Einführung in die Differentialrechnung: Unterschied zwischen den Versionen
Main>Roland Weber |
Main>Roland Weber |
||
Zeile 144: | Zeile 144: | ||
== Differentialquotient == | == Differentialquotient == | ||
{{Kastendesign1| | |||
BORDER = #97BF87| | |||
Der Differentialquotient f'(x<sub>0 </sub>) ist definiert als Grenzwert eines Differenzenquotienten | BACKGROUND = #AADDAA| | ||
BREITE =100%| | |||
INHALT= Der Differentialquotient f'(x<sub>0 </sub>) ist definiert als Grenzwert eines Differenzenquotienten | |||
Differentialquotient <math> f'(x_0) = lim_{x_1\to x_0} \frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}</math> | Differentialquotient <math> f'(x_0) = lim_{x_1\to x_0} \frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}</math> | ||
Der Differentialquotient f'(x<sub>0</sub>) wird auch als ''Ableitung der Funktion f an der Stelle x<sub>0</sub>'' bezeichnet. | Der Differentialquotient f'(x<sub>0</sub>) wird auch als ''Ableitung der Funktion f an der Stelle x<sub>0</sub>'' bezeichnet. | ||
| | |||
BILD=Nuvola_Icon_Kate.png| | |||
ÜBERSCHRIFT=Information| | |||
}} | |||
Der Differentialquotient f'(x<sub>0 </sub>) | Der Differentialquotient f'(x<sub>0 </sub>) | ||
Zeile 156: | Zeile 163: | ||
* beschreibt die momentane Änderungsrate der Funktion f an der Stelle x<sub>0 </sub> und entsteht im Rahmen eines Grenzprozesses, wenn man bei der durchschnittlichen Änderungsrate zwischen x<sub>0</sub> und x<sub>1</sub> den Wert x<sub>1</sub> immer mehr dem Wert x<sub>0</sub> annnährt, | * beschreibt die momentane Änderungsrate der Funktion f an der Stelle x<sub>0 </sub> und entsteht im Rahmen eines Grenzprozesses, wenn man bei der durchschnittlichen Änderungsrate zwischen x<sub>0</sub> und x<sub>1</sub> den Wert x<sub>1</sub> immer mehr dem Wert x<sub>0</sub> annnährt, | ||
* beschreibt die Steigung der Tangenten an den Graphen der Funktion im Punkt A(x<sub>0</sub>|f(x<sub>0</sub>)) und entsteht, wenn man in Rahmen eines Grenzprozesses bei der Sekantensteigung zwischen den Punkten A(x<sub>0</sub>|f(x<sub>0</sub>)) und B(x<sub>1</sub>|f(x<sub>1</sub>)) den Punkt B(x<sub>1</sub>|f(x<sub>1</sub>)) immer mehr dem Punkt A(x<sub>0</sub>|f(x<sub>0</sub>)) annähert. | * beschreibt die Steigung der Tangenten an den Graphen der Funktion im Punkt A(x<sub>0</sub>|f(x<sub>0</sub>)) und entsteht, wenn man in Rahmen eines Grenzprozesses bei der Sekantensteigung zwischen den Punkten A(x<sub>0</sub>|f(x<sub>0</sub>)) und B(x<sub>1</sub>|f(x<sub>1</sub>)) den Punkt B(x<sub>1</sub>|f(x<sub>1</sub>)) immer mehr dem Punkt A(x<sub>0</sub>|f(x<sub>0</sub>)) annähert. | ||
<br><br> | |||
<ggb_applet width="1262" height="827" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" /> | <ggb_applet width="1262" height="827" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" /> | ||
<br><br /> | |||
{{Protokollieren|}}Schreiben Sie die Definition des Differentialquotienten zusammen mit einer Skizze in Ihr Heft. | |||
<br> | <br> | ||
{{Aufgaben-M|17| | |||
Verschieben Sie im Applet den Punkt B nahe zu A und beobachten den Wert des Differenzenquotienten. Was passiert, wenn B und A zusammenfallen? Beschreiben Sie Ihre Beobachtungen in Ihrem Heft. | |||
}} | |||
