Benutzer:PascalHänle/Grundvorstellungen zum Ableitungsbegriff/Zusammenfassung Grundvorstellungen zum Ableitungsbegriff

Info

Auf dieser Seite finden Sie die Grundvorstellungen, die Sie sich in diesem Lernpfad selbst erschließen können in einer detaillierten Zusammenfassung.

Die Ableitung

überschneidungen, keine getrennt zu betrachten, Differenzierbar, zwei mathematische definitionen

Die Ableitung als lokale (momentane) Änderungsrate

Die Grundvorstellung der Ableitung als lokale oder auch momentane Änderungsrate baut auf dem Verständnis von Änderungsprozessen auf, die bereits in der Sekundarstufe 1 behandelt wurden. Es wird nun also neben der absoluten Änderung und der mittleren (durchschnittlichen) Änderungsrate auch die lokale Änderungsrate beschrieben.

Wie auch in der Bearbeitung des Lernpfades lässt sich diese Grundvorstellung am besten mit einem Weg-Zeit-Zusammenhang erschließen.

So entspricht im Kontext eines Weg-Zeit-Zusammenhangs die absolute Änderung der Wegzunahme $f(x_1)-f(x_0)$vom Zeitpunkt $x_0$bis $x_1$die mittlere Änderungsrate $\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}$der mittleren (durchschnittlichen) Geschwindigkeit im Intervall $[x_0,x_1]$. Da sich die mittlere Änderungsrate über ein Steigungsdreieck, also über den Differenzenquotieten berechnen lässt, ist sie graphisch mit der Steigung der Sekante zu deuten.

Durch sukzessive Verkleinerung dieses Intervalls lässt sich dann einer Stelle $x_0$eine lokale (momentane) Änderungsrate $f'(x_0) = \lim_{x_1\to x_0} \frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}$zuschreiben, die der momentanen Geschwindigkeit entspricht. Die Verkleinerung des Intervalls kann sowohl tabellarisch (siehe Aufgabe ??) als auch graphisch-dynamisch (siehe Aufgabe ??) erfolgen. Die lokale Änderungsrate ist dementsprechend graphisch als die Steigung des Graphen an der Stelle $x_0$, also der Steigung der Tangente im Berührpunkt $P(x_0|f(x_0)$zu interpretieren.

Bilder hinzufügen.

Die Ableitung als Steigung der Tangente

Wie der Name schon sagt, ist bei dieser Grundvorstellung die Ableitung als Steigung der Tangente zu interpretieren. Es gilt also die bereits vorhandene Vorstellung der Tangente, die im Zusammenhang mit Kreisen erworben wurde, auf das Analytische zu erweitern.

In der Kreisgeometrie der Sekundarstufe 1 wurde die Tangente als eine Gerade definiert, die genau einen gemeinsamen Punkt (Berührpunkt) mit dem Kreis hat. In der Analysis hingegen ist die Tangente von $f$ an der Stelle $x_0$die Gerade, die den Graphen von $f$berührt und die gleiche Steigung wie $f$an dieser Stelle hat.

Die Ableitung $f'(x_0)$ entspricht also der Steigung von $f$an der Stelle $x_0$und ebenso der Steigung der Tangente von $f$an der Stelle $x_0$. Veranschaulichen lässt sich dies durch das Funktionenmikroskop (Aufgabe ??), das bei starkem Hineinzoomen in einen Graph zeigt wie sich die Tangente an den Graphen anschmiegt und letztlich nicht mehr von ihm zu unterscheiden ist.

3 Bilder einfügen.

Hergeleitet wird die Ableitung, also die Steigung der Tangente bei dieser Grundvorstellung über die Steigung von Sekanten.