Flächen und Volumina/Flächen

Info

Überall im Alltag begegnen uns verschiedene Verpackungen. Welche Verpackung verbraucht am meisten Material? Welche schont die Umwelt? Die Oberfläche eines Quaders oder eines Würfels kannst du bereits bestimmen. Auf dieser Seite erkundest du, wie man die Fläche von anderen Prismen sowie Zylindern berechnet.

Erste Erkundungen

Erkundung

Auf dem Bild siehst du verschiedene Verpackungen, die näherungsweise Prismen darstellen. Sammle Ideen, wie du den Materialverbrauch, d.h. die Fläche an verbrauchtem Pappkarton bestimmen kannst. Notiere deine Ideen im Heft und erstelle eine Skizze.

Oberfläche und Körpernetze

Aufgabe 1a

1. Wähle einen der auf dem Bild dargestellten Gegenstände aus.
2. Zeichne ein Körpernetz zu dem von dir ausgewählten Prisma. Beschreibe, in welche Teilflächen sich die Oberfläche des Körpers zerlegen lässt. Überprüfe deine Zeichnung mithilfe des folgenden Applets.
3. Berechne den Flächeninhalt der Oberfläche, indem du den Flächeninhalt der Teilflächen berechnest und die Ergebnisse addierts.

Wiederhole das Vorgehen für die anderen beiden Prismen.

Hinweise zum Applet

1. Klicke einmal auf das Applet. Oben links in der Ecke erscheinen verschiedene Werkzeuge.
2. Zeichne als erstes die Grundfläche mit dem Vielecks-Werkzeug (zweites Symbol von links). Setze dazu die gewünschte Anzahl an Eckpunkten. Die Eckpunkte verbinden sich automatisch.
3. Um aus dem Vieleck ein Prisma zu konstruieren, klicke das Prismen-Werkzeug (drittes Symbol von links) und dann dein Vieleck an. Gib die gewünschte Höhe an.
4. Mit dem Mauszeiger (erstes Symbol von lins) kannst du die Punkt der Grundfläche verschieben und schauen, wie sich das Prisma verändert. Über den Button "Drehen" kannst du dir das Prisma aus verschiedenen Perspektiven ansehen.
5. Um das Körpernetz deines Prismas angezeigt zu bekommen, klicke auf das Prisma-Werkzeug. Hier kannst du die Option "Netz" auswählen. Klicke erst "Netz" und dann dein Prisma an.
6. Willst du ein neues Prisma zeichnen, kannst du das alte mit dem Mülleimer-Symbol löschen.

Sollte das Applet nicht richtig laden, klicke [1].

Du kannst die Ansicht vergrößern, indem du das Bild anklickst.

Vorsicht - Fehlerteufel! In der Lösung zum zweiten Körper fehlt sowohl in der Grafik als auch in der Lösung die obere Fläche mit einem Flächeninhalt von 28 cm².

Aufgabe 1b

Beschreibe, welche Gemeinsamkeiten und Unterschiede bei den Prismen auftreten. Kannst du ein allgemeines Vorgehen erkennen? Notiere deine Beobachtungen im Heft

Oberfläche von Prismen

Joana und Hendrik reflektieren ihr Vorgehen bei der vorhergehenden Aufgabe.

Aufgabe 2

Erkläre mithilfe der von dir in Aufgabe 1 gezeichneten Körpernetze, wie die einzelnen Seitenflächen zusammen gefasst werden können. Stelle eine Formel auf, mit der sich der Flächeninhalt der Mantelfläche (d.h. aller Seitenflächen) in einem beliebigen Prisma berechnen lässt.

Die Lösungen zu Aufgabe 1 zeigen, dass sich die einzelnen Seitenflächen zu einem großen Rechteck zusammenfügen lasssen. Was ist die Länge und was ist die Breite dieses Rechtecks?

Der Umfang der Grundfläche ist bei der Beantwortung der Frage hilfreich.

