Terme/Multiplizieren und Dividieren von Summen und Differenzen

Multiplizieren und Dividieren von Summen und Differenzen

Distributivgesetz der Multiplikation

Ein Quadrat der Kantenlänge a wird auf der einen Seite um e erweitert und auf der anderen Seite zu s erweitert (siehe Skizze). Wie errechnest du den Flächeninhalt des neuen Rechtecks?

<popup name="Lösung"> Der Flächeninhalt eines Rechtecks lautet A_R= l•b
Die Länge l setzt sich hier aus a+e zusammen, b ist in diesem Fall s.
Also errechnet sich der Flächeninhalt der Figur so:
A_F = (a+e)•s </popup>
Überlege nun, wie du das Produkt in eine Summe umwandeln kannst. <popup name="Lösung"> (a+e)•s = a•s + e•s

</popup>

Erklärung:

Man multipliziert eine Summe (bzw. Differenz) mit einem Faktor, indem man jedes Glied der Summe (bzw. Differenz) mit dem Faktor multipliziert und die entstandenen Produkte addiert (bzw. subtrahiert).

a•(b+c) = a•b+a•c = ab + ac für alle a, b, c $\in$ $Q$

a•(b-c) = a•b-a•c = ab - ac für alle a, b, c $\in$ $Q$

(Vorgehensweise nach dem Distributivgesetz der Multiplikation)

Beispiel

(2-y)•3 = 2•3-y•3 = 6-3y

Multipliziere nun folgende Terme aus:

• (4+m)•2
• (7+z)•(-4)
• ($\frac{1}{2}$ +a)•$\frac{1}{2}$
• ($\frac{1}{3}$ -k)•$\frac{3}{4}$

<popup name="Lösung">

• (4+m)•2 = 4•2 + m•2 = 8 +2m
• (7+z)•(-4) = 7•(-4) + z•(-4) = -28 - 4z

• ($\frac{1}{2}$ + a)•$\frac{1}{2}$ = $\frac{1}{2}$ •$\frac{1}{2}$ + a• $\frac{1}{2}$ = $\frac{1}{4}$ + $\frac{a}{2}$

• ($\frac{1}{3}$ - k)•$\frac{3}{4}$ = $\frac{1}{3}$ •$\frac{3}{4}$ - k• $\frac{3}{4}$ = $\frac{1}{4}$ - $\frac{3k}{4}$

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Distributivgesetz der Division

Anna, Sara und Kerstin haben eine Tüte Bonbons geschenkt bekommen. Die Tüte enthält 9 Waldbeerbonbons und 18 Kirschbonbons. Die drei Freundinnen wollen die Bonbons gerecht untereinander aufteilen. Jede macht einen Vorschlag:

Anna: "Wir zählen alle Bonbons zusammen und teilen sie dann durch 3." Sara: "Wir teilen erst die Waldbeerbonbons durch 3, dann die Kirschbonbons und zählen dann zusammen, wie viele Bonbons jede von uns bekommt." Kerstin: "Ist es nicht egal, ob wir erst zusammenzählen und dann teilen oder erst teilen und dann zusammenzählen?" Was meinst du? Schreibe die beiden Rechenvorschriften zu Termen um und prüfe, welche der drei Mädchen recht hat.

<popup name="Lösung">

• Anna: (9+18):3 = 27:3 = 9
• Sara: 9:3 + 18:3 = 3+6 = 9

$\Rightarrow$ (9+18):3 = 9:3 + 18:3 = 9

Also haben alle drei Freundinnen recht. </popup>

Versuche nun, eine dafür allgemein geltende Rechenregel zu formulieren. <popup name="Lösung"> (a+b):c = a:c + b:c

</popup>

Erklärung:

Man dividiert eine Summe (oder Differenz) durch einen von null verschiedenen Divisor, indem man jeder Glied der einen Summe (bzw. Differenz) durch den Divisor teilt und die entstandenen Quotienten addiert (bzw. subtrahiert).

$\frac{a+b}{c}$ = $\frac{a}{c}$ + $\frac{b}{c}$ für a, b, $\in$ $Q$ ; c $\in$ $Q$ \{0}

bzw.:(a+b):c = a:c + b:c für a, b, $\in$ $Q$ ; c $\in$ $Q$ \{0}

$\frac{a-b}{c}$ = $\frac{a}{c}$ - $\frac{b}{c}$ für a, b, $\in$ $Q$ ; c $\in$ $Q$ \{0}

bzw.: (a-b):c = a:c - b:c für a, b, $\in$ $Q$ ; c $\in$ $Q$ \{0}

(Vorgehensweise nach dem Distributivgesetz der Division)

Beispiel

(a+6):8 = $\frac{a}{8}$ + $\frac{6}{8}$ = $\frac{a}{8}$ +$\frac{3}{4}$

Dividiere selbst:

• (z-0,5):2
• (m-c):c
• (2,8-0,3):a

<popup name="Lösung">

• (z-0,5):2 = $\frac{z}{2}$ - $\frac{0,5}{2}$ = $\frac{z}{2}$ - 0,25
• (m-c):c = $\frac{m}{c}$ - $\frac{c}{c}$ = $\frac{m}{c}$ - 1
• (2,8-0,3):a = (2,5):a = 2,5:a

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Ausmultiplizieren und Ausklammern

