Flächen und Volumina/Kreisfläche

Info

Auf dieser Seite erkundest du den Flächeninhalt eines Kreises und findest heraus, wie man diesen berechnen kann.

Erste Erkundung

Mika und Jasmin gehen mit ihrer Familie in der Pizzeria Bella Italia essen. Beide entscheiden sich für eine normal große Pizza Margherita. Die Kellnerin schlägt vor: "Nehmt doch eine große Pizza und teilt sie euch".

Erkundung

Ist der Vorschlag der Kellnerin sinnvoll? Suche nach Möglichkeiten, zwei normale Pizzen und eine große Pizza zu vergleichen.

Überlege dir verschiedene Strategien, den Flächeninhalt eines Kreises zu berechnen. Für die Berechnung des Flächeninhaltes eines Trapezes haben wir Zerlegungs- und Ergänzungsstrategien genutzt.

Die Kreisfläche bestimmen

Mika und Jasmin entscheiden sich dazu, die große Pizza zu teilen. Beim Aufteilen der Pizza auf zwei Teller legen sie mit den einzelnen Pizzastücken verschiedene Muster.

Aufgabe 1

Erkläre, warum die Flächeninhalte beider Figuren gleich sind. Erkläre, wie die neue Anordnung der Pizzastücke zur Berechnung der Kreisfläche genutzt werden kann.

Schaue dir hierfür auch weitere Beispiele für Zerlegungen des Kreises in dem folgenden Applet an. Stelle einen Term zur Berechnung der Kreisfläche auf.

Sollte das Applet nicht richtig laden, klicke [1].

Bei der Erklärung hilft dir der Kreisumfang.

Die Form der aufgeteilten Pizza ist ein Parallelogramm oder - bei ganz feiner Zerlegung - ein Rechteck. Wie berechnest du den Flächeninhalt dieser Figuren?

Erkläre, warum man den Flächeninhalt eines Kreises mit dem Term $r \cdot r \cdot \pi$ berechnen kann.

Die Kreisfläche

Merke

Wenn man sich einen Kreis in viele Stücke zerlegt denkt, kann man seinen Flächeninhalt aus Radius und Umfang berechnen. Für die Berechnung der Kreisfläche gilt dann:

$A= r^2 \cdot \pi$.

Ergänze deinen Regelhefteintrag um eine Skizze und ein Beispiel.

Aufgabe 2

Berechne die Kreisfläche. Runde auf zwei Nachkommastellen.

1. Der Radius des Kreises beträgt $r=3$cm.
2. Der Radius des Kreises beträgt $r=5$mm.
3. Der Radius des Kreises beträgt $d=12$cm.
4. Der Radius des Kreises beträgt $d=8$m.

Lösungen:

1. $A=(3cm)^2 \cdot \pi \approx 28,27cm^2$
2. $A= (5mm)^2 \cdot \pi \approx 78,54mm^2$
3. $A= (\frac{12cm}{2})^2 \cdot \pi \approx 113,1cm^2$
4. $A= (\frac{8m}{2})^2 \cdot \pi \approx 50,27cm$

Aufgabe 3

Vergleiche die Pizzaangebote von Bella Italia. Bei welchem Angebot bekommt man am meisten Pizza für den günstigsten Preis?

Was kostet den den drei Größen jeweils 1 cm² Pizza?

• kleine Pizza: $A=(9cm)^2 \cdot \pi \approx 254,47cm^2$, das sind bei einem Preis von 8,50€ etwa 3,3ct pro 1 cm² Pizza
• mittlere Pizza: $A=(12cm)^2 \cdot \pi \approx 452,39cm^2$, das sind bei einem Preis von 14€ etwa 3,1ct pro 1 cm² Pizza
• große Pizza: $A=(18cm)^2 \cdot \pi \approx 1017,87cm^2$, das sind bei einem Preis von 26,50€ etwa 2,6ct pro 1 cm² Pizza

Die große Pizza ist das günstigste Angebot. Die kleine Pizza ist im Vergleich etwas teurer als die mittlere Pizza.

Hier geht es zu Übungen rund um den Kreis