Trigonometrische Funktionen/Didaktischer Kommentar

• Zurück zur Einführung

---

Kurzübersicht

Der Lernpfad besteht aus zwei unabhängigen Mini-Lernpfaden, die Station 1 und 2 genannt werden, sowie Anwendungen mit vertiefenden Aufgaben.

Station 1: Einfluss der Parameter Station 2: Bestimmung der Funktionsgleichung und mehr Anwendungen Schulstufe 6. Schulstufe in Österreich bzw. 10. Jahrgangsstufe in Deutschland Unterrichtsfächer Mathematik Mathematik Mathematik und Physik Dauer 2-3 Stunden 1-2 Stunden 1-2 Stunden Technische Voraussetzungen* Internet und Java, YouTube für Avatar und Videos Medien Java-Applets, GeoGebra, Avatar, Bilder Java-Applets, GeoGebra, Avatar, Bilder Java-Applets, GeoGebra, Avatar, Bilder, Videos Lernziele Erkennen der Auswirkung der Variation von Parametern im Funktionsterm auf die Graphen der Sinus- und Kosinusfunktion. Bestimmung der Parameter bzw. des Funktionsterms aus den Gaphen der Sinus- und Kosinusfunktion. Festigung der in Station 1 und 2 erworbenen mathematischen Kenntnisse und Identifikation unterschiedlicher Variablenbezeichnungen. Kompetenzen* Operieren, Interpretieren, Kommunizieren, Argumentieren, Dokumentieren Operieren, Interpretieren, Kommunizieren, Argumentieren, Dokumentieren Modellieren, Transferieren, Kommunizieren, Argumentieren Methodik* Expertenteams oder Pferdestall, evtl. Mind Map Gruppenarbeit incl. Kreisbrief Pferdestall und Vokabelheft Spiele* Pferdestall oder Mathe-Millionär Autoren Silvia Joachim, Karl Haberl und Franz Embacher (*) Genauere Erläuterungen folgen.

Technische Voraussetzungen

Die GeoGebra-Applets benötigen Java. Dies kann kostenlos von www.java.com heruntergeladen werden.

Kenntnisse und Handhabung von GeoGebra erleichtern die Arbeit am Lernpfad. GeoGebra kann kostenlos von www.geogebra.at herungergeladen werden.

Aufbau des Lernpfads

Die GeoGebra-Applets bieten vielfältige Möglichkeiten, mathematische Zusammenhänge experimentell zu erkunden. So können die SchülerInnen in der ersten Station selbstständig den Einfluss der Variation der Parameter einer allgemeinen Sinus- und Kosinusfunktion auf das Aussehen ihrer Graphen erforschen und erleben. Wie man umgekehrt aus den Graphen die zugehörigen Parameter bestimmt, erfahren die SchülerInnen in der Station zwei. Um das unterschiedliche Lerntempo auszugleichen, bieten Zusatzaufgaben den schnelleren SchülerInnen die Möglichkeit, die evtl. übrige Zeit sinnvoll zu nutzen. Normalerweise werden die SchülerInnen die Stationen in der vorgegebenen Reihenfolge vollständig bearbeiten. Aber es ist natürlich auch möglich, nur eine der Stationen in den Unterricht einzubauen. Bei den Anwendungen können die SchülerInnen - anhand von Anwendungsbeispielen - die in Station 1 und 2 erworbenen mathematischen Kenntnisse festigen und lernen dabei auch unterschiedliche Variablenbezeichnungen zu identifizieren.

Kompetenzen

Bei Station 1 und Station 2 soll Neues erlernt werden. Daher stehen hauptsächlich die Kompetenzen Operieren und Interpretieren im Vordergrund.
Die SchülerInnen können für diesen Funktionstyp verschiedene Darstellungen angeben. Sie erkennen den Zusammenhang Graph und Formel als verschiedene Darstellungsformen und können zwischen diesen Darstellungen wechseln.
Für durch Gleichungen gegebene Funktionen mit mehreren Veränderlichen können mit Kenntnis der Parameter Graphen gezeichnet und aus Graphen können die Parameter ermittelt werden.
Die Bedeutung der Parameter für den Funktionsterm und den Graphen können im Kontext gedeutet und richtig interpretiert werden.
Aus Graphen und Gleichungen von allgemeinen Sinusfunktionen können Werte(paare)ermitteln und im Kontext gedeutet werden.
Bei den Anwendungen wird das erworbene Wissen angewendet. Die SchülerInnen müssen die gegebene Situation modellieren und ihre Kenntnise auf den Sachverhalt transferieren.

Je nach eingesetzter Methode, wie Gruppenarbeit, Expertenteams, "Pferdestalle" sind auch die Kompetenzen Argumentieren und Kommunizieren angesprochen.
Da die SchülerInnen selbstständig Hefteinträge erstellen müssen, dokumentieren sie auch.

