Version vom 11. September 2009, 06:49 Uhr

Das „Ziegenproblem“

Aufgabe

Ist es vorteilhaft für den Kandidaten zu wechseln? Löse die Aufgabe mit einem Baumdiagramm!

Dann öffne folgende Seite mit einer anschaulichen Beschreibung in einem neuen Fenster. Betrachte aber noch nicht die Lösung!

Hast du dir schon überlegt, ob sich die Wahrscheinlichkeit beim Wechseln ändert und möchtest deine Hypothese überprüfen?

Oder möchtest du einfach die Quiz-Show nachspielen?

Dann öffne das Java-Applet und spiele das „Ziegenproblem“ nach! Die Türen öffnen sich durch anklicken. „Reset Doors“ schließt die Türen wieder.

Versuche dich an zwei Strategien: Behalte deine ausgewählte Tür oder wechsle die Tür jedes mal.

→ Versuche dich nun selbst an der Lösung des „Ziegenproblems“!

Brauchst du ein wenig Unterstützung, so bearbeite die folgenden Aufgaben Schritt für Schritt.

Das Auto steht hinter jeder Tür mit einer Wahrscheinlichkeit von

\frac{1}{3}\ .

Der Kandidat wählt sofort die Tür mit dem Hauptgewinn mit einer Wahrscheinlichkeit von

\frac{1}{3}\ .

Lese die Wahrscheinlichkeiten im Baudiagramm ab:

Betrachten wir zuerst die Gewinnwahrscheinlichkeit „ohne Wechsel“. Der Kandidat gewinnt nur, wenn er sofort die richtige Tür wählt:

\Rightarrow \quad p(\mathrm{Gewinn\ ohne\ Wechsel})=3 \cdot \frac{1}{9}=\frac{1}{3}

Addiere die Wahrscheinlichkeiten der Pfade, bei denen der Kandidat gewinnt, wenn er prinzipiell die Tür wechselt. So erhälst du die Gewinnwahrscheinlichkeit „mit Wechsel“:

\Rightarrow \quad p(\mathrm{Gewinn\ mit\ Wechsel})=6 \cdot \frac{1}{9}=\frac{2}{3}

Fazit: Wenn man die Türe wechselt verdoppelt sich die Gewinnwahrscheinlichkeit von $\frac{1}{3}$ auf $\frac{2}{3}$ !!!

Für Interessierte:

Interessiert dich das Ziegenproblem genauer, oder leuchtet dir die Lösung noch nicht ein?

Öffne noch einmal das Ziegenproblem mit den Schweinchen. Du kannst die Anzahl der Türen erhöhen: Schiebe den Regler „Number of doors“ weiter nach rechts. Hast du eine Tür gewählt, öffnet der Moderator alle anderen Türen, bis auf die mit dem Hauptgewinn.

Würdest du jetzt wecheln???