Einführung in die Negativen Zahlen

Didaktische Hinweise für die Lehrkraft

Dieser Lernpfad ist entsprechend des Lehrplanes in Sachsens zur Einführung der negativen Zahlen im LB 2: "Arbeiten mit rationalen Zahlen" in Klasse 7 angelegt.

Vorkenntnisse

Zur Nutzung dieses Lernpfades sind folgende Vorkenntnisse der Schülerinnen und Schüler erforderlich:

• Die SuS können natürliche und gebrochene Zahlen am Zahlenstrahl abtragen.
• Die SuS können natürliche und gebrochene Zahlen vergleichen und ordnen.

Wissensziele

• Die SuS kennen den Alltagsbezug negativer Zahlen.
• Die SuS beherrschen das Darstellen und Ablesen negativer Zahlen an der Zahlengerade.
• Die SuS kennen die Begriffe "entgegengesetzte Zahl" und "Betrag".
• Die SuS können negative Zahlen vergleichen und ordnen.

Einsatz

Die Schülerinnen und Schüler arbeiten alleine oder mit einem Partner. Wenn der Lernpfad in Einzelarbeit durchgeführt wird, kann bei Partnerarbeitsaufgaben die Busstop-Methode eingesetzt werden.
Der Lernpfad ist momentan für ca. 60min konzipiert, wurde aber noch nicht erprobt.

Technische Hinweise

Im Laufe des Lernpfades wirst du auf sogenannte Learning Apps treffen. Für eine angenehmere Optik wurden sie manchmal etwas verkleinert. Wenn dir das zu klein ist, kannst du bei jeder Learning App den Vollbild-Modus aktivieren, indem du auf das kleine Symbol oben rechts in dem Applet klickst.

Einführung

Hier kommt das Video von Powtoon hin.

Frage Was sind negative Zahlen und wo begegnen sie uns im Alltag?

Aufgabe Vorlage:Kommunizieren Überlegt gemeinsam, wo uns negative Zahlen im Alltag begegnen. Notiert einige Beispiele auf dem Protokoll und löst dann das Suchsel. <popup name="Hinweise"> Vorlage:Ausblendung Vorlage:Ausblendung </popup>

2. Video von Powtoon

Aufgabe

Lest euch das Merkekästchen genau durch und füllt dann den Lückentext auf dem Protokoll aus.

Merke Zahlen unter Null, wie z.B. am Thermometer oder im Fahrstuhl werden mit einem Minus-Zeichen geschrieben und heißen negative Zahlen. Das Minus-Zeichen ist ein Vorzeichen. Zahlen über Null haben ein + als Vorzeichen und heißen positive Zahlen. Die Null ist weder positiv noch negativ.

Erweiterung der Zahlengeraden

3. Video von Powtoon

Frage Was ist der Unterschied zwischen der 4 unter der Null und der 4 über der Null?
4. Video von Powtoon

Merke Wir erweitern unseren bekannten Zahlenstrahl zu einer Zahlengeraden.

Übung Bearbeite die folgenden Aufgaben.

1. Finde zu jeder Situation eine passende ganze Zahl. Ordne die Situation an die richtige Stelle auf der Zahlengeraden.

2. Von den beiden folgenden Aufgaben könnt ihr eine auswählen.

Welche Zahl liegt genau in der Mitte der angegebenen Zahlen? a) 7 und 16 b) -8 und 0 c) -4 und 12 d) -3 und 5 *e) -100 und -48 **f) -28 und 12 <popup name="Tipp"> Die gesuchte Zahl muss zu beiden Zahlen denselben Abstand haben. Wenn du nicht weiterkommst, nimm den Zahlenstrahl zu Hilfe. </popup> <popup name="Lösung"> a)13, b)-4, c)4, d)1, e)74, f)-8 </popup>

Entgegengesetzte Zahlen und Betrag

Aufgabe

Vorlage:Kommunizieren
Welche Zahlen könnt ihr für die Fragezeichen einsetzen? Löst und begründet eure Antwort auf dem Protokoll.

