Lineare Funktionen im Aktiv-Urlaub/2) Lineare Funktionen

2.1) Lineare Funktionen erkennen und darstellen

Im Aktiv-Urlaub warten verschiedene Aufgaben auf die Klassen.

Lineare Funktionen erkennen - Bootsverleih

Aufgabe 1: Tom und Lisa möchten im Urlaub ein Tretboot ausleihen. Die Grundgebühr beträgt 5€, pro Stunde zahlen sie 2€ Miete.

Schreibe die Aufgabe in dein Heft ab und stelle diesen Zusammenhang in einer Wertetabelle, in einem Graphen und in einer Funktionsgleichung dar.

Kannst du eine Frage für diesen Zusammenhang formulieren? Notiere sie im Heft (falls möglich mit Lösung).

Welche Zuordnung liegt vor? Der Leihdauer x (in h) werden die Kosten y (in €) zugeordnet. Erstellen eine Wertetabelle für 0,1,2,... Stunden und zeichne den Graphen.

Lineare Funktionen erkennen - Apfelschorle

Aufgabe 2: Nach der Bootsfahrt sind sie durstig und kaufen Getränkte. Ein Glas Apfelschorle kostet 1,50€.

Schreibe die Aufgabe jeweils in dein Heft ab und stelle diesen Zusammenhang in einer Wertetabelle, in einem Graphen und in einer Funktionsgleichung dar.

Kannst du eine Frage für diesen Zusammenhang formulieren? Notiere sie im Heft (falls möglich mit Lösung).

Lineare Funktionen erkennen - Pool

Aufgabe 3: Der Pool des Hotels muss geleert werden. Zu Beginn steht das Wasser 2 m hoch. Der Wasserstand sinkt stündlich um 10 cm.

Schreibe die Aufgabe in dein Heft ab und stelle diesen Zusammenhang in einer Wertetabelle, in einem Graphen und in einer Funktionsgleichung dar.

Kannst du eine Frage für diesen Zusammenhang formulieren? Notiere sie im Heft (falls möglich mit Lösung).

Gemeinsamkeiten und Unterschiede

Vergleiche die drei Aufgaben. Welche Gemeinsamkeiten stellst du fest? Welche Unterschiede gibt es? Notiere mindestens eine Gemeinsamkeit und einen Unterschied.

Vergleiche die Graphen und die Funktionsgleichungen miteinander. Fällt dir etwas auf?

Die folgenden Erklärungen zu den Aufgaben 1, 2 und 3 zeigen, dass alle Funktionsgleichungen die Form f(x) = mx + b haben und die Funktionsgraphe immer Geraden sind.

Lineare Funktionen erkennen wir also in den verschiedenen Darstellungsmöglichkeiten wie folgt:

Lineare Funktionen

Eine Funktion, deren Funktionsgleichung die Form f(x) = mx + b hat, heißt lineare Funktion. Der Graph einer linearen Funktion ist immer eine Gerade mit der Steigung m und dem y-Achsenabschnitt b. Der Graph scheidet die y-Achse im Punkt P(0Ib).

Diese Eigenschaften werden in folgendem Lied besungen (hier heißt die Funktionsgleichung f(x) = mx + n (n statt b, du findest in verschiedenen Büchern verschiedene Bezeichnungen). Du musst noch nicht jeden Zusammenhang, der hier genannt wird, verstehen. Vieles davon erarbeitest du auf den nächsten Seiten.

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Übung 1: Lineare Funktionen erkennen

Entscheide in den folgenden Apps, ob die Funktion linear ist oder nicht. In der letzen App gib die Funktionsgleichung an oder lies m und b ab.

2.2) Zusammenhang zwischen Funktionsgleichung und Funktionsgraph

f(x) = mx + b Bedeutung von m und b für den Funktionsgraphen

Damit du einen Eindruck von der Bedeutung der Parameter m (Steigung) und b (y-Achsenabschnitt) der Funktionsgleichung linearer Funktionen f(x) = mx + b erhältst, verändere in der folgenden Animation mithilfe der Schieberegler die Größe von m und b. Notiere deine Beobachtungen stichpunktartig.

Übertrage die Merksätze in dein Heft:

Die Bedeutung von m: Steigende und fallende Geraden

Wir unterscheiden steigende und fallende Geraden. Eine Gerade "steigt", wenn bei steigenden x-Werten auch die y-Werte steigen. Für die Steigung m gilt also:

Ist m > 0, steigt die Funktion.