Merke

Die Oberfläche eines Prismas besteht aus zweimal der gleichen Grundfläche und einem Mantel. Der Mantel setzt sich aus allen Seitenflächen des Prismas zusammen. Für den Oberflächeninhalt gilt also

$O=2 \cdot G + M.$

Damit der Mantel auf die Grundfläche passt, muss die Mantelfläche genauso lang sein wie der Umfang der Grundfläche. Also gilt

$M= U \cdot h.$

Oberfläche von Zylindern

Neben Prismen begegnen uns im Alltag häufig auch Verpackungen, welche die Form eines Zylinders haben. Auch hier besteht die Verpackung aus zwei kongruenten Grundflächen und einem Mantel. Die Grundfläche ist hier durch einen Kreis gegeben. Wie man den Flächeninhaltes eines Kreises bestimmt, hast du bereits auf der Seite Die Kreisfläche erkunden gelernt. Wir schauen uns daher als erstes die Mantelfläche eines Zylinders an.

Aufgabe 3a

Für die Untersuchung von Mantelflächen eignen sich besonders Toilettenpapierrollen oder Küchenrollen. Sie stellen offene Zylinder dar, d.h. sie bestehen nur aus dem Mantel eines Zylinders. Stelle dir vor, du schneidest eine solche Papierrolle von oben nach unten auf. Welche geometrische Figur erhälst du? Stelle Vermutungen auf.

Aufgabe 3b

Beschaffe dir eine (leere oder volle) Rolle Toilettenpapier, eine Scheere und einen Stift.

• Bei einer leeren Rolle: Schneide die Papierrolle möglichst gerade von oben nach unten auf. Biege das Papier gerade.
• Bei einer vollen Rolle: Markiere mit einem Stift das Ende des letzten Blatts. Rolle nun die oberste Schicht Toilettenpapier ab und schneide sie an deiner Markierung ab.

Welche geometrische Figur erhältst du? Vergleiche das Ergebnis mit deinen Vermutungen aus Aufgabe 3a).

Erläutere, welcher Zusammenhang zwischen dem Flächeninhalt dieser Figur und einem Kreis besteht.

Zur Lösung musst du den Buchstabensalat sortieren! übernommen von Christine Staudermann: Inhalt und Drumherum/Rund_um_den_Zylinder

Die Mantelfläche des Zylinders ist ein Rechteck. Die Breite des Rechtecks entspricht der Höhe $h$ des Zylinders. Die Länge des Rechtecks entspricht dem Umfang der Zylindergrundfläche (Kreisumfang). Der Mantelflächeninhalt $M$ ist also das Produkt aus Umfang und Höhe des Zylinders.

Aufgabe

Zeichne einen Zylinder mit Radius $r=2$ cm und Höhe $h=3$ cm in dein Heft. Ergänze das zugehörige Körpernetz. Bestimme den Oberflächeninhalt des Zylinders, indem du die Flächeninhalte von Grundfläche und Mantelfläche berechnest.

Das Körpernetz sollte in etwa so aussehen:
Für die Grundfläche gilt: $G=r^2 \cdot \pi = 2^2 \cdot \pi \approx 12,57$ [cm²]
Für die Mantelfläche gilt:$M=2 \cdot \pi \cdot r \cdot h = 2 \cdot \pi \cdot 2 \cdot 3 =12 \cdot \pi \approx 37,7$ [cm²]

Der Oberflächeninhalt ist also: $O=2 \cdot G + M=2 \cdot 12,57+37,7 =62,84$ [cm²]

Merke

Die Oberfläche eines Zylinders besteht aus zweimal der gleichen Grundfläche, einem Kreis, und einem Mantel. Für den Oberflächeninhalt gilt also

$O=2 \cdot G + M.$

Damit der Mantel auf die Grundfläche passt, muss die Mantelfläche genauso lang sein wie der Umfang des Kreises. Also gilt

$M= U \cdot h = 2 \cdot \pi \cdot r \cdot h.$