Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung/Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung/Wahrscheinlichkeit

Kommen wir nun zum wohl wichtigsten Begriff der Wahrscheinlichkeitsrechnung: Die Wahrscheinlichkeit !

Was sind Wahrscheinlichkeiten?

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Unter Wahrscheinlichkeit versteht man die Chance, dass bei einem Zufallsexperiment ein bestimmtes Ereignis auftritt. Wahrscheinlichkeiten werden Werte zwischen 0 und 1 zugeordnet. Dabei entspricht die 0, dass das Ereignis mit Sicherheit nicht eintreten kann (unmögliches Ereignis). Bei der Wahrscheinlichkeit 1 trifft das Ereignis mit Sicherheit ein (sicheres Ereignis). Schreibweise: P(A) = 0,5 (sprich: Die Wahrscheinlichkeit von Ereignis A ist 0,5)

Multipliziert man die ausgerechnete Wahrscheinlichkeit mit dem Faktor 100, so erhält man das Prozentmaß der Wahrscheinlichkeit:

Eine Wahrscheinlichkeit von 0,12 entspricht also eine Wahrscheinlichkeit von 0,12*100 = 12%.

Wie bestimmt man Wahrscheinlichkeiten?

Um Wahrscheinlichkeiten bei einem Zufallsexperiment zu bestimmen, gibt es verschiedene Strategien. Zwei werdet ihr in diesem Lernpfad kennenlernen.

Die erste Strategie habt ihr im Einstiegsbeispiel schon mithilfe der Applets kennengerlernt: Wenn die Wahrscheinlichkeiten für bestimmte Ereignisse nicht bekannt oder gegeben sind, wiederholt ihr das Zufallsexperiment häufig, um die Wahrscheinlichkeit schätzen zu können. Bei genügend großer Anzahl von Wiederholungen des Zufallsexperiments nähern sich die relativen Häufigkeiten der Ergebnisse/Ereignisse den theoretischen Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse an. Dieser Zusammenhang wird mit dem Gesetz der großen Zahlen bezeichnet.

Eine Frage bleibt euch dabei sicherlich:

Wie oft muss man das Zufallsexperiment denn wiederholen, um die Wahrscheinlichkeit zu erhalten?

Dies kann man nicht eindeutig beantworten. Das Gesetz der großen Zahlen besagt nur, dass die realtiven Häufigkeiten bei ein größerer Anzahl von Wiederholungen näher an den theoretischen Wahrscheinlichkeiten liegen.

Oder anders gesagt: Je öfter wir das Zufallsexperiment wiederholen, desto genauer nähern sich die realtiven Häufigkeiten den theoretischