Potenzfunktionen - 3. Stufe: Unterschied zwischen den Versionen

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==== Einschränkung auf IR<sup>+</sup> ====
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Offenbar ergibt die Wurzelfunktion <math>f(x)=\sqrt[n]{x}</math> zumindest bei ungeradem ''n'' sowohl für positive als auch negative ''x'' Lösungen, wie folgendes Beispiel zeigt:
Offenbar ergibt die Wurzelfunktion <math>f(x)=\sqrt[n]{x}</math> zumindest bei ungeradem n sowohl für positive als auch negative x Lösungen, wie folgendes Beispiel zeigt:
:<math>\sqrt[3]{-27}=\sqrt[3]{-3\cdot -3 \cdot -3} = \sqrt[3]{-3^3} = \sqrt[3]{-3}^3 = -3,</math>
:<math>\sqrt[3]{-27}=\sqrt[3]{-3\cdot -3 \cdot -3} = \sqrt[3]{-3^3} = \sqrt[3]{-3}^3 = -3,</math>
:<math>\sqrt[3]{ 27}=\sqrt[3]{3\cdot 3 \cdot 3} = \sqrt[3]{3^3} = \sqrt[3]{3}^3 = 3.</math>
:<math>\sqrt[3]{ 27}=\sqrt[3]{3\cdot 3 \cdot 3} = \sqrt[3]{3^3} = \sqrt[3]{3}^3 = 3.</math>


Allerdings kann die Definition der Wurzelfunktion auf ganz IR auch zu Wiedersprüchen führen. An einem Beispiel wird die Problematik klar:
Allerdings kann die Definition der Wurzelfunktion auf ganz IR auch zu Wiedersprüchen führen. An einem Beispiel wird die Problematik klar:
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Um solche Fälle von Nicht-Eindeutigkeit zu umgehen, schränkt man den Definitionsbereich ID der Wurzelfunktionen i.d.R. grundsätzlich auf die positiven reelle Zahlen ein, also:
Um solche Fälle von Nicht-Eindeutigkeiten oder langen Fallunterscheidungen zu umgehen, schränkt man den Definitionsbereich ID der Wurzelfunktionen i.d.R. grundsätzlich auf die positiven reelle Zahlen ein, also:
:<math>f(x) = \sqrt[n]{x}</math>  mit <math>n \in \mathbb{N}</math> und <math>\mathbb{D}=\mathbb{R}_{\geq 0}</math>
:<math>f(x) = \sqrt[n]{x}</math>  mit <math>n \in \mathbb{N}</math> und <math>\mathbb{D}=\mathbb{R}_{\geq 0}</math>



Version vom 28. Januar 2009, 15:22 Uhr

Die Graphen der Funktionen mit f(x) = x1/n, n IN

Es sei stets IN0={0,1,2,...} und IN={1,2,3,..}, insbesondere also IN0 =/= IN.
Wir betrachten in diesem Abschnitt die Graphen solcher Funktionen, die einen positiven Stammbruch der Form mit als Exponenten haben. Während in Stufe 1 und 2 dieses Kurses die Exponenten stets ganzzahlig waren, gilt für die Stammbrüche: .

Vergleich mit Funktionen aus Stufe 2

Vorlage:Arbeiten
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Potenzen und Wurzeln

Eine Funktion mit der Gleichung mit heißt Wurzelfunktion.

Potenzfunktionen der Bauart und Wurzelfunktionen hängen eng zusammen, denn es gilt:

Darin ist die n-te Wurzel über folgenden Zusammenhang festgelegt:

Im Falle n=2 nennt man die Wurzel "Quadratwurzel", und man schreibt:


Beispiele

In der Regel hat eine positive Zahl zwei Quadratwurzeln, eine positive und eine negative. So ist etwa

  • .

Aus negativen Zahlen kann man dagegen keine Quadratwurzel ziehen, denn:

  • , nicht definiert.


  • , aber auch


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Definitionsbereich der Wurzelfunktionen

Einschränkung auf IR+

Offenbar ergibt die Wurzelfunktion zumindest bei ungeradem n sowohl für positive als auch negative x Lösungen, wie folgendes Beispiel zeigt:


Allerdings kann die Definition der Wurzelfunktion auf ganz IR auch zu Wiedersprüchen führen. An einem Beispiel wird die Problematik klar:


Um solche Fälle von Nicht-Eindeutigkeiten oder langen Fallunterscheidungen zu umgehen, schränkt man den Definitionsbereich ID der Wurzelfunktionen i.d.R. grundsätzlich auf die positiven reelle Zahlen ein, also:

mit und

Wurzelfunktion auf ganz IR

Will man eine Wurzelfunktion g dennoch auf ganz IR definieren (d.h. ID = IR), dann muss man sie - nach obiger Vorüberlegung - aus zwei einzelnen Wurzelfunktionen zusammensetzen. Man definiere etwa g derart, dass

.

Dann gilt: IDg = IR.