Eigenschaften ganzrationaler Funktionen: Unterschied zwischen den Versionen
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Hinweise: {{versteckt| | |||
1. Beachte nur die Potenz mit dem höchsten Exponenten. | |||
2. Beachte die Potenzgesetze. | |||
3. Wird ein ganzes Polynom vom Grad n mit der Zahl m potenziert, so ergibt <math>(a_nx^n)^m</math> die höchste Potenz im Ergebnis. Der Rest ist nicht von Interesse! | |||
Z.B. <math>(3x^2-2x+1)^3 = (3x^2)^3+... = 27x^6+...</math> | |||
4. Werden zwei Polynome miteinander multipliziert, so ergibt das Produkt der Potenzen mit dem jeweils höchsten Exponenten, im Ergebnis die Potenz mit dem höchsten Exponent. | |||
Z.B. <math>(x^3+x^2)(x^4-2x)=x^4x^3+x^4x^2-2xx^3-2xx^2=x^7+x^6-2x^4-2x^3</math> | |||
5. Achte auf die Vor- und Rechenzeichen. | |||
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Version vom 13. Mai 2012, 12:24 Uhr
Willkommen beim Lernpfad zu den Eigenschaften ganzrationaler Funktionen
Zur Zeit beschäftigen wir uns mit ganzrationalen Funktionen, wobei du die einfachste Form, die Potenzfunktionen, bereits kennengelernt hast. Von Interesse ist hier vor allem der Verlauf einer Funktion in Abhängigkeit des Funktionsterms. Im folgenden sollen die bereits bekannten Informationen über die Potenzfunktionen auf allgemeine ganzrationale Funktionen übertragen werden. Voraussetzungen
Ziele
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Hinweise zur Bearbeitung
1. Hefteintrag
Der grobe Hefteintrag ist bereits hier angelegt. Fülle die noch leren Felder mit den im Lernpfad gewonnenen Informationen aus.
2. Bearbeitung
- Bearbeite die Aufgaben mit einem Mitschüler.
- Bearbeite die Aufgaben der Reihe nach.
- Überprüfe dein Wissen am Ende jedes Abschnittes durch die Beispielaufgaben
- Nutze die versteckten Hinweise erst, wenn du mit deinem Mitschüler sicher nicht mehr weiter kommst. Versuche so lange wie möglich ohne die Hinweise auszukommen.
- Vergleiche deine Ergebnisse mit den Lösungen erst nachdem du den Abschnitt fertig abgeschlossen hast.
Wichtige Definitionen
Polynom |
Terme, die aus einer Summe von Potenzen (mit Exponenten aus ) bestehen, heißen Polynome. Der höchste vorkommende Exponent entspricht dem Grad des Polynoms.
Beispiele: 2x4 - 3x3 + x - 5 ist ein Polynom vom Grad 4 -3x12 + 14x2 - 20 ist ein Polynom vom Grad 12 |
Ganzrationale Funktion |
Funktionen, deren Funktionsterme f(x) Polynome sind, nennt man ganzrationale Funktionen. Der Grad des Polynoms ist dann auch der Grad der Funktion.
Beispiel: ist eine ganzrationale Funktion vom Grad 7 |
Allgemeine Funktionsgleichung und Koeffizienten |
Der allgemeine Funktionsterm einer ganzrationalen Funktion vom Grad n ist
Die ak nennt man Koeffizienten (0 k n). Beispiele: mit a2 = 3, a1 = -5, a0 = 7 mit a4 = -2, a3 = 0, a2 = 0, a1 = 3, a0 = 0 |
Entscheide ob folgende Funktionen ganzrational sind. Gib gegebenenfalls den Grad und die Koeffizienten an.
- a)
- b)
- c)
- d)
Verhalten ganzrationaler Funktionen für betragsmäßig große x-Werte
Gerader Funktionsgrad
Gegeben sind die Funktionen und
- a) Zeichne die Graphen der Funktionen mit GeoGebra in ein gemeinsames Koordinatensystem.
- b) Welcher Unterschied bzw. welche Gemeinsamkeit fällt dir bezüglich des Verhaltens für betragsmäßig große x-Werte auf?
- c) Welcher Summand im Funktionsterm ist vermutlich ausschlaggebend für das Verhalten? Hilfe: Vorlage:Versteckt
- d) Welche Fälle müssen beim Koeffizienten dieses Summanden unterschieden werden? Wie wirken sich diese auf das Verhalten aus?
- e) Zeichne weitere ganzrationale Funktionen mit geradem Funktionsgrad und verschiedenen Koeffizienten in das Koordinatensystem und überprüfe damit deine Vermutungen.
- f) Fasse deine Ergebnisse zusammen und ergänze den Hefteintrag an den entsprechenden Stellen.
Ungerader Funktionsgrad
Gegeben sind die Funktionen und
- a) Untersuche die beiden Funktionen wie im vorherigen Abschnitt zum geraden Funktionsgrad
- b) Fasse deine Ergebnisse zusammen und ergänze den Hefteintrag an den entsprechenden Stellen.
Übungsaufgaben
Gib den charakteristischen Verlauf der Graphen der folgenden Funktionen an.
- a) links oben nach rechts oben
- b) links oben nach rechts unten
- c) links oben nach rechts oben
- d) links unten nach rechts oben
- e) links unten nach rechts unten
- f) links unten nach rechts unten
- g) links oben nach rechts oben
- h) links oben nach rechts unten
- i) links unten nach rechts unten
- j) links oben nach rechts oben
Hinweise: Vorlage:Versteckt