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===Die Ableitung als lokale Änderungsrate===
===Die Ableitung als lokale Änderungsrate===
Die Grundvorstellung der Ableitung als lokale Änderungsrate baut auf dem Verständnis von Änderungsprozessen auf, die bereits in der Sekundarstufe 1 behandelt wurden. Es wird nun also neben der absoluten Änderung <math>f(x_1)-f(x_0)</math>und der mittleren (durchschnittlichen) Änderungsrate <math>\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0} </math>die lokale Änderungsrate <math>f'(x_0) = \lim_{x_1\to x_0} \frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}</math>beschrieben.  
Die Grundvorstellung der Ableitung als lokale Änderungsrate baut auf dem Verständnis von Änderungsprozessen auf, die bereits in der Sekundarstufe 1 behandelt wurden. Es wird nun also neben der absoluten Änderung und der mittleren (durchschnittlichen) Änderungsrate die lokale Änderungsrate beschrieben.
 
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Wie auch in der Bearbeitung des Lernpfades lässt sich diese Grundvorstellung am besten mit einem Weg-Zeit-Zusammenhang erschließen.  
Wie auch in der Bearbeitung des Lernpfades lässt sich diese Grundvorstellung am besten mit einem Weg-Zeit-Zusammenhang erschließen.  


So entspricht im Kontext eines Weg-Zeit-Zusammenhangs die '''absolute Änderung''' der '''Wegzunahme''' vom Zeitpunkt <math>x_0
So entspricht im Kontext eines Weg-Zeit-Zusammenhangs die '''absolute Änderung''' der '''Wegzunahme''' <math>f(x_1)-f(x_0)</math>vom Zeitpunkt <math>x_0
</math>bis <math>x_1</math>die '''mittlere Änderungsrate''' der '''mittleren (durchschnittlichen) Geschwindigkeit''' im Intervall <math>[x_0,x_1]</math>.  
</math>bis <math>x_1</math>die '''mittlere Änderungsrate''' <math>\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0} </math>der '''mittleren (durchschnittlichen) Geschwindigkeit''' im Intervall <math>[x_0,x_1]</math>. Da sich die mittlere Änderungsrate über ein Steigungsdreieck, also über den Differenzenquotieten berechnen lässt, ist sie graphisch mit der Steigung der Sekante zu deuten.   
 
Durch sukzessive Verkleinerung dieses Intervalls lässt sich dann einer Stelle <math>x_0</math>eine '''lokale (momentane) Änderungsrate''' zuschreiben, die der '''momentanen Geschwindigkeit entspricht.'''  
 


Durch sukzessive Verkleinerung dieses Intervalls lässt sich dann einer Stelle <math>x_0</math>eine '''lokale (momentane) Änderungsrate''' <math>f'(x_0) = \lim_{x_1\to x_0} \frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}</math>zuschreiben, die der '''momentanen Geschwindigkeit entspricht.''' Die Verkleinerung des Intervalls kann sowohl tabellarisch (siehe Aufgabe ??) als auch graphisch-dynamisch (siehe Aufgabe ??) erfolgen. Die lokale Änderungsrate ist dementsprechend graphisch als die '''Steigung des Graphen an der Stelle''' <math>x_0
</math>, also der '''Steigung der Tangente''' im Berührpunkt <math>P(x_0|f(x_0) </math>zu interpretieren. 


Der Begriff der Änderungsrate beruht auf vielfältigen Erfahrungen mit der Beschreibung von Änderungsprozessen. In der Sekundarstufe I wird neben der absoluten Änderung f.x1/ � f.x0/ auch die relative (oder auch mittlere) Änderungsrate f.x1/�f.x0/ x1�x0 betrachtet, beispielsweise bei der Diskussion über Durchschnittsgeschwindigkeiten oder bei derBerechnungvonGeradensteigungenmithilfevon Steigungsdreiecken.


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Mittlere Änderungsraten beziehen sich immer auf ein Intervall und können mithilfe des Differenzenquotienten berechnet werden. Dieses Intervall kann systematisch verkleinert werden, sodass man letztlich einer Stelle ein lokales Änderungsverhalten mithilfe des Grenzwertes zuschreiben kann.
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Version vom 16. August 2019, 10:20 Uhr

Info

Auf dieser Seite finden Sie die Grundvorstellungen, die Sie sich in diesem Lernpfad selbst erschließen können in einer detaillierten Zusammenfassung.

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Die Ableitung als lokale Änderungsrate

Die Grundvorstellung der Ableitung als lokale Änderungsrate baut auf dem Verständnis von Änderungsprozessen auf, die bereits in der Sekundarstufe 1 behandelt wurden. Es wird nun also neben der absoluten Änderung und der mittleren (durchschnittlichen) Änderungsrate die lokale Änderungsrate beschrieben.

Wie auch in der Bearbeitung des Lernpfades lässt sich diese Grundvorstellung am besten mit einem Weg-Zeit-Zusammenhang erschließen.

So entspricht im Kontext eines Weg-Zeit-Zusammenhangs die absolute Änderung der Wegzunahme vom Zeitpunkt bis die mittlere Änderungsrate der mittleren (durchschnittlichen) Geschwindigkeit im Intervall . Da sich die mittlere Änderungsrate über ein Steigungsdreieck, also über den Differenzenquotieten berechnen lässt, ist sie graphisch mit der Steigung der Sekante zu deuten.

Durch sukzessive Verkleinerung dieses Intervalls lässt sich dann einer Stelle eine lokale (momentane) Änderungsrate zuschreiben, die der momentanen Geschwindigkeit entspricht. Die Verkleinerung des Intervalls kann sowohl tabellarisch (siehe Aufgabe ??) als auch graphisch-dynamisch (siehe Aufgabe ??) erfolgen. Die lokale Änderungsrate ist dementsprechend graphisch als die Steigung des Graphen an der Stelle , also der Steigung der Tangente im Berührpunkt zu interpretieren.


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