Du hast vorhin ein Quadrat berechnet, dessen Seitenlänge a um e erweitert wurde und dessen andere Seitenlänge zu s erweitert wurde. Berechne jetzt den Flächeninhalt für das Rechteck, wenn sich s aus a und f zusammensetzt. (siehe Skizze)

<popup name="Lösung"> Wie oben: A_F = (a+e)•s
für s= a+f einsetzen: A_F = (a+e)•(a+f) </popup>
Mit Hilfe des Distributivgesetzes kannst du schon multiplizieren (bzw. dividieren) einer Summe mit einem Faktor. Überlege, wie der neue Term für den Flächeninhalt A_F = (a+e)•(a+f) ausmultipliziert werden kann. <popup name="Lösung"> A_F = (a+e)•(a+f)

= a(a+f)+e(a+f) =

= a²+af+ae+ef

</popup>

Erklärung:

Man multipliziert zwei Summen (bzw. Differenzen) miteinander, indem man jedes Glied der einen Summe (bzw. Differenz) mit jedem Glied der anderen Summe (bzw. Differenz) multipliziert und die entstandenen Produkte addiert (bzw. subtrahiert). Dieser Rechenschritt verwandelt ein Produkt in eine Summe.

(a+b)•(c+d) = a(c+d) + b(c+d) = (ac+ad) + (bc+bd) = ac + ad + bc + bd

(a-b)•(c+d) = a(c+d) - b(c+d) = (ac+ad) - (bc+bd) = ac + ad - bc - bd

(a+b)•(c-d) = a(c-d) + b(c-d) = (ac-ad) + (bc-bd) = ac - ad + bc - bd

(a-b)•(c-d) = a(c-d) - b(c-d) = (ac-ac) - (bc-bd) = ac - ad - bc + bd

Achte auf die Vor- und Rechenzeichen!

Beispiel

(x+2)(x+5) = x(x+5) + 2(x+5) = (x²+5x) + (2x+10) = x² +5x +2x +10 = x²+7x+10
Berechne selbst:

• (y+7)(3+y)
• (a-5)(1+a+2)
• (m+n+o)(m-n-o)

<popup name="Lösung">

• (y+7)(3+y) = y(3+y) + 7(3+y) = (3y+y²) - (21+7y) = 3y+y² - 21 -7y = y² -4y-21
• (a-5)(1+a+2) = a(1+a+2) - 5(1+a+2) = (a+a²+2a) - (5+5a+10) = a+a²+2a-5-5a-10 = a²+a+2a-5a-5-10 = a²-2a-15
• (m+n+o)(m-n-o) = m(m-n-o) + n(m-n-o) + o(m-n-o) = (m²-mn-mo) + (mn-n²-no) + (mo-no-o²) = m²-mn-mo+mn-n²-no+mo-no-o² = m²-n²-2no-o²

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Wende das Distributivgesetz an, um aus einer Summe ein Produkt zu machen.

21x+14y+7

<popup name="Lösung"> 21x+14y+7 = 7(3x+2y+1)

</popup>

Erklärung:

Enthält in einer Summe aus Produkten jedes Produkt einen oder mehrere gemeinsame Faktoren, so kann man diese nach dem Distributivgesetz ausklammern. Dieser Rechenschritt verwandelt eine Summe in ein Produkt.

a•b + a•c + a•d + a•e = a•(b+c+d+e)

Beispiel

2a-2b = 2(a-b)
Berechne selbst:

• ax+a
• 6z²+21z
• 6ab³+9ab²-15ab

<popup name="Lösung">

• ax+a = a(x+1)
• 6z²+21z = 3z(2z+7)
• 6ab³+9ab²-15ab = 3ab(2b²+3b-5)

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Übungsaufgaben

Aufgabe 1:

Multipliziere aus und fasse zusammen

• (m-n)(5n+m)
• (2a-3b)(2a-3b)
• (5r+2)(3r+2)

<popup name="Lösung">

• (m-n)(5n+m) = m(5n+m) - n(5n+m) = (5mn+m²) - (5n²+nm) = 5mn+m²-5n²-nm = m²+4mn-5n²
• (2a-3b)(2a-3b) = 2a(2a-3b) - 3b(2a-3b) = (4a²-6ab) - (6ab-9b²) = 4a²-6ab-6ab+9b² = 4a²-12ab+9b²
• (5r+2)(3r+2) = 5r(3r+2) + 2(3r+2) = (15r²+10r) + (6r+4) = 15r²+10r+6r+4 = 15r²+16r+4

</popup>

Aufgabe 2:

Übertrage die Termmauer in dein Heft und rechne sie aus.

<popup name="Lösung">

</popup> Aufgabe 3: Berechne den Flächeninhalt aus den angegebenen Maßen und vereinfache dann so weit wie möglich. a) b) <popup name="Lösung"> a) A = (3x+y)•(3x+y) = 3x(3x+y) + y(3x+y) = (9x2+3xy) + (3xy+y2) = 9x2+3xy+3xy+y2 = 9x2+6xy+y2 b) A = (2a+3b)•(2a-3b) = 2a(2a-3b) + 3b(2a-3b) = (4a2-6ab) + (6ab-9b2) = 4a2-6ab+6ab-9b2 = 4a2-9b2 </popup> Aufgabe 4: x2 +5x+6 x2 -4x+3 x2-3x-10 x2+2x-8 x2 +1 x2+4x+4 x+2 x-3 x-5 x+4 x-1 x+2 x+3 x-1 x+2 x-2 x+1 x+2