<popup name="Lösungsvorschlag"> Man kann für die Fragezeichen alle Zahlen einsetzen, die sich nur durch das Vorzeichen unterscheiden, also z.B. -3 & 3, -18 & 18, -5 & 5,… , da diese Zahlenpaare denselben Abstand zur 0 haben. </popup>

Aufgabe

Lest euch das Merkekästchen gut durch und notiert auf eurem Protokoll drei Beispiele zu entgegengesetzten Zahlen und zwei Beispiele zum Betrag.

Merke Zwei Zahlen, die ein entgegengesetztes Vorzeichen, aber zur Null denselben Abstand haben, heißen entgegengesetzte Zahlen. Der Abstand einer Zahl zur 0 heißt Betrag und wird mit Betragsstrichen gekennzeichnet, z.B. <popup name="Weitere Erklärungen zum Betrag"> Der Betrag gibt den Abstand von einer Zahl zur 0 an. Sowohl von der -9 als auch von der 9 muss man 9 Schritte bis zur 0 gehen. Deswegen haben -9 und 9 denselben Abstand, also auch denselben Betrag. Demzufolge ist der Betrag immer positiv, hat also immer ein "+" als Vorzeichen.</popup>

Ein analoges Thermometer

Ordnen von negativen Zahlen

5. Video von Powtoon

Frage

Was ist kleiner? -4 oder -1?

Aufgabe

Vorlage:Kommunizieren
Wem von beiden gebt ihr Recht und warum? Macht zunächst Notizen auf dem Protokoll und tauscht euch dann mit dem Partner aus.

<popup name="Lösung und Erklärung">-4 ist kleiner als -1.
Vielleicht hat einer von euch argumentiert, dass doch aber bei -4°C die Kälte größer ist oder 4€ Schulden mehr als 1€ Schulden sind. Das ist prinzipiell auch nicht verkehrt. In der Mathematik jedoch werden häufig Regeln festgelegt, damit es logisch bleibt. Leider passen diese Regeln dann aber nicht immer in unser Alltagsdenken. Man hat sich also entschieden, dass Zahlen kleiner sind je weiter links sie auf der Zahlengeraden liegen, so wie das auch bei den positiven Zahlen ist. Das hat folgenden Grund:
Von den positiven Zahlen wissen wir: 11 > 8.
Nun ziehen wir links und rechts immer 4 ab:
7 > 4
3 > 0
-1 > -4 Wenn wir davon ausgehen, dass -4 größer wäre als -1, dann würde sich das Relationszeichen umdrehen und das wäre nicht logisch. </popup>

Merke

Von zwei Zahlen ist diejenige die kleinere Zahl, die weiter links auf der Zahlengeraden liegt.

Übung

Im Folgenden findet ihr 10 Aufgaben, die mit Sternchen markiert sind. Ihr könnt auswählen, welche Aufgaben ihr bearbeiten wollt. Wichtig ist nur, dass ihr min. 8 Sternchen sammelt.
Aufgabe 1-4: *
Aufgabe 5-8: **

Aufgabe 9 & 10: ***

*1. Ordne die Aufgaben zu dem richtigen Relationszeichen zu.	*2. Ordne die Aufgaben zu dem richtigen Relationszeichen zu.
*3. Ordne die Zahlen der Größen nach.	*4. In den Niederlanden liegt rund ein Viertel der Gesamtfläche unter dem Meeresspiegel. In der folgenden Tabelle findest du die Höhenangaben für einige Städte.Schreibe sie in eine mathematische Schreibweise und ordne sie der Größe nach.
	Alkmaar 3,5m unter NN Amsterdam 0m über NN Apeldoorn 8m über NN Arnhem (Arnheim) 10m über NN Breda 0,5m über NN Middelburg 0,5m unter NN Rotterdam 6,5m unter NN Sneek 1m unter NN Utrecht 1m über NN <popup name="Lösung">-6,5 < -3,5 < -1 < -0,5 < 0 < 0,5 < 1 < 8 < 10</popup>

**5. Setze für den Strich eine Ziffer so ein, dass die Aussage stimmt. a) 7,35_ < 7,354 b) -0,1_9 < -0,129 c) - _5,34 < -35,34 <popup name="Lösung" a) 0; 1; 2 oder 3 b) 0 oder 1 c) 0; 1 oder 2 </popup>

