Bruchteil, Anteil und Ganzes bei der Bruchrechnung

Lernpfad

Herzlich Willkommen in dem Lernpfad "Bruchteil, Anteil und Ganzes bei der Bruchrechnung"!

Dieser Lernpfad wurde erstellt, um dein Wissen und deine Fähigkeiten im Umgang mit dem Bruchteil, Anteil und Ganzem innerhalb der Bruchrechnung zu verbessern.

Info

In einem ersten Abschnitt erhältst du eine kurze Übersicht über Bruchteil, Anteil und Ganzes. Im zweiten Abschnitt wird es darum gehen, dass du Bruchteil, Anteil und Ganzes in gegebenen Situationen erkennen kannst. Der dritte Abschnitt ist dazu da, dass du Zusammenhänge zwischen Bruchteil, Anteil und Ganzes experimentell herausfinden kannst. Zum Schluss wirst du aus zwei der drei Komponenten die Dritte berechnen müssen.

Was sind nochmal Bruchteil, Anteil und das Ganze?

Info

In diesem Abschnitt kannst du dir nochmal an zwei konkreten Beispielen anschauen, was Bruchteil , Anteil und Ganzes sind.

Immer wenn wir einen Bruch gegeben haben, dann können wir den Bruchteil , den Anteil und das Ganze bestimmen. Als Ausgangspunkt dient das Ganze , von dem nur ein bestimmter Teil betrachtet werden soll (der Bruchteil ). Der Anteil stellt immer das Verhältnis zwischen dem Bruchteil und dem Ganzen dar. Der Anteil ergibt sich, indem der Bruchteil durch das Ganze dividiert wird.

In den folgenden zwei Beispielen, kannst du dir diese drei Teile eines Bruches (Bruchteil , Anteil , Ganzes ) mithilfe von zwei Abbildungen anschauen.

Beispiel

Betrachte $\frac{3}{4}$ eines Kreises.

Der gesamte Kreis stellt bei diesem Beispiel das Ganze dar, auf das sich der Bruchteil und der Anteil beziehen. Das Ganze kann nun in 4 gleich große Teile (4 Viertelkreise) unterteilt werden. Dabei ergeben die 3 farbig markierten Teile zusammen den Bruchteil . Der Anteil gibt das Verhältnis zwischen dem Bruchteil und dem Ganzen wieder. Es sind 3 von 4 Viertelkreisen farbig markiert (→ $\frac{3}{4}$)

Im ersten Beispiel wird das Ganze durch eine geometrische Form (Kreis) dargestellt. Du wirst aber auch mit Ganzen arbeiten müssen, welche nur aus einer Menge (Zahl) bestehen. In einem zweiten Beispiel kannst du dir anschauen, was in so einem Fall der Bruchteil , Anteil und das Ganze sind.

Beispiel

Betrachte nun $\frac{3}{4}$ von 12.

Wie in der Überschrift genannt, ist die 12 das Ganze (12 Sterne). $\frac{3}{4}$ ist der Anteil und stellt wieder das Verhältnis zwischen Bruchteil und Ganzen dar. Du kannst die 12 Sterne nun in 4 Gruppen mit jeweils 3 Sternen unterteilen (dies wurde auf der linken Seite getan). Wenn du 3 dieser Gruppen nun farbig markierst, so hast du 9 Sterne markiert. Dies stellt den Bruchteil der 12 Sterne dar.

Du kannst im nachfolgenden Lückentext überprüfen, ob du nun weißt, was Bruchteil , Anteil und Ganzes sind.

Wenn du einen Bruch in einer Sachsituation gegeben hast, dann kannst du bei dem Bruch immer Bruchteil, Anteil und Ganzes betrachten. Das Ganze stellt den Ausgangspunkt dar, auf welchen sich der Bruchteil und der Anteil beziehen. Bei Brüchen wird meist nur ein gewisser Teil des Ganzen betrachtet. Dabei handelt es sich um den Bruchteil. Das Verhältnis zwischen Bruchteil und Ganzem spiegelt sich im Anteil wieder.

Bruchteil, Anteil und Ganzes erkennen

Info

In diesem Abschnitt geht es darum, dass du aus beschriebenen Kontexten den Bruchteil, Anteil und das Ganze erkennen kannst. Nur wenn dir das gelingt, kannst du im weiteren Verlauf mit Bruchteil, Anteil und Ganzem rechnen.

