Benutzer:PascalHänle/Grundvorstellungen zum Ableitungsbegriff/Die Ableitung als Steigung der Tangente

Info

In diesem Abschnitt werden Sie sich die Grundvorstellung der Ableitung als Steigung der Tangente selbst erarbeiten. Tangenten haben Sie bereits in der Sekundarstufe 1 im Zusammenhang mit Kreisen kennengelernt. In diesem Abschnitt wird diese bereits vorhandene Vorstellung auf das analytische erweitert. Als Vorwissen sollten Sie über Kenntnisse von Sekanten, linearer Funktionen und des Differenzenquotienten verfügen. Sollten die Hilfen auf dieser Seite nicht genügen, wird auf die Seite Vorwissen verwiesen.

Die Tangente

Aufgabe 2.1

a) In diesem Applet sehen Sie zwei verschiedene Tangenten. Nennen Sie Unterschiede und Gemeinsamkeiten der beiden Tangenten

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b) Zoomen Sie in diesem Applet in den Berührpunkt der Tangente und beschreiben Sie was Sie sehen.

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c) Zoomen Sie in diesem Applet in den Berührpunkt der Tangente und beschreiben Sie was Sie sehen.

Merksatz

d) Ergänzen Sie zu den Gemeinsamkeiten aus Aufgabe a) was Ihnen in Aufgabe b) und c) aufgefallen ist.

Die Tangente als Schmiegegerade

Die Eigenschaft der Tangente sich dem Graphen einer Funktion in einer kleinen Umgebungen anzupassen, wird als die ,,Schmiegeeigenschaft" der Tangente bezeichnet.

e) Treffen Sie eine Aussage über die Steigung der Tangente und die Steigung der Funktion im Berührpunkt mit der Tangente.

Die Steigung einer Sekante

Aufgabe 2

a) Geben Sie die Definition einer Sekante, wie Sie sie im obigen Bild zu sehen ist an.

Eine Sekante ist eine Gerade, die den Graphen einer Funktion in (mindestens) zwei Punkten schneidet.

Merksatz

b) Geben Sie an wie sich die Steigung $m$ einer Sekante der Funktion $f$ durch die Punkte $P(x_0|f(x_0))$ und $Q(x|f(x))$ allgemein berechnen lässt.

Der Differenzenquotient

Die Steigung des Graphen einer linearen Funktion kann mit Hilfe des Differenzenquotienten berechnet werden.

Ist eine Funktion $f$ auf einem Intervall $[x_0;x]$ definiert, so gibt der Differenzenquotient

$\frac{\Delta{y}}{\Delta{x}}=\frac{f(x_0)-f(x)}{x_0-x}$ die Steigung $m$ der Geraden durch die Punkte $A=(x_0|f(x_0))$ und $B=(x|f(x))$ an.

Die Differenzen können auch als $\Delta{y}$und $\Delta{x}$geschrieben werden. Der griechische Großbuchstabe Delta steht hier als Symbol für die Differenz der x- und y-Werte.

c) Berechnen Sie in diesem Applet die Steigung der Sekante durch die Punkte P und Q.

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Die Steigung der Tangente

Aufgabe 2.3

Wir betrachten die Funktion $f(x)=x^3+x$, den festen Punkt $P(x_0|f(x_0))$ mit $x_0=1$und den flexiblen Punkt $Q(x|f(x))$.
Nähern Sie den Punkt Q in 4 Schritten so nahe wie es das Applet zulässt dem Punkt P.
Halten Sie die Schritte in folgender Tabelle schriftlich fest. Entnehmen Sie die benötigten Werte dem Applet.

zum Applet

Tabelle: Aufgabe 3

	$x-x_0$	$f(x)-f(x_0)$	$\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$
Schritt 1
Schritt 2
Schritt 3
Schritt 4

Aufgabe 2.4

Beschreiben Sie auf was zu achten ist, wenn mit Hilfe der Steigung der Sekante durch zwei Punkte der Funktion die Steigung der Tangente möglichst genau bestimmen will.

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