Einführung in die Differentialrechnung: Unterschied zwischen den Versionen
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:{{Lösung versteckt|1= Die beiden Schnittpunkte der Sekante nähern sich immer mehr einander an. Wenn der Punkt B mit dem Punkt A zusammenfällt, gibt es nur noch einen Schnittpunkt der Geraden mit dem Graphen der Funktion. | :{{Lösung versteckt|1= Die beiden Schnittpunkte der Sekante nähern sich immer mehr einander an. Wenn der Punkt B mit dem Punkt A zusammenfällt, gibt es nur noch einen Schnittpunkt der Geraden mit dem Graphen der Funktion. | ||
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Die Gerade ist dann keine Sekante (die einen Graphen ja in zwei Punkten schneiden muss) mehr. Man nennt dies Gerade ''Tangente an den Graphen der Funktion f im Punkt A''. ''Weitere Erläuterung des Begriffs Tangente.'' | Die Gerade ist dann keine Sekante (die einen Graphen ja in zwei Punkten schneiden muss) mehr. Man nennt dies Gerade ''Tangente an den Graphen der Funktion f im Punkt A''. | ||
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Auf dem Arbeitsblatt, das am Pult liegt, ist der Graph der Funktion f mit <math> f(x)=x^2</math> gezeichnet. | Auf dem Arbeitsblatt, das am Pult liegt, ist der Graph der Funktion f mit <math> f(x)=x^2</math> gezeichnet. | ||
* Zeichnen Sie die Sekante durch die Punkte A(1;f(1)) und B(2;f(2)) und bestimmen Sie aus der Zeichnung ihre Steigung. | * Zeichnen Sie die Sekante durch die Punkte A(1;f(1)) und B(2;f(2)) und bestimmen Sie aus der Zeichnung ihre Steigung. | ||
* Zeichnen Sie ebenso die Sekante durch die Punkte A(1;1) und C(1,5; | * Zeichnen Sie ebenso die Sekante durch die Punkte A(1;f(1)) und C(1,5;f(1,5)) und bestimmen Sie aus der Zeichnung ihre Steigung. | ||
* Zeichnen Sie (näherungsweise) die Tangente an den Graphen im Punkt A(1;1) ein und bestimmen Sie ihre Steigung aus der Zeichnung. | * Zeichnen Sie (näherungsweise) die Tangente an den Graphen im Punkt A(1;1) ein und bestimmen Sie ihre Steigung aus der Zeichnung. | ||
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* Wählt man <math> x_1=1,5</math>, so ergibt sich <math>m=2,5</math>. | * Wählt man <math> x_1=1,5</math>, so ergibt sich <math>m=2,5</math>. | ||
* Wenn man x<sub>1</sub> sehr dicht an 1 wählt, ist die Näherung recht genau. | * Wenn man x<sub>1</sub> sehr dicht an 1 wählt, ist die Näherung recht genau. | ||
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Die Idee bei der Annäherung der Tangente durch Sekanten ist es, den Wert x<sub>1</sub> immer mehr x<sub>0</sub> anzunähern. Dann ergibt die Steigung der Sekanten eine immer bessere Näherung für die Tangentensteigung. <br> | |||
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Anstatt x<sub>1</sub> immer mehr x<sbu>0</sub> anzunähern, kann man auch die Differenz <math>h=\Delta x=x_1-x_0</math> klein werden lassen. Es ist dann <math> x_1=x_0+h</math>. | Anstatt x<sub>1</sub> immer mehr x<sbu>0</sub> anzunähern, kann man auch die Differenz <math>h=\Delta x=x_1-x_0</math> klein werden lassen. Es ist dann <math> x_1=x_0+h</math>. | ||
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Berechnen Sie für <math>h = 0,1</math> (<math>h= 0,01</math> und <math>h = 0,001</math>) die Steigung der | gegeben ist wieder die Funktion f mit <math> f(x)=x^2</math>. | ||
Berechnen Sie für <math>h = 0,1</math> (<math>h= 0,01</math> und <math>h = 0,001</math>) die Steigung der Sekanten für <math>x_0= 1</math> und <math>x_1= 1+h </math>. (Verwenden Sie die Tabellenfunktion Ihres Taschenrechners; Schreiben Sie dazu <math>h=\frac{1}{10^n}</math> mit n gleich 1, 2, 3,...) | |||
''Wer das Thema Folgen hatte, kann hier in seiner Variante des Lernpfads ändern.'' | |||
Bestimmen Sie einen Näherungswert für die Steigung der Tangenten an die Parabel im Punkt A(1;1). Vergleichen Sie mit den Ergbnissen der vorherigen Aufgaben. | Bestimmen Sie einen Näherungswert für die Steigung der Tangenten an die Parabel im Punkt A(1;1). Vergleichen Sie mit den Ergbnissen der vorherigen Aufgaben. | ||
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Version vom 28. Oktober 2013, 21:26 Uhr
Achtung: Baustelle: Lernpfad zur Einführung in die Differentialrechnung
Einstiegsaufgaben
Blumenvase
![GeoGebra](/extensions/GeoGebra/images/geogebra-logo.png)
In eine Vase wird gleichmäßig Wasser eingefüllt. Die Höhe des Wasserstandes in Abhängigkeit von der Zeit kann mit folgender Funktion beschrieben werden:
Mit welcher Geschwindigkeit nimmt die Wasserhöhe zum Zeitpunkt t=12 Sekunden zu?