Ist m < 0, fällt die Funktion.

Anschaulich vorstellen kannst du dir, dass die Funktion steigt, wenn der Wanderer den Berg hochsteigen muss.

Fällt die Funktion, "fällt" der Wanderer bergab.

Übung 2: Steigende und fallende Geraden

Bearbeite die nachfolgenden Apps um dein Wissen über steigende und fallende Geraden und die Bedeutung von m in der Funktionsgleichung.

Die Steigung m linearer Funktionen

Untersuche mithilfe der Animation in GeoGebra die Steigung von Geraden. Du kannst mit den Schiebereglern m verändern. Außerdem kannst du das Steigungsdreieck durch Verschieben der Punkte A und B verändern. Beobachte, was geschieht. Probiere aus.

Beobachtung: Die Steigung m einer linearen Funktion können wir mit einem Steigungsdreieck ermitteln und darstellen. Dazu zeichnen wir von einem beliebigen Punkt auf der Geraden ein Dreieck zu einem anderen Punkt auf der Geraden, bei dem die eine Seite parallel zur x-Achse liegt und die andere parallel zur y-Achse. Gehen wir dabei genau 1 Einheit in x-Richtung, steigt (oder fällt) der y-Wert immer um den Wert m, die Steigung.

Egal, wie das Steigungsdreieck gezeichnet wird, der Quotient aus bleibt immer gleich, dies ist die Steigung m.

Merke: Die Steigung m

Die Steigung m einer linearen Funktion können wir mit einem Steigungsdreieck ermitteln und darstellen. Gehen wir dabei genau 1 Einheit in x-Richtung, steigt (oder fällt) der y-Wert immer um den Wert m, die Steigung.

Es gilt: m=

Schau dazu das nachfolgende Video zu Steigungsdreiecken an:

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Von der Geraden zu Funktionsgleichung

Ablesen der Funktionsgleichung am Funktionsgraphen - Erklärung

Übe das Aufstellen der Funktionsgleichung einer linearen Funktion bei gegebenem Graphen. Bestimme dazu zunächst den y-Achsenabschnitte b und danach die Steigung m mithilfe des Steigungsdreiecks.

Erklärvideo:

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und noch mehr Beispiele:

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Und nun noch einmal übersichtlich als Bild:

leicht: m ist eine natürliche Zahl

mittel: m ist negativ

schwer: m ist ein Bruch

Übung 3 : Bestimmen der Funktionsgleichung einer Geraden

Ordne den Geraden die Funktionsgleichung zu.

leicht (*)

mittel (**)

schwer (***)

Übung 4: Gib die Funktionsgleichung an, die zur Geraden gehört.

Löse S. 126 Nr. 5, 6

S. 129 Nr. 2, 4 und

S. 130 Nr. 6, 7

im Heft.

Öffne das GeoGebra-Applet zu S. 129 Nr. 2 und verändere den Wert des Schiebereglers b.

https://www.geogebra.org/classic/fuuc9dcy

Öffne das GeoGebra-Applet zu S. 129 Nr. 4 und verändere den Wert des Schiebereglers m. Stelle m so ein, dass der Graph g1, g2,... entspricht. Die Funktionsgleichung wird dir angezeigt.

https://www.geogebra.org/classic/qfasm3eg

Für g1 ist das Vorgehen noch einmal in einem Bild gezeigt, für g2, g3, usw. stellen die Schieberegler des GeoGebra-Applets so ein, dass der entsprechende Graph dargestellt ist. Die Funktionsgleichung wird dir dann angezeigt.

https://www.geogebra.org/classic/w8n4uabh

Nutze auch hier das GeoGebra-Applet, um die Graphen nachzustellen und die Funktionsgleichung abzulesen

https://www.geogebra.org/classic/w8n4uabh

Von der Funktionsgleichung zur Geraden

Und nun umgekehrt...

Zeichne zu einer Funktionsgleichung den Graphen.

Dabei gehst du ähnlich vor, wie beim Bestimmen der Funktionsgleichung. 1. Schritt: Zeichne den y-Achsenabschnitt b ein: P(0|b) 2. Schritt: Zeichne das Steigungsdreieck ein. Starte im Punkt P. Der Nenner gibt an, wie viele Einheiten du nach rechts gehst, der Zähler, wie viele Einheiten nach oben (unten). 3. Schritt: Zeichne die Gerade durch die so erhaltenen Punkte.

