Potenzfunktionen - 3. Stufe

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Die Graphen der Funktionen mit f(x) = x^1/n, n ∈ IN

Wir betrachten in diesem Abschnitt die Graphen solcher Funktionen, die einen positiven Stammbruch der Form $\frac{1}{n}$ mit $n \in \mathbb{N}$ als Exponenten haben.

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Potenzen und Wurzeln

Potenzfunktionen der Bauart $f(x)=x^{\frac{1}{n}}$ und Wurzelfunktionen $g(x)=\sqrt[n]{x}$ hängen eng zusammen, denn es gilt:

$x^{\frac{1}{n}}:=\sqrt[n]{x}$

Darin ist die n-te Wurzel festgelegt über:

$\sqrt[n]{x} :\Leftrightarrow \left(\sqrt[n]{x}\right)^n = x$

Beispiele:

$\sqrt{16} = \begin{cases} 4\cdot 4\\ -4 \cdot 4 \end{cases}.$

• $\sqrt[2]{16}:=\sqrt{16}=\sqrt{4\cdot 4} = \sqrt{4^2} = \sqrt{4}^2 = 4$, dagegen
• 4\cdot4 = 16 = -4 \cdot -4 \Leftarrow \sqrt{1}
• $\sqrt[3]{27}=\sqrt[3]{3\cdot 3 \cdot 3} = \sqrt[3]{3^3} = \sqrt[3]{3}^3 = 3$, aber auch
• $\sqrt[3]{-27}=\sqrt[3]{-3\cdot -3 \cdot -3} = \sqrt[3]{-3^3} = \sqrt[3]{-3}^3 = -3.$

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