Insgesamt werden alle Handlungskompetenzen
Modellieren - Transferieren - Operieren - Interpretieren - Dokumentieren - Argumentieren - Kommunizieren
genutzt, gefordert und gefördert.

Genderaspekte

Mit Blick auf die Genderproblematik wurde bei den Stationen 1 und 2 darauf geachtet, dass sie Mädchen und Jungen gleichermaßen ansprechen. Bei den Anwendungen kann man annehmen, dass fächerübergreifende Physik-Ecke mehr auf auf die Interessen von Jungen ausgerichtet sein wird. Dagegen spricht "Marie und ihre Freundinnen" sicher Mädchen an. Deshalb kann bei den Anwendungen je nach Interessenlage ausgewählt werden, ob man physikalische Themen oder ein anderes Thema bearbeiten will.

Aufgaben und Lösungen

Zu fast allen Aufgaben sind Lösungen angegeben. Die SchülerInnen haben so die Möglichkeit, ihre Antworten selbst zu kontrollieren. Die Lösungen stehen allerdings nicht unmittelbar nach der jeweiligen Aufgabe, sondern am Ende der zu bearbeitenden Seite. So soll verhindert werden, dass sich die SchülerInnen gleich nach dem Lesen der Aufgabe die Lösung anschauen.

Hefteintrag

Es ist sinnvoll, dass die SchülerInnen nach dem Bearbeiten des Lernpfades über Notizen verfügen, anhand derer Sie das Gelernte wiederholen können. Deshalb wurden in den Stationen 1 und 2 Hefteinträge integriert. Die entsprechenden Texte sind gelb hinterlegt und sollen von den SchülerInnen übernommen werden. Dabei empfiehlt es sich aus Gründen der Übersichtlichkeit das Heft im Querformat zu verwenden. Hinweise zum Hefteintrag sind für die SchülerInnen zusätzlich im Lernpfad integriert.

Avatar

Um SchülerInnen entgegenzukommen, denen es schwer fällt, die Bedeutung schriftlicher Texte zu verstehen, weil etwa ihre Lesekompetenz nur schwach ausgeprägt ist oder sie an Legastenie oder einer Sehbehinderung leiden, wurden in den Lernpfad Videos eingefügt, mit denen sie sich den Text von einem Avatar „vorlesen“ lassen können. Zu diesem Zweck sollte ihnen allerdings ein Kopfhörer zur Verfügung stehen.

Methodik

Es gibt verschiedene Möglichkeiten, diesen Lernpfad - oder Teile davon - in den Lernprozess der SchülerInnen zu integrieren. Einzelne dieser Möglichkeiten, wie etwa das Arbeiten in Expertenteams, Pferdestall oder Kreisbrief werden im Folgenden ausführlich erläutert. Natürlich kann der Lernpfad auch zum selbstständigen Erarbeiten des Stoffes linear bearbeitet oder in Gruppen-, Partner- oder Einzelarbeit eingesetzt oder zur Wiederholung des Stoffes im Unterricht bzw. zu Hause verwendet werden.

Station 1: Einfluss der Parameter

Die Station eins wurde so konzipiert, dass sie das Arbeiten in Expertenteams oder das Arbeiten im Pferdestall unterstützt.

Expertenteams:

Beim Arbeiten in Expertenteams handelt es sich um eine spezielle Form von Gruppenarbeit, wobei sich jede Gruppe zunächst mit einem anderen Aspekt eines bestimmten Themas beschäftigt. Zur Einteilung der Gruppen können die vorgeschlagenen Karten verwendet werden. Sie sollten am besten auf farbiges Papier gedruckt, laminiert und zugeschnitten werden. Alle SchülerInnen erhalten eine Karte. Zunächst werden die SchülerInnen mit demselben Buchstaben auf der Karte zusammen arbeiten. Damit sich nicht gleich zu Beginn der Stunde alle SchülerInnen umsetzen müssen, ist es sinnvoll SchülerInnen, die neben einander sitzen, Karten mit demselben Buchstaben zu geben. Hinweise für die SchülerInnen für das Arbeiten in Expertenteams sind im Lernpfad integriert.

Nun untersucht jede Gruppe den Einfluss eines anderen Parameters auf das Aussehen des Graphen. Jeder Schüler dieser Gruppe ist dann Experte für den Einfluss eines Parameters. Es wird ein erster Hefteintrag notiert. Dazu sollten die SchülerInnen ihr Heft im Querformat verwenden, eine Überschrift notieren und vier Spalten für den Einfluss je eines Parameters anlegen. Nach der Arbeitsphase in diesen Gruppen werden die SchülerInnen mit Hilfe der Zahlen auf den Karten in neue Gruppen eingeteilt. Die neuen Gruppen bestehen aus vier SchülerInnen, genauer je einem Experten für einen der vier Parameter. Die SchülerInnen sollen nun auch die Auswirkungen der anderen Parameter erforschen, sich über deren Einfluss austauschen und die Spalten des Hefteintrages vervollständigen. Danach werden gemeinsam Aufgaben bearbeitet. Diese sind so konzipiert, dass zu ihrer Lösung meist das Expertenwissen der einzelnen SchülerInnen benötigt wird.