Die Bilder zeigen das Vorgehen für die Funktionsgleichung f(x) = ${3 \over 5}$x - 1.

Schritt 1

Schritt 2

Schritt 3

Die Videos zeigen das Vorgehen noch einmal:

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Übung 5

Bearbeite S. 126 Nr. 2 (du kannst immer 4 Geraden in ein Koordinatenkreuz zeichnen)

S. 129 Nr. 3, Nr. 5 (du kannst immer 4 Geraden in ein Koordinatenkreuz zeichnen) und

S. 130 Nr. 8.

Nutze bei Bedarf die Tipps.

Gib die Funktionsgleichung bei GeoGebra ein und vergleiche den Verlauf des angezeigten Graphen mit deiner Zeichnung.

Tipp zum Zeichnen der Steigungsdreiecke, wenn m eine ganze Zahl ist(bei a,b und c): Gehe vom Ursprung aus 1 Schritt nach rechts und m Schritte nach oben (m positiv) bzw. nach unten (m negativ)

Tipp zum Zeichnen von Steigungsdreiecken, wenn m ein Bruch ist (bei d bis i): Gehe so viele Schritte, wie der NENNER angibt, nach RECHTS und so viele Schritte wie der ZÄHLER angibt nach OBEN (m positiv) oder UNTEN (m negativ).

Zeichne zuerst den y-Achsenabschnitt b ein, von hier aus zeichne das Steigungsdreieck. Prüfe deine Zeichnung mit GeoGebra.

https://www.geogebra.org/graphing

Statt der Partnerarbeit erstelle eine Learningapp, in der den von dir gezeichneten Graphen die entsprechende Funktionsgleichung zugeordnet werden soll.

2.3) Zusammenhang zwischen Wertetabelle und Funktionsgleichung

Wiederholung: Erstellen einer Wertetabelle mithilfe der Funktionsgleichung

Du hast in den Einführungsbeispielen schon Wertetabellen erstellt. Schauen wir uns das Beispiel zum Bootsverleih noch einmal an. Die Funktionsgleichung lautet f(x) = 2x + 5

Um nun eine Wertetabelle zu erstellen, setze für x verschiedene Werte ein und berechne den zugehörigen y-Wert, den Funktionswert.  Erinnerung: Werte von Termen berechnen (7. Klasse) Das Video fasst das Vorgehen noch einmal zusammen:

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Übung 6: Wertetabelle erstellen

Bearbeite im Buch S. 141 Nr. 2 links und rechts.

Setze für x schrittweise die Zahlen -3; -2; ...; 2; 3 ein und berechne den zugehörigen y-Wert

Gib die Funktionsgleichungen bei GeoGebra ein und prüfe, ob die von dir errechneten Punkte auf dem Graphen der Funktion liegen.

https://www.geogebra.org/graphing

Punktprobe: Liegt der Punkt auf der Geraden?

Bei der Punktprobe entscheidest du rechnerisch, ob ein Punkt auf dem Funktionsgraphen liegt.

Tom und Lisa leihen für 3 Stunden ein Tretboot. Der Bootsverleiher rechnet den Preis 10€ aus. Kann das sein? geg: Punkt A(3|10); Funktion f(x) = 2x + 5 ges: Liegt der Punkt A auf dem Graphen der Funktion?

In der Zeichnung erkennen wir sofort, dass dies nicht der Fall ist.

Punktprobe

Wie können wir rechnerisch prüfen, ob ein Punkt auf dem Graphen der Funktion liegt?

Schreibe die nachfolgende Rechnung in dein Heft.

Gegeben ist die Funktionsgleichung  y = 2x + 5. Liegt der Punkt A(3|10) auf dem Graphen der Funktion?

(Hier ist es leichter y statt f(x) zu schreiben, der Zusammenhang zu den Koordinaten des Punktes sind dann leichter zu erkennen.)