Zeile 170: | Zeile 183: | ||
Statt den Wert x<sub>1</sub> immer mehr dem Wert x<sub>0</sub> anzunähern, können wir auch die Differenz der beiden Werte <math> h=x_1-x_0</math> immer kleiner werden lassen. | Statt den Wert x<sub>1</sub> immer mehr dem Wert x<sub>0</sub> anzunähern, können wir auch die Differenz der beiden Werte <math> h=x_1-x_0</math> immer kleiner werden lassen. | ||
{{Aufgaben-M|18| | |||
Ersetzen Sie in der Definition des Differentialquotienten den Wert x<sub>1</sub> durch x<sub>0</sub>+h. | |||
}} | |||
:{{Lösung versteckt|1= | :{{Lösung versteckt|1= | ||
<math> f'(x_0)=lim_{h\to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}</math> | <math> f'(x_0)=lim_{h\to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}</math> | ||
<br><br> | |||
Dies nennt man die ''h-Schreibweise'' des Differentialquotienten. | Dies nennt man die ''h-Schreibweise'' des Differentialquotienten. | ||
<br><br> | |||
<ggb_applet width="1262" height="827" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" /> | <ggb_applet width="1262" height="827" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" /> | ||
<br> | <br> | ||
{{untersuchen|}} Vergleichen Sie die beiden Applets und untersuchen Sie die Veränderungen. | |||
}} | }} | ||
<br /><br /> | |||
{{Aufgaben-M|19| | |||
Bearbeiten Sie nun folgende Aufgaben: | |||
* [http://www.austromath.at/medienvielfalt/materialien/diff_einfuehrung/lernpfad/content/06_diffue1.htm Übung1] | |||
* [http://www.austromath.at/medienvielfalt/materialien/diff_einfuehrung/lernpfad/content/06_diffue2.htm Übung 2] | |||
}} | |||
<br> | |||
{{Aufgaben-M|8| | |||
''Rohfassung'' Betrachte noch einmal die beiden Einstiegsaufgaben: | |||
* Was waren die Problemstellungen? | |||
* Was waren die ersten Lösungsansätze? | |||
* Wie sieht die mathematische Lösung aus? | |||
}} | |||
== Ableitungsfunktion == | == Ableitungsfunktion == |
Version vom 27. Oktober 2013, 15:50 Uhr
Achtung: Baustelle: Lernpfad zur Einführung in die Differentialrechnung
Einstiegsaufgaben
Blumenvase
![GeoGebra](/extensions/GeoGebra/images/geogebra-logo.png)
In eine Vase wird gleichmäßig Wasser eingefüllt. Die Höhe des Wasserstandes in Abhängigkeit von der Zeit kann mit folgender Funktion beschrieben werden:
Mit welcher Geschwindigkeit nimmt die Wasserhöhe zum Zeitpunkt t=12 Sekunden zu?
Barringer-Krater
In Arizona gibt es einen Einschlagskrater eines Meteoriten, den sogenannten Barringer-Krater.
Der Krater hat einen Durchmesser von etwa 1200 Meter und eine Tiefe von 180 Meter. An der flachsten Stelle kann der Kraterrand durch die folgende Funktion beschrieben werden: für
Hier kommt noch ein Koordinatensystem mit der Funktion hin
Im Krater befindet sich ein Fahrzeug, das eine Steigung von bus zu 100% bewältigen kann. Kann das Fahrzeug den Kraterrand erreichen und aus dem Krater herausfahren?
Durchschnittliche Änderungsrate
Blumenvase
![GeoGebra](/extensions/GeoGebra/images/geogebra-logo.png)
Beantworte die Fragen, indem du die Schieberegler für t und t1 entsprechend einstellst:
Mit wie vielen cm/s ändert sich die Höhe im Schnitt im Zeitintervall zwischen 12 und 14 Sekunden?
Mit wie vielen cm/s ändert sich die Höhe im Schnitt im Zeitintervall zwischen 12 und 13 Sekunden?