Was ist mein Bruchteil, Anteil und was ist mein Ganzes?

Ganze: $\qquad \qquad$ Bruchteil: $\qquad \qquad$ Anteil: $\quad$ $\frac{3}{8}$

Ganze: $\qquad \qquad$ Bruchteil: $\qquad \qquad$ Anteil: $\quad$$\frac{5}{6}$

Ganze: $\qquad \qquad$ Bruchteil: $\qquad \qquad$ Anteil:$\quad$ $\frac{2}{6} \quad \overset{\text{kürzen}}{\underset{\text{mit 2}}{=}} \quad \frac{1}{3}$

Ganze: $\qquad \qquad$ Bruchteil: $\qquad \qquad$ Anteil:$\quad$ $\frac{2}{6} \quad \overset{\text{kürzen}}{\underset{\text{mit 2}}{=}} \quad \frac{1}{3}$

Ganze: 20 $\qquad \qquad$ Bruchteil: 6 $\qquad \qquad$ Anteil:$\quad$ $\frac{3}{10}$

Ganze: 7 $\qquad \qquad$ Bruchteil: 2 $\qquad \qquad$ Anteil:$\quad$ $\frac{2}{7}$

Ganze: 28 $\qquad \qquad$ Bruchteil: 18 $\qquad \qquad$ Anteil:$\quad$ $\frac{18}{28} \quad \overset{\text{kürzen}}{\underset{\text{mit 2}}{=}} \quad \frac{9}{14}$

Ganze: 25 $\qquad \qquad$ Bruchteil: 5 $\qquad \qquad$ Anteil:$\quad$ $\frac{1}{5}$

Ganze: 120 $\qquad \qquad$ Bruchteil: 20 $\qquad \qquad$ Anteil:$\quad$ $\frac{20}{120} \quad \overset{\text{kürzen}}{\underset{\text{mit 20}}{=}} \quad \frac{1}{6}$

Zusammenhänge erkunden

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In diesem Abschnitt kannst du Zusammenhänge zwischen Bruchteil, Anteil und Ganzem erkunden. Du kannst zum Beispiel herausfinden, auf welche Art und Weise sich der Bruchteil verändert, wenn der Anteil gleich bleibt, aber das Ganze größer oder kleiner wird.

Erkunde einige Zusammenhänge selbstständig

Gehe bei der nun folgenden Übung wie folgt vor:

1. Schaue dir die angefangenen Sätze auf der rechten Seite an
2. Stelle Vermutungen auf, wie sich Bruchteil, Anteil oder Ganzes in den jeweiligen Situationen verändern und schreibe deine Vermutungen auf einem Blatt Papier auf.
3. Untersuche nun die Veränderungen in den Geogebra Applets. Klicke dafür einfach auf diese und verändere mithilfe der Schieberegler die jeweils zugehörige Größe.
4. Vervollständige nun die Sätze und vergleiche sie mit deinen vorher aufgeschriebenen Vermutungen.
5. Überprüfe nun die vervollständigten Sätze. Schaue dir noch einmal die Geogebra Applets genau an, falls die Sätze nicht richtig sind.

Ziel dieser Aufgabe ist es, deine Entdeckungen in Geogebra in Merksätze zu formulieren.

Wird bei einer Aufgabe das Ganze größer, während der Anteil immer gleich bleibt, so wird der Bruchteil größer. Das Verhältnis zwischen Bruchteil und Ganzem bleibt gleich groß. Wird bei einer Aufgabe der Anteil kleiner, während das Ganze immer gleich groß bleibt, so wird der Bruchteil kleiner. Das Verhältnis zwischen Bruchteil und Ganzem wird kleiner. Wird bei einer Aufgabe der Bruchteil größer, während der Anteil immer gleich bleibt, so wird das Ganze größer. Das Verhältnis zwischen Bruchteil und Ganzem bleibt gleich groß. Mithilfe dieses Wissens kannst du bei Aufgaben, bei welchen sich eine der drei Komponenten verändert, während eine zweite gleich bleibt, deine Ergebnisse leichter überprüfen.

