Benutzer:PascalHänle/Grundvorstellungen zum Ableitungsbegriff/Grundwissen - Zusammenfassung

Auf dieser Seite werden alle Voraussetzung wiederholt, die du zur Bearbeitung des Lernpfades benötigst.

Wiederholung

Lineare Funktionen

Lineare Funktion sind besondere Funktionen, die eine Funktionsgleichung der Form $f(x)= m*x+b$oder $y=m*x+b$haben. Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade. Die Zahl $m$gibt den Wert der Steigung an und die Zahl $b$gibt den y-Wert des Schnittpunkts der Geraden mit der y-Achse an.

Der Differenzenquotient

Die Steigung des Graphen einer linearen Funktion oder die Steigung einer Geraden durch die Punkte A und B kann mit Hilfe des Differenzenquotienten berechnet werden.

Ist eine Funktion f auf einem Intervall $[a;b]$ definiert, so gibt der Differenzenquotient

$\frac{\Delta{y}}{\Delta{x}}=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ die Steigung $m$ der Geraden durch die Punkte $A=(a|f(a))$ und $B=(b|f(b))$ an.

Die Differenzen können auch als $\Delta{y}$und $\Delta{x}$geschrieben werden. Der griechische Großbuchstabe Delta steht hier als Symbol für die Differenz der x- und y-Werte.

Beispiele:

Beispiel 1: $m=\frac{\Delta{y}}{\Delta{x}}=\frac{1}{2}=0,5$ Beispiel 2: $m=\frac{\Delta{y}}{\Delta{x}}=\frac{-2}{1,5}=-1\frac{1}{3}$

Die h - Schreibweise

Anstatt die Differenz $x_1-x_0=\Delta{x}$in Relation zur Änderung der y-Werte $f(x_1)-f(x_0)$ zu setzen, kann man den Differenzenquotienten auch wie folgt schreiben:

$\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$

Die mittlere Änderungsrate

Mit Änderungsrate ist eine relative Änderung eines Bestandes zu dessen abhängiger Größe zu verstehen. Beispiele für für solche Bestandsgrößen und Änderungen sind in folgender Tabelle illustriert.

Bestandsgröße	Zuflüsse	Abflüse
Anzahl der Schüler	Einschulungen	Schulabgänger
Treibstoffmenge im Tank	Tanken an der Tankstelle	Treibstoffverbrauch
Kontostand	Zubuchung	Abbuchung
Anzahl der Hotelgäste	ankommende Gäste	abreisende Gäste
Staatsverschuldung	Staatseinnahmen	Staatsausgaben

Beispiel

Bei einem Experiment wurde die Temperatur einer Flüssigkeit in 10 Minuten Abständen gemessen. Die mittlere Änderungsrate der Temperatur lässt sich nun mit Hilfe des Differenzenquotient berechnen:

$\frac{\Delta{y}}{\Delta{x}}=\frac{T(b)-T(a)}{b-a}=\frac{9 C}{20 min}=0,45\frac{C}{min}$