Einführung in die Differentialrechnung: Unterschied zwischen den Versionen

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===== Barringer-Krater =====
===== Barringer-Krater =====
Differenzenquotient im Kontext


''Ich schreibe in den nächsten Tagen an diesem Abschnitt noch weiter (Roland)''
''Ich schreibe in den nächsten Tagen an diesem Abschnitt noch weiter (Roland)''


Die durchschnittliche Änderungsrate einer Funktion zwischen zwei Werte <math>x_0</math> und <math>x_1</math> wird mit dem Differenzenquotienten
Die Steigung der Sekante durch die Punkte <math> A(x_0,f(x_0))</math> und <math> B(x_1,f(x_1))</math> des Graphen der Funktion kann man mit


<math>\frac{\Delta y}{\Delta x}= \frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}</math>
<math>\frac{\Delta y}{\Delta x}= \frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}</math>
   
   
berechnet. Dies entspricht der Steigung der Geraden durch die Punkte <math> A(x_0,f(x_0))</math> und <math> B(x_1,f(x_1))</math> des Graphen der Funktion.
berechnen.


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Version vom 7. Oktober 2013, 11:09 Uhr

Achtung: Baustelle: Lernpfad zur Einführung in die Differentialrechnung

Einstiegsaufgaben

Blumenvase
GeoGebra


In eine Vase wird gleichmäßig Wasser eingefüllt. Die Höhe des Wasserstandes in Abhängigkeit von der Zeit kann mit folgender Funktion beschrieben werden:

Mit welcher Geschwindigkeit nimmt die Wasserhöhe zum Zeitpunkt t=12 Sekunden zu?

Barringer-Krater

Meteor.jpg

In Arizona gibt es einen Einschlagskrater eines Meteoriten, den sogenannten Barringer-Krater.

Der Krater hat einen Durchmesser von etwa 1200 Meter und eine Tiefe von 180 Meter. An der flachsten Stelle kann der Kraterrand durch die folgende Funktion beschrieben werden: für

Hier kommt noch ein Koordinatensystem mit der Funktion hin

Im Krater befindet sich ein Fahrzeug, das eine Steigung von bus zu 100% bewältigen kann. Kann das Fahrzeug den Kraterrand erreichen und aus dem Krater herausfahren?

Durchschnittliche Änderungsrate

Blumenvase
GeoGebra

Beantworte die Fragen, indem du die Schieberegler für t und t1 entsprechend einstellst:
Mit wie vielen cm/s ändert sich die Höhe im Schnitt im Zeitintervall zwischen 12 und 14 Sekunden?
Mit wie vielen cm/s ändert sich die Höhe im Schnitt im Zeitintervall zwischen 12 und 13 Sekunden?
Mit wie vielen cm/s ändert sich die Höhe im Schnitt im Zeitintervall zwischen 12 und 12,5 Sekunden?
...

Sekantensteigung

Barringer-Krater

Ich schreibe in den nächsten Tagen an diesem Abschnitt noch weiter (Roland)

Die Steigung der Sekante durch die Punkte und des Graphen der Funktion kann man mit

berechnen.

GeoGebra

Verändere im Applet die Punkte A und B und ...

Berechne ..., indem du die Funktionswerte mit Hilfe der Funktionsvorschrift berechnest.



Vorlage: Differenzenquotient

Übungen? Übung


Sekante

Übung? Übung Sekante

Differenzenquotient

Plenumsphase? Möglicher Inhalt: Verbindung zwischen durchschnittlicher Änderungsrate, Sekantenssteigung und Differenzenquotient (allgemeine Beschreibung für die beiden Konzepte) herstellen.

Differentialquotient

Vorlage: Differentialquotient

Durchschnittliche Änderungsrate => momentane Änderungsrate
Sekantensteigung => Tangentensteigung
Differenzenquotient => Differentialquotient


Übung1

Übung 2

Ableitungsfunktion

Ableitungsfunktion

Kontext plus Übung