**6.Gib vier Zahlen an, für die folgendes gilt: a) Sie sind kleiner als 2. b) Sie liegen zwischen -2 und 0 und ihr Betrag ist größer als 0,75. c) Sie sind größer als -7 und ihr Betrag ist kleiner als 10. <popup name="Lösungsvorschläge"> a) z.B. 1,5; 0; -2; -8; -9,8; -147 b) z.B. -2; -0,75; -0,01; 0; 5 c) z.B. -8; -6; 6; 9; 25 </popup>

**7. Erstelle eine Beschreibung für die folgenden Zahlen. Zum Beispiel könnte man die Zahlen -5; -7,8; -10,65; -4,2 mit "Sie sind kleiner als -3 und ihr Betrag ist größer als 4." beschreiben. a)-7,8; -5; 3,4; -4,5; 8 b)-3,9; 0; 0,8; -2; -1,89 <popup name="Lösungsvorschläge"> Prüfe für jede Zahl, ob sie deiner Beschreibung entspricht. Die folgenden Beschreibungen sind Beispiele, du könntest ganz andere haben, die trotzdem richtig sind. a) Sie sind größer als -8 und ihr Betrag ist größer als 3. b) Sie liegen zwischen -5 und 1 und ihr Betrag ist kleiner als 4. </popup>

Vorlage:Kommunizieren **8. Nimm Stellung zu folgenden Schüleräußerungen: Patrick: Minus 1 Trilliarde ist die größte negative Zahl. Kai: Nein, minus 100 Trilliarden ist viel größer. Nina: Beides ist falsch. Minus 0,01 ist eine ziemlich große negative Zahl. (Powtoon!) <popup name="Lösungsvorschlag"> Nina hat Recht. Da wir festgelegt haben, dass die Zahlen auf der Zahlengerade von links nach rechts größer werden ist -0,01 eine ziemlich große negative Zahl. -1 Trilliarde bzw. -100 Trilliarden würden sehr weit links auf der Zahlengeraden liegen und sind demzufolge sehr kleine Zahlen. Außerdem ist die Aussage "größte negative Zahl" nicht richtig, da es so wie bei den positiven Zahlen auch bei den negativen Zahlen kein Ende auf der Zahlengeraden gibt. </popup>

***9. Begründe mit Hilfe der Zahlengeraden oder widerlege mit einem Gegenbeispiel. a) Von zwei negativen Zahlen ist diejenige die kleinere, die den größeren Betrag hat. b) Wenn eine Zahl r kleiner ist als eine Zahl s , dann ist |r| kleiner als |s|. c) Wenn eine Zahl r kleiner ist als eine Zahl s, dann ist die entgegengesetzte Zahl von r größer als die entgegengesetzte Zahl von s. <popup name="Lösung"> a) Das ist richtig. Je weiter weg eine negative Zahl von der 0 liegt, desto kleiner ist sie, aber der Betrag (der Abstand zur 0) ist größer. b) Das ist nicht richtig. Gegenbeispiel: -4 < 1, aber |-4|= 4, |1|=1 und 4 > 1. c) Das ist richtig. Wenn eine Zahl r kleiner ist als eine Zahl s, dann liegt sie weiter links auf der Zahlengeraden als s. Bildet man nun die entgegengesetzte Zahl von r und s, spiegelt man praktisch ihren Abstand an der 0, d.h. die entgegengesetzte Zahl von r liegt nun weiter rechts als die entgegengesetzte Zahl von s.</popup>

***10. a) Gib drei Zahlen an, für die folgendes gilt: 1) Sie sind um mindestens 2 kleiner als -3 und liegen auf der Zahlengerade rechts von -10. 2) Sie sind größer als -6 und haben von -9 einen Abstand von höchstens 15 und ihre Beträge sind durch 2 teilbar. b) Erfinde selbst so ein Zahlenrätsel und gib es deinem Partner zum Lösen. <popup name="Lösungsvorschläge"> a) 1) -5; -8,7; -6; -9,8 2) -4; -2; 0; 6; </popup>