Benutzer:PascalHänle/Grundvorstellungen zum Ableitungsbegriff/Die Ableitung als Steigung der Tangente

Info

In diesem Abschnitt werden Sie sich die Grundvorstellung der Ableitung als Steigung der Tangente selbst erarbeiten. Tangenten haben Sie bereits in der Sekundarstufe 1 im Zusammenhang mit Kreisen kennengelernt. In diesem Abschnitt wird diese bereits vorhandene Vorstellung auf das analytische erweitert. Als Vorwissen sollten Sie über Kenntnisse von Sekanten, linearer Funktionen und des Differenzenquotienten verfügen. Sollten die Hilfen auf dieser Seite nicht genügen, wird auf die Seite Vorwissen verwiesen.

Die Tangente

Sie hatten bereits in der Sekundarstufe 1 mit Tangenten zu tun und haben diese im Zusammenhang mit kreisen kennengelernt.

Aufgabe 1

a) In diesem Applet sehen Sie zwei verschiedene Tangenten. Nennen Sie Unterschiede und Gemeinsamkeiten der beiden Tangenten

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b) Zoomen Sie in diesem Applet in den Berührpunkt der Tangente und beschreiben Sie was Sie sehen.

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c) Zoomen Sie in diesem Applet in den Berührpunkt der Tangente und beschreiben Sie was Sie sehen.

Merksatz

d) Ergänzen Sie zu den Gemeinsamkeiten aus Aufgabe a) was Ihnen in Aufgabe b) und c) aufgefallen ist.

Die Tangente als Schmiegegerade

Die Eigenschaft der Tangente sich dem Graphen einer Funktion in einer kleinen Umgebungen anzupassen, wird als die ,,Schmiegeeigenschaft" der Tangente bezeichnet.

Die Steigung einer Sekante

Aufgabe 2

a) Wie ist eine Sekante,wie Sie sie im obigen Bild sehen können, definiert?

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b) Berechnen Sie in diesem Applet die Steigung der Sekante durch die Punkte P und Q.

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c) Stellen Sie die allgemeine Gleichung zur Berechnung der Steigung von Sekanten auf.

Die Steigung der Tangente

In dieser Aufgabe werden Sie sich die Berechnung der Steigung von Tangenten über den Differenzenquotienten herleiten.

Aufgabe 3

Wir betrachten die Funktion $f(x)=x^3+x$, den festen Punkt $P(x_0|f(x_0))$ mit $x_0=1$und den flexiblen Punkt $Q(x|f(x))$.
a) Nähern Sie den Punkt Q so nahe wie es das Applet zulässt dem Punkt P.
Tuen Sie dies, indem Sie in 4 Schritten die Größe $x-x_0$ verkleinern.
Nutzen Sie hierfür die folgende Tabelle und entnehmen Sie die benötigten Werte dem Applet.

Zur Tabelle und zum Applet

Aufgabe 4

Schätzen Sie in folgenden Applets durch Anlegen eines Stifts auf den Bildschirm die Steigung der Tangente im Punkt P.
Lassen Sie sich dann die Lösung anzeigen.

Applets