Expertenteamkarten zum Ausdrucken

Pferdestall (bei der Bearbeitung der Tabelle „Einfluss von a, b, c und d")

1. Die SchülerInnen werden in zwei Gruppen eingeteilt, z. B. linke Hälfte und rechte Hälfte. Alle SchülerInnen der linken Hälfte untersuchen den Einfluss von a, alle SchülerInnen der rechten Hälfte den Einfluss von b.
2. Alle SchülerInnen sollen nacheinander jeweils Pferd oder Stall sagen. Oder noch Reihen...
3. Die "Ställe" bleiben auf ihrem Platz sitzen und die "Pferde" stehen auf und setzen sich auf einen beliebigen Platz eines "Pferdes" der anderen Hälfte. So erhält jeder Schüler einen neuen Nachbarn, der Kenntnisse über den Einfluss eines anderen Parameters besitzt.
4. Je zwei Schüler (Nachbarn) erklären sich nacheinander das neue Wissen. 5. Die SchülerInnen werden wieder in zwei Gruppen eingeteilt, z. B. linke Hälfte und rechte Hälfte. Alle SchülerInnen der linken Hälfte untersuchen nun den Einfluss von c, alle SchülerInnen der rechten Hälfte den Einfluss von d.
6. "Die Pferde reiten wieder zu ihrem Stall zurück". Jetzt sitzt wieder jeder auf seinem Platz und die ursprünglichen Nachbarn erklären sich nacheinander das neue Wissen.

Partner- bzw. Gruppenarbeit incl. Mind Map:

Die SchülerInnen erstellen in Partner- oder Gruppenarbeit eine Mind Map zum Thema „Einfluss der Parameter von trigonometrischen Funktionen auf das Aussehen des Graphen“. Eine entsprechende Aufgabe (Aufgabe 5 - Zusatzaufgabe Mind Map) ist in der Station 1 integriert.
Am Ende präsentiert mindestens ein Schüler seine Mind Map vor der Klasse.

Station 2: Bestimmung der Funktionsgleichung und mehr

Die Station zwei wurde so konzipiert, dass sie Partner- bzw. Gruppenarbeit und das Arbeiten mit einem Kreisbrief unterstützt.

Partner- bzw. Gruppenarbeit incl. Kreisbrief

Am besten teilt man die SchülerInnen in Gruppen von 2 bis 4 Personen ein. Ein Gruppenmitglied ist der Leiter und liest die Aufgaben vor, ein anderes Gruppenmitglied ist der Zeitwächter. Der Zeitrahmen zur Bearbeitung für jede Aufgabe beträgt 10 Minuten, anschließend stehen jeweils fünf Minuten zur Verfügung, in denen u. a. folgende Fragen diskutiert werden können:

• Welches Ziel verfolgt die Aufgabe?
  
• Was wird geübt?
  
• Wie kommt man auf die Lösung?

Für die SchülerInnen sind Hinweise zur Bearbeitung der Aufgabe 2 mit Hilfe eines Kreisbriefes in der Station 2 integriert. Den SchülerInnen soll so bewusst werden, dass es nicht nur eine richtige Lösung gibt. Auch Verständnisprobleme sollen spätestens bei der Diskussion deutlich werden.

Anwendungen: Physik-Ecke

Die Physik-Ecke wurde so konzipiert, dass sie das Arbeiten im Pferdestall und das Führen eines "Vokabelheftes" unterstützt.

Pferdestall (bei der Bearbeitung der Aufgaben P1, P2, P3 und "Federpendel-Vokabelheft")

1. Die SchülerInnen werden in zwei Gruppen eingeteilt, z.B. in die "linke" und "rechte Hälfte" des Klassenzimmers.
2. Die SchülerInnen der "linken Hälfte" bearbeiten die Aufgabe P1 und die SchülerInnen der "rechten Hälfte" die Aufgaben P2 und P3.
3. Nun werden die SchülerInnen wieder in zwei Gruppen eingeteilt, in "Pferde" und "Ställe". Dazu sollen z.B. alle SchülerInnen nacheinander jeweils Pferd oder Stall sagen. Eine andere Möglichkeit wäre es, die SchülerInnen reihenweise abwechselnd in "Pferde" und "Ställe" einzuteilen, so dass immer ein "Pferd" neben einem "Stall" sitzt.
   