Mit Bruchteil, Anteil und Ganzem rechnen

Info

Für diesen Abschnitt ist es wichtig, dass du erkennen kannst, was der Bruchteil, Anteil und das Ganze in einer bestimmten Situation ist. Falls du noch etwas unsicher beim Erkennen von Bruchteil, Anteil und Ganzes bist, dann schau nochmal in dem entsprechenden Abschnitt weiter oben nach.

Der Bruchteil ist gesucht

In diesem Abschnitt ist immer der Anteil und das Ganze gegeben und es wird der Bruchteil gesucht. Wenn du nicht mehr weißt, wie du aus dem Anteil und dem Ganzen den Bruchteil bestimmen kannst, dann schaue in die nachfolgende Erklärung.

Merke

  Der Bruchteil gibt die Anzahl an Teilen wieder, die vom Ganzen ausgewählt werden.
  Er lässt sich berechnen, indem du den Anteil mit dem Ganzen multiplizierst.


Beispiel:

Julia und Marvin besitzen zusammen 6 Mützen. $\frac{2}{3}$ davon gehören Marvin und $\frac{1}{3}$ gehören Julia. Wie viele Mützen gehören Marvin?

Rechnung: Wir multiplizieren $\frac{2}{3}$ mit 6 und erhalten $\frac{2}{3} \cdot 6 = 4$ .
 

Antwort: Marvin besitzt 4 Mützen.

Den Bruchteil berechnen

Berechne nun selbst in deinem Heft den Bruchteil in den dargestellten Aufgaben. Kürze dabei soweit wie möglich.

Nachdem du alle Bruchteile berechnet hast, überprüfe selbst deine Lösung, indem du zu jeder Aufgabe den jeweiligen Bruchteil ziehst.

Wenn du nicht weißt, wie du die Aufgaben lösen kannst, dann schaue dir die versteckte Erklärung direkt über diesen Aufgaben noch einmal genau an.

Merke

  Du multiplizierst einen Bruch mit einer natürlichen Zahl, indem du den Zähler mit der natürlichen Zahl multiplizierst und den Nenner beibehältst.

Beispiel:

Der Bruch $\frac{2}{3}$ soll mit der natürlichen Zahle $6$ multipliziert werden. Wir multiplizieren dann den Zähler ($2$) mit der natürlichen Zahl $6$ und behalten den Nenner ($3$) bei.

→ $\frac{2}{3} \cdot 6 = \frac{2 \cdot 6}{3} = \frac{12}{3} \quad \overset{\text{kürzen}}{\underset{\text{mit 3}}{=}} \quad 4$

Alternativ kannst du schon vorher kürzen.

→ $\frac{2}{3} \cdot 6 \quad \overset{\text{kürzen}}{\underset{\text{mit 3}}{=}} \quad \frac{2}{1} \cdot 2 = \frac{4}{1} = 4$

Merke

  Du kannst einen Bruch kürzen, indem du den Zähler und den Nenner durch die gleiche Zahl dividierst.

Beispiel:

Der Bruch $\frac{16}{18}$ soll gekürzt werden. Sowohl der Zähler (16) als auch der Nenner (18) sind durch 2 teilbar.

→ $\frac{16 : 2}{18 : 2} = \frac{8}{9}$

Ganze: 32 $\qquad$ Anteil: $\frac{3}{8}$

$\frac{3}{8} \cdot 32 = \frac{96}{8} \quad \overset{\text{kürzen}}{\underset{\text{mit 8}}{=}} \quad 12$

oder

$\frac{3}{8} \cdot 32 \quad \overset{\text{kürzen}}{\underset{\text{mit 8}}{=}} \quad \frac{3}{1} \cdot 4 = 12$

Ganze: 60 $\qquad$ Anteil: $\frac{10}{12}$

$\frac{10}{12} \cdot 60 = \quad \overset{\text{kürzen}}{\underset{\text{mit 2}}{=}} \quad \frac{5}{6} \cdot 60 = \frac{300}{6} \quad \overset{\text{kürzen}}{\underset{\text{mit 6}}{=}} \quad 50$

oder

$\frac{10}{12} \cdot 60 = \quad \overset{\text{kürzen}}{\underset{\text{mit 2}}{=}} \quad \frac{5}{6} \cdot 60 \quad \overset{\text{kürzen}}{\underset{\text{mit 6}}{=}} \quad = \frac{5}{1} \cdot 10 = 50$