Mit wie vielen cm/s ändert sich die Höhe im Schnitt im Zeitintervall zwischen 12 und 12,5 Sekunden?
...
Sekantensteigung
Barringer-Krater
Die durchschnittliche Steigung des Kraters zwischen den Punkten A(x0|f(x0)) und B(x1|f(x1)) kann mit berechnet werden. Dies enspricht der Steigung der Geraden, die durch die Punkte A und B geht. Eine soche Gerade, die den Graphen einer Funktion in zwei Punkten scheidet, nennt man Sekante. ist dann die Sekantensteigung.
![GeoGebra](/extensions/GeoGebra/images/geogebra-logo.png)
![GeoGebra](/extensions/GeoGebra/images/geogebra-logo.png)
In der Graphik der Lösung der vorherigen Aufgabe kann man den Punkt B bewegen, indem man mit der Maus auf ihn zeigt und bei gedrückter linker Maustaste die Maus bewegt.
![GeoGebra](/extensions/GeoGebra/images/geogebra-logo.png)
Die beiden Schnittpunkte der Sekante nähern sich immer mehr einander an. Wenn der Punkt B mit dem Punkt A zusammenfällt, gibt es nur noch einen Schnittpunkt der Geraden mit dem Graphen der Funktion. Information:
Die Gerade ist dann keine Sekante (die einen Graphen ja in zwei Punkten schneiden muss) mehr. Man nennt dies Gerade Tangente an den Graphen der Funktion f im Punkt A. Weitere Erläuterung des Begriffs Tangente.
Die Idee bei der Annäherung der Tangentensteigung durch Sekantensteigungen ist es, den Wert x1 immer mehr x<sbu>0 anzunähern. Dann gibt die Steigung der Sekanten eine immer bessere Näherung für die Tangentensteigung.
Anstatt x1 immer mehr x<sbu>0 anzunähern, kann man auch die Differenz klein werden lassen. Es ist dann .
![GeoGebra](/extensions/GeoGebra/images/geogebra-logo.png)
![GeoGebra](/extensions/GeoGebra/images/geogebra-logo.png)
Differenzenquotient
Reflexionsaufgabe: Gemeisamkeiten herausarbeiten als Vorbereitung der Plenumsphase
Plenumsphase? Möglicher Inhalt: Verbindung zwischen durchschnittlicher Änderungsrate, Sekantenssteigung und Differenzenquotient (allgemeine Beschreibung für die beiden Konzepte) herstellen.
Differentialquotient
Der Differentialquotient f'(x0 )
- beschreibt die momentane Änderungsrate der Funktion f an der Stelle x0 und entsteht im Rahmen eines Grenzprozesses, wenn man bei der durchschnittlichen Änderungsrate zwischen x0 und x1 den Wert x1 immer mehr dem Wert x0 annnährt,
- beschreibt die Steigung der Tangenten an den Graphen der Funktion im Punkt A(x0|f(x0)) und entsteht, wenn man in Rahmen eines Grenzprozesses bei der Sekantensteigung zwischen den Punkten A(x0|f(x0)) und B(x1|f(x1)) den Punkt B(x1|f(x1)) immer mehr dem Punkt A(x0|f(x0)) annähert.
![GeoGebra](/extensions/GeoGebra/images/geogebra-logo.png)
Vorlage:ProtokollierenSchreiben Sie die Definition des Differentialquotienten zusammen mit einer Skizze in Ihr Heft.
Andere Schreibweise:
Statt den Wert x1 immer mehr dem Wert x0 anzunähern, können wir auch die Differenz der beiden Werte immer kleiner werden lassen.
Dies nennt man die h-Schreibweise des Differentialquotienten.
![GeoGebra](/extensions/GeoGebra/images/geogebra-logo.png)
Vorlage:Untersuchen Vergleichen Sie die beiden Applets und untersuchen Sie die Veränderungen.
Ableitungsfunktion
Ableitungsfunktion Applet als Link übernehmen?Passt doch eigentlich so.
Kontext plus Übung
Diagnoseinstrument