \rightarrow \cos (x)$ mit $x\in \R$ heißt Kosinusfunktion.

• Kosinuskurve

Der Graph der Kosinusfunktion wird Kosinuskurve genannt.

• Monotonie

Eine Funktion heißt streng monoton wachsend, wenn sie an größeren Stellen größere Werte besitzt. Eine Funktion heißt streng monoton fallend, wenn sie an größeren Stellen kleinere Werte besitzt. Eine Funktion kann in manchen Intervallen streng monoton wachsend und in anderen Intervallen streng monton fallend sein - beispielsweise bei Schwingungen!

• Nullstelle

Ein Wert $x$ heißt Nullstelle der Funktion $f$, wenn $f(x) = 0$ gilt.

• Periode

Der Abstand zweier Orte im gleichen Schwingungszustand wird als Periode bezeichnet. Die Periode der Sinus- und Kosinusfunktion beträgt jeweils $2\pi$.

• Periodendauer $T$

Die Periodendauer oder Schwingungsdauer gibt die Zeit an, die vergeht während ein schwingungsfähiges System eine Schwingungsperiode durchläuft.

• Phasenverschiebung

Als Phase wird jene Zahl bezeichnet, auf die die Sinus- und die Kosinusfunktion angewandt wird. Zwei Funktionen, deren Phasen sich um einen konstanten Wert unterscheiden, beispielsweise $x \rightarrow \sin(2x)$ und $x \rightarrow \sin(2x+3)$ heißen zueinander phasenverschoben. In diesem Beispiel ist die Phasenverschiebung 3.

• Schieberegler

In den GeoGebra-Applets werden häufig Schieberegler verwendet. Diese werden als Linie mit einem Punkt dargestellt. Der Punkt lässt sich mit gedrückter linker Maustaste bewegen.

• Schwingungsdauer $T$

Die Schwingungsdauer oder Periodendauer gibt die Zeit an, die vergeht während ein schwingungsfähiges System eine Schwingungsperiode durchläuft.

• Sinusfunktion

Die Funktion $x \rightarrow \sin (x)$ mit $x\in \R$ heißt Sinusfunktion.

• Sinuskurve

Der Graph der Sinusfunktion wird Sinuskurve genannt.

• Schwingungsperiode

Eine vollständige Schwingungsperiode ist ein Intervall, in dem alle Schwingungszustände einmal durchlaufen werden. Die gesamte Schwingung besteht darin, dass eine Schwingungsperiode nach der anderen durchlaufen wird. Bei der Sinus- und der Kosinusfunktion ist eine Schwingungsperiode ein beliebiges Intervall der Länge $2 \pi$.

• Tiefpunkt

Ein Tiefpunkt einer Funktion $f$ ist eine Stelle $x$, an der $f$ kleinere Werte besitzt als an allen anderen Stellen einer kleinen Umgebung von $x$.

• Wellenlänge $\lambda$ ("lambda")

Die Wellenlänge gibt den Abstand zweier Orte im gleichen Schwingungszustand (z.B. Maxima) an. Achtung: Der Abstand zweier benachbarter Nullstellen ist nur die halbe Wellenlänge!

• Wertemenge

Als Wertemenge bezeichnet man die Menge aller Werte, die eine Funktion annimmt. Beispielsweise besteht die Wertemenge der Sinusfunktion aus allen Werten $y$, die $-1 \le y \le 1$ erfüllen.

• Winkelgeschwindigkeit $\omega$ ("omega")

Ihre Einheit ist $\frac{1}{s}$. Es gilt: $\omega = 2 \pi f = \frac{2\pi}{T}$

( $f$ Frequenz, $T$ Schwingungsdauer)