Ganze: 200 $\qquad$ Anteil: $\frac{3}{10}$

$\frac{3}{10} \cdot 200 = \frac{600}{10} \quad \overset{\text{kürzen}}{\underset{\text{mit 10}}{=}} \quad 60$

oder

$\frac{3}{10} \cdot 200 \quad \overset{\text{kürzen}}{\underset{\text{mit 10}}{=}} \quad \frac{3}{1} \cdot 20 = 60$

Ganze: 36 $\qquad$ Anteil: $\frac{5}{6}$

$\frac{5}{6} \cdot 36 = \frac{180}{6} \quad \overset{\text{kürzen}}{\underset{\text{mit 6}}{=}} \quad 30$

oder

$\frac{5}{6} \cdot 36 \quad \overset{\text{kürzen}}{\underset{\text{mit 6}}{=}} \quad \frac{5}{1} \cdot 6 = 30$

Ganze: 35 $\qquad$ Anteil: $\frac{3}{7}$

$\frac{3}{7} \cdot 35 = \frac{105}{7} \quad \overset{\text{kürzen}}{\underset{\text{mit 7}}{=}} \quad 15$

oder

$\frac{3}{7} \cdot 35 \quad \overset{\text{kürzen}}{\underset{\text{mit 7}}{=}} \quad \frac{3}{1} \cdot 5 = 15$

Das Ganze ist gesucht

In diesem Abschnitt ist immer der Bruchteil und der Anteil gegeben und es wird das Ganze gesucht.

Wenn du nicht mehr weißt, wie du aus dem Bruchteil und dem Anteil das Ganze bestimmen kannst, dann schaue in die nachfolgende Erklärung.

Merke

  Das Ganze stellt die Ausgangsgröße dar.
  Du erhältst das Ganze aus dem Bruchteil und dem Anteil indem du den Bruchteil durch den Anteil dividierst.


Beispiel:

Julia gehören 2 Mützen für den Winter. Das sind $\frac{1}{3}$ aller Mützen, die sie und ihr Bruder Marvin gemeinsam besitzen. Wie viele Mützen haben die beiden zusammen?

Rechnung: Wir teilen 2 durch $\frac{1}{3}$ und erhalten $2 : \frac{1}{3} = 2 \cdot \frac{3}{1} = 6$.
 

Antwort: Den beiden gehören zusammen 6 Mützen.

Das Ganze berechnen

Berechne nun selbst in deinem Heft das Ganze in den dargestellten Aufgaben.

Nachdem du alle Ganze berechnet hast, überprüfe selbst deine Lösung, indem du zu jeder Aufgabe das jeweilige Ganze ziehst.

Wenn du nicht weißt, wie du die Aufgaben lösen kannst, dann schaue dir die versteckte Erklärung direkt über diesen Aufgaben noch einmal genau an.

Merke

  Du kannst eine natürliche Zahl durch einen Bruch dividieren, indem du die natürliche Zahl mit dem Kehrbruch des gegebenen Bruchs multiplizierst. Der Kehrbruch zu einem gegebenen Bruch erhältst du, indem du Zähler und Nenner des Bruchs vertauschst.

Beispiel:

Die natürliche Zahl 2 soll durch $\frac{2}{4}$ dividiert werden. Der Kehrbruch von $\frac{2}{4}$ ist $\frac{4}{2}$. Wir multiplizieren nun 2 mit dem Kehrbruch ($\frac{2}{4}$)

→ $2 : \frac{2}{4} = 2 \cdot \frac{4}{2} = \frac{8}{2} \quad \overset{\text{kürzen}}{\underset{\text{mit 2}}{=}} \quad 4$

Auch hierbei kann schon früher gekürzt werden $\left(2 : \frac{2}{4} = 2 \cdot \frac{4}{2} \quad \overset{\text{kürzen}}{\underset{\text{mit 2}}{=}} \quad \frac{4}{1} \cdot 1 = 4 \right)$