4. Die "Ställe" bleiben auf ihrem Platz sitzen und die "Pferde" stehen auf und setzen sich auf einen beliebigen Platz eines "Pferdes" in der anderen Hälfte. So erhält jeder Schüler einen anderen Nachbarn.
   
5. Je zwei SchülerInnen (Nachbarn) stellen sich gegenseitig die gerade bearbeten Aufgaben und die zughörigen Lösungen vor. Zur Kontrolle ist jeweils eine Lösungsmöglichkeit am Ende der Lernpfadseite angegeben.
   
6. In Partnerarbeit erfolgen gemeinsam erarbeitete Einträge in ein "Vokabelheft" (Aufgabe Federpendel-Vokabelheft).
7. "Die Pferde reiten wieder zu ihrem Stall zurück". Jetzt sitzt wieder jeder auf seinem Platz und die ursprünglichen Nachbarn vergleichen ihre Einträge ins "Vokabelheft" und verbessern diese ggf.

Anwendungen: Marie und ihre Freundinnen

Pferdestall (bei der Bearbeitung der Aufgaben "Riesenrad", "Tageslängen" und "Marie's Vokabelheft")

Analog zum Pferdestall bei der "Pysik-Ecke" kann man dies bei "Marie und ihre Freundinnen" machen. Die linke Hälfte bearbeitet "Riesenrad",die rechte Hälfte "Tageslängen".
Danach wird wie in der Physik-Ecke verfahren.

Spiele

Spiele lockern das Lernen auf und ermöglichen nochmals in einer "Nicht-Lern-Athmosphäre" das Gelernte zu wiederholen und wiederzugeben.

Am Ende einer Station oder am Ende des Lernpfades kann "Pferdestall" und/ oder "Mathe-Millionär" als Spiel angeboten werden.

Pferdestall-Spiel

1. Jeder Schüler überlegt sich eine Frage zum Inhalt und schreibt diese oben auf einen Zettel.
   
2. Die SchülerInnen werden in zwei Gruppen eingeteilt. Dazu sollen z.B. alle SchülerInnen nacheinander jeweils Pferd oder Stall sagen. Eine andere Möglichkeit wäre es, die SchülerInnen reihenweise abwechselnd in "Pferde" und "Ställe" einzuteilen, so dass immer ein "Pferd" neben einem "Stall" sitzt.
   
3. Die "Ställe" bleiben auf ihrem Platz sitzen und die "Pferde" stehen auf und setzen sich auf einen beliebigen Platz eines anderen "Pferdes". So erhält jeder Schüler einen anderen Nachbarn.
   
4. Je zwei SchülerInnen (Nachbarn) stellen sich gegenseitig die Fragen, notieren gemeinsam die Antwort unter der jeweiligen Frage und falten die Zettel so, dass man zwar die Frage, aber nicht die Antwort lesen kann. Die Zettel werden getauscht.
   
5. "Die Pferde reiten wieder zu ihrem Stall zurück". Jetzt sitzt wieder jeder auf seinem Platz und die ursprünglichen Nachbarn stellen sich gegenseitig die notierten Fragen. Die Antwort steht zur Kontrolle bereits auf der Innenseite.

"Mathe-Millionär-Spiel"

1. Jeder Schüler überlegt sich eine Frage zum Thema und notiert diese zusammen mit vier Antwortmöglichkeiten (A, B, C, D) auf einem Zettel. Dabei kreuzt er die richtige Antwort an und ergänzt ob er die Frage als leicht, mittel oder schwer einschätzt.
   
2. Hinweis für SchülerInnen: Taktisch ist es sinnvoll, sich eine möglichst schwierige Frage zu überlegen, da man selbst – wenn die Frage später vom Lehrer gestellt wird – die Antwort weiß, die anderen SchülerInnen aber mit höherer Wahrscheinlichkeit nicht.
   
3. Die Zettel werden eingesammelt und vom Lehrer grob der Schwierigkeit nach sortiert. Dabei können ein paar leichte Fragen für einen eventuellen zweiten Durchgang aufgehoben werden.
   
4. Die SchülerInnen zerteilen ein Blatt in vier kleine Blätter, auf denen sie je einen Buchstaben A, B, C und D schreiben. Alle SchülerInnen stehen auf.
5. Der Lehrer liest eine Frage vor. Beim Satz „Bitte entscheidet Euch jetzt!“ heben alle SchülerInnen gleichzeitig den gewählten Buchstaben nach oben. Der Lehrer sagt die richtige Antwort und die SchülerInnen mit einer falschen setzen sich. Jetzt kann eine Erklärung folgen oder die nächste Frage.
6. Gewonnen haben die letzten ein bis drei noch stehenden SchülerInnen.

---

• Zurück zur Einführung