Idee: Setze die Koordinaten des Punktes in die Funktionsgleichung ein und prüfe, ob die Gleichung erfüllt wird.

   y=  2x + 5       A(3|10)

10 = 2·3 + 5

  10 = 6 + 5

  10 = 11 (f)

Es ergibt sich eine falsche Aussage, die Gleichung ist nicht erfüllt, also liegt der Punktnicht auf dem Graphen. Wir prüfen ebenso, ob der Punkt B(4|13) auf der Geraden liegt:

Punktprobe:

  y  =  2x + 5       B(4|13)

13 = 2·4 + 5

13 = 8 + 5

13 = 13 (w)

Es ergibt sich eine wahre Aussage, die Gleichung ist erfüllt, also liegt der Punkt auf dem Graphen.

Das folgende Video fasst noch einmal zusammen:

Zusammenfassung:

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noch mehr Beispiele:

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Fehlende Koordinate eines Punktes der Funktion berechnen

Du kannst mithilfe der Funktionsgleichung fehlende Koordinaten berechnen.

1. Möglichkeit: x-Koordinate ist gegeben

Tom und Lisa leihen ein Tretboot für 1,5 Stunden. Wie viel müssen sie bezahlen?

geg: x = 1,5 und f(x) = 2x+5

ges: zugehöriger y-Wert

Setze die x-Koordinate in die Funktionsgleichung ein und berechne:   f(x) = 2x + 5

   y = 2·1,5 + 5

          = 3 + 5

         = 8                            P(1,5|8)

Sie müssen 8€ bezahlen.

2. Möglichkeit: y-Koordinate ist gegeben:

Tom und Lisa bezahlen 10 €. Wie lange haben sie das Tretboot ausgeliehen? geg: y = 10 und f(x) = 2x+5 ges: zugehörige x-Koordinate Setze die y-Koordinate in die Funktionsgleichung ein und löse nach x auf:

  f(x) = 2x + 5

  10  = 2x + 5      |-5

    5  = 2x             |:2

   2,5 = x P(2,5|10)

Sie haben das Boot für 2,5 Stunden geliehen.

Punktprobe

Wir können rechnerisch prüfen, ob ein Punkt auf dem Graphen der Funktion liegt. Dazu setzen wir die Koordinaten des Punktes P(xIy) in die Funktionsgleichung f(x) = mx + b ein. Der Punkt liegt auf dem Graphen, wenn sich eine wahre Aussage ergibt, die Gleichung also erfüllt ist.

Übung 7: Punktprobe

Prüfe in der folgenden App rechnerisch, ob der Punkt auf dem Graphen der Funktion liegt.

Übung 8: Fehlende Koordinaten bestimmen und Punktprobe

Löse nun S. 137 Nr. 8 und 9.

Aufstellen der Funktionsgleichung durch den Punkt P mit m oder b gegeben

Übung 9: Aufstellen der Funktionsgleichung

Löse S. 130 Nr. 9 und S. 131 Nr. 13. Gegeben ist ein Punkt und die Steigung bzw. der y-Achsenabschnitt b. Wie kannst du vorgehen?

Die vorangegangenen Übungen zur "Punktprobe" können dir helfen:

Sezte in die allgemeine Funktionsgleichung f(x) = mx + b die gegebenen Größen ein und löse nach der gesuchten Größe auf.

Zu Nr. 9: Wenn die Gerade parallel zur Geraden von f(x)= 1,5x + 1 verläuft, haben die Geraden dieselbe Steigung! Also ist m = 1,5 gegeben. Außerdem hast du den Punkt P(2I6) gegeben. Gesucht ist b.

Setze die gegebenen Größen ein und löse nach b auf.

Hilfen bietet das nachfolgende Video:

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Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen bestimmen

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Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen

Für den Schnittpunkt P_y mit der y-Achse (y-Achsenabschnitt) setzen wir x = 0 in die Funktionsgleichung ein berechnen b.

P_y (0Ib)

Für den Schnittpunkt N mit der x-Achse (Nullstelle) setzen wir f(x) = 0 (oder y = 0) in die Funktionsgleichung ein und lösen die Gleichung nach x auf.

N (x_NI0)

Übung 10: Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen

Löse S. 137 Nr. 7

Nullstelle (Schnittpunkt mit der x-Achse): f(x) = 0, also -x+4 = 0

y-Achsenabschnitt (Schnittpunkt mit der y-Achse): x = 0, also f(0) = -0+4

Prüfe dein Ergebnis mithilfe von GeoGebra https://www.geogebra.org/graphing . Gib dort die Funktionsgleichung ein und vergleiche deine rechnerischen Lösungen mit dem Graphen. Wo schneidet der Graph die Koordinatenachsen?

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