Bruchteil: 8 $\qquad$ Anteil: $\frac{1}{9}$

$8 : \frac{1}{9} = 8 \cdot \frac{9}{1} = \frac{72}{1} = 72$

Bruchteil: 18 $\qquad$ Anteil: $\frac{2}{5}$

$18 : \frac{2}{5} = 18 \cdot \frac{5}{2} = \frac{90}{2} \quad \overset{\text{kürzen}}{\underset{\text{mit 2}}{=}} \quad 45$

oder

$18 : \frac{2}{5} = 18 \cdot \frac{5}{2} \quad \overset{\text{kürzen}}{\underset{\text{mit 2}}{=}} \quad 9 \cdot \frac{5}{1} \quad \overset{\text{kürzen}}{\underset{\text{mit 2}}{=}} \quad 45$

Bruchteil: 15 $\qquad$ Anteil: $\frac{5}{9}$

$15 : \frac{5}{9} = 15 \cdot \frac{9}{5} = \frac{135}{5} \quad \overset{\text{kürzen}}{\underset{\text{mit 5}}{=}} \quad 27$

oder

$15 : \frac{5}{9} = 15 \cdot \frac{9}{5} \quad \overset{\text{kürzen}}{\underset{\text{mit 5}}{=}} \quad 3 \cdot \frac{9}{1} = 27$

Bruchteil: 22 $\qquad$ Anteil: $\frac{4}{6}$

$22 : \frac{4}{6} \quad \overset{\text{kürzen}}{\underset{\text{mit 2}}{=}} \quad 22: \frac{2}{3} = 22 \cdot \frac{3}{2} = \frac{66}{2} \quad \overset{\text{kürzen}}{\underset{\text{mit 2}}{=}} \quad 33$

oder

$22 : \frac{4}{6} \quad \overset{\text{kürzen}}{\underset{\text{mit 2}}{=}} \quad 22: \frac{2}{3} = 22 \cdot \frac{3}{2} \quad \overset{\text{kürzen}}{\underset{\text{mit 2}}{=}} \quad 11 \cdot \frac{3}{1} = 33$

Bruchteil: 9 $\qquad$ Anteil: $\frac{3}{4}$

$9 : \frac{3}{4} = 9 \cdot \frac{4}{3} = \frac{36}{3} \quad \overset{\text{kürzen}}{\underset{\text{mit 3}}{=}} \quad 12$

oder

$9 : \frac{3}{4} = 9 \cdot \frac{4}{3} \quad \overset{\text{kürzen}}{\underset{\text{mit 3}}{=}} \quad 3 \cdot \frac{4}{1} = 12$

Der Anteil ist gesucht

In diesem Teil ist immer der Bruchteil und das Ganze gegeben und es wird der Anteil gesucht.

Wenn du nicht mehr weißt, wie du aus dem Bruchteil und dem Ganzen den Anteil bestimmen kannst, dann schaue in die nachfolgende Erklärung.

Merke

  Der Anteil stellt das Verhältnis zwischen dem Bruchteil und dem Ganzen dar.
  Er lässt sich berechnen, indem du den Bruchteil durch das Ganze dividierst.

Beispiel:

Julia und Marvin besitzen zusammen 6 Mützen. Vier davon gehören Marvin und zwei gehören Julia. Wie groß ist der Anteil von Julias Mützen an allen Mützen der beiden?

Rechnung: Wir teilen 2 durch 6 und erhalten $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
 

Antwort: Julia besitzt $\frac{1}{3}$ aller Mützen der beiden.

Den Anteil berechnen

Berechne nun selbst in deinem Heft die Anteile der dargestellten Aufgaben. Kürze dabei soweit wie möglich.

Nachdem du alle Anteile berechnet hast, überprüfe selbst deine Lösung, indem du zu jeder Aufgabe den jeweiligen Anteil ziehst.

Wenn du nicht weißt, wie du die Aufgaben lösen kannst, dann schaue dir die versteckte Erklärung direkt über diesen Aufgaben noch einmal genau an.

Beachte, dass Noah ebenfalls einen Teil der Schokolade bekommt.