Barringer-Krater
In Arizona gibt es einen Einschlagskrater eines Meteoriten, den sogenannten Barringer-Krater.
Der Krater hat einen Durchmesser von etwa 1200 Meter und eine Tiefe von 180 Meter. An der flachsten Stelle kann der Kraterrand durch die folgende Funktion beschrieben werden: für
Hier kommt noch ein Koordinatensystem mit der Funktion hin
Im Krater befindet sich ein Fahrzeug, das eine Steigung von bus zu 100% bewältigen kann. Kann das Fahrzeug den Kraterrand erreichen und aus dem Krater herausfahren?
Durchschnittliche Änderungsrate
Blumenvase
![GeoGebra](/extensions/GeoGebra/images/geogebra-logo.png)
Beantworte die Fragen, indem du die Schieberegler für t und t1 entsprechend einstellst:
Mit wie vielen cm/s ändert sich die Höhe im Schnitt im Zeitintervall zwischen 12 und 14 Sekunden?
Mit wie vielen cm/s ändert sich die Höhe im Schnitt im Zeitintervall zwischen 12 und 13 Sekunden?
Mit wie vielen cm/s ändert sich die Höhe im Schnitt im Zeitintervall zwischen 12 und 12,5 Sekunden?
...
Sekantensteigung
Barringer-Krater
Die durchschnittliche Steigung des Kraters zwischen den Punkten A(x0|f(x0)) und B(x1|f(x1)) kann mit berechnet werden. Dies enspricht der Steigung der Geraden, die durch die Punkte A und B geht. Eine soche Gerade, die den Graphen einer Funktion in zwei Punkten scheidet, nennt man Sekante. ist dann die Sekantensteigung.
![GeoGebra](/extensions/GeoGebra/images/geogebra-logo.png)
![GeoGebra](/extensions/GeoGebra/images/geogebra-logo.png)
In der Graphik der Lösung der vorherigen Aufgabe kann man den Punkt B bewegen, indem man mit der Maus auf ihn zeigt und bei gedrückter linker Maustaste die Maus bewegt.
Die beiden Schnittpunkte der Sekante nähern sich immer mehr einander an. Wenn der Punkt B mit dem Punkt A zusammenfällt, gibt es nur noch einen Schnittpunkt der Geraden mit dem Graphen der Funktion. Information: Die Gerade ist dann keine Sekante (die einen Graphen ja in zwei Punkten schneiden muss) mehr. Man nennt dies Gerade Tangente an den Graphen der Funktion f im Punkt A.
Weitere Erläuterung des Begriffs Tangente.
- Die Steigung ist (ungefähr) 3.
- Die Steigung ist (ungefähr) 2,5.
- die Steigung ist (ungefähr) 2.
- Die Steigung ist .
- Wählt man , so ergibt sich .
- Wenn man x1 sehr dicht an 1 wählt, ist die Näherung recht genau.
Anstatt x1 immer mehr x<sbu>0 anzunähern, kann man auch die Differenz klein werden lassen. Es ist dann .
![GeoGebra](/extensions/GeoGebra/images/geogebra-logo.png)
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Differenzenquotient
Reflexionsaufgabe: Gemeisamkeiten herausarbeiten als Vorbereitung der Plenumsphase
Plenumsphase? Möglicher Inhalt: Verbindung zwischen durchschnittlicher Änderungsrate, Sekantenssteigung und Differenzenquotient (allgemeine Beschreibung für die beiden Konzepte) herstellen.
Differentialquotient
Der Differentialquotient f'(x0 )
- beschreibt die momentane Änderungsrate der Funktion f an der Stelle x0 und entsteht im Rahmen eines Grenzprozesses, wenn man bei der durchschnittlichen Änderungsrate zwischen x0 und x1 den Wert x1 immer mehr dem Wert x0 annnährt,
- beschreibt die Steigung der Tangenten an den Graphen der Funktion im Punkt A(x0|f(x0)) und entsteht, wenn man in Rahmen eines Grenzprozesses bei der Sekantensteigung zwischen den Punkten A(x0|f(x0)) und B(x1|f(x1)) den Punkt B(x1|f(x1)) immer mehr dem Punkt A(x0|f(x0)) annähert.
![GeoGebra](/extensions/GeoGebra/images/geogebra-logo.png)
Vorlage:ProtokollierenSchreiben Sie die Definition des Differentialquotienten zusammen mit einer Skizze in Ihr Heft.
Andere Schreibweise:
Statt den Wert x1 immer mehr dem Wert x0 anzunähern, können wir auch die Differenz der beiden Werte immer kleiner werden lassen.
Dies nennt man die h-Schreibweise des Differentialquotienten.
![GeoGebra](/extensions/GeoGebra/images/geogebra-logo.png)
Vorlage:Untersuchen Vergleichen Sie die beiden Applets und untersuchen Sie die Veränderungen.
Ableitungsfunktion
Ableitungsfunktion Applet als Link übernehmen?Passt doch eigentlich so.
Kontext plus Übung
Diagnoseinstrument