Ganze: 75 $\qquad$ Bruchteil: 45

$\frac{45}{75} \quad \overset{\text{kürzen}}{\underset{\text{mit 15}}{=}} \quad \frac{3}{5}$

Ganze: 360 $\qquad$ Bruchteil: 360-280=80

$\frac{80}{360} \quad \overset{\text{kürzen}}{\underset{\text{mit 40}}{=}} \quad \frac{2}{9}$

Ganze: 26 $\qquad$ Bruchteil: 8

$\frac{8}{26} \quad \overset{\text{kürzen}}{\underset{\text{mit 2}}{=}} \quad \frac{4}{13}$

Ganze: 28 $\qquad$ Bruchteil: 10

$\frac{10}{28} \quad \overset{\text{kürzen}}{\underset{\text{mit 2}}{=}} \quad \frac{5}{14}$

Ganze: 24 $\qquad$ Bruchteil: 4

$\frac{4}{24} \quad \overset{\text{kürzen}}{\underset{\text{mit 4}}{=}} \quad \frac{1}{6}$

Teste zum Schluss dein Wissen

Du kannst bei gegebenen Situationen erkennen, was Bruchteil, Anteil und Ganzes sind und nach welcher dieser drei Größen gefragt ist? Zusätzlich kannst du den Bruchteil, Anteil und das Ganze berechnen, wenn diese gesucht sind?

Dann teste in dem folgenden Quiz dein können und schaffe es Bruch-Millionär zu werden!

Berechne dafür die Ergebnisse auf einem Blatt Papier und kreuze die richtige Antwort an.

Viel Erfolg!

Bruchteil: $8$ $\qquad$ Anteil: $\frac{4}{7}$

Ganze ist gesucht:

$8 : \frac{4}{7} = 8 \cdot \frac{7}{4} = \frac{56}{4} \quad \overset{\text{kürzen}}{\underset{\text{mit 4}}{=}} \quad 14$

oder

$8 : \frac{4}{7} = 8 \cdot \frac{7}{4} \quad \overset{\text{kürzen}}{\underset{\text{mit 4}}{=}} \quad 2 \cdot \frac{7}{1} = 14$

Ganze: $34$ $\qquad$ Bruchteil: $24$

Anteil ist gesucht:

$\frac{24}{34} \quad \overset{\text{kürzen}}{\underset{\text{mit 2}}{=}} \quad \frac{12}{17}$

Ganze: $20$ $\qquad$ Anteil: Es gibt $\frac{2}{10}$ Rabatt auf den Schal, also beträgt der noch zu zahlende Anteil $1-\frac{2}{10}=\frac{8}{10}$

Bruchteil ist gesucht:

$20 \cdot \frac{8}{10} \quad \overset{\text{kürzen}}{\underset{\text{mit 2}}{=}} \quad 20 \cdot \frac{4}{5} \quad \overset{\text{kürzen}}{\underset{\text{mit 5}}{=}} \quad 4 \cdot \frac{4}{1} = 16$

oder

$20 \cdot \frac{8}{10} \quad \overset{\text{kürzen}}{\underset{\text{mit 10}}{=}} \quad 2 \cdot \frac{8}{1} = 16$

Ganze: $24$ $\qquad$ Anteil von Amy: $\frac{3}{8}$ $\quad$ Anteil von Emil: $\frac{1}{3}$

Um den Bruchteil von Alicia zu berechnen, werden erst die Bruchteile von Amy und Emil berechnet und die Summe der beiden von der Gesamtanzahl der Stimmen subtrahiert.

Bruchteil von Amy:

$24 \cdot \frac{3}{8} \quad \overset{\text{kürzen}}{\underset{\text{mit 8}}{=}} \quad 3 \cdot \frac{3}{1} = 9$

Bruchteil von Emil:

$24 \cdot \frac{1}{3} \quad \overset{\text{kürzen}}{\underset{\text{mit 3}}{=}} 8 \cdot \frac{1}{1} = 8$

Zusammen haben Amy und Emil bei der Klassensprecherwahl 17 Stimmen erhalten. Alicia hat alle anderen Stimmen bekommen, daher ist der Bruchteil von Alicia:

$24-17=7$

Bruchteil: $140+70=210$ $\qquad$ Anteil: $\frac{3}{7}$

Ganze ist gesucht:

$210 : \frac{3}{7} = 210 \cdot \frac{7}{3} \quad \overset{\text{kürzen}}{\underset{\text{mit 3}}{=}} \quad 70 \cdot \frac{7}{1} = 490$

Ganze: $390$ $\qquad$ Bruchteil: $390-70-50=270$

Anteil ist gesucht:

$\frac{270}{390} \quad \overset{\text{kürzen}}{\underset{\text{mit 30}}{=}} \quad \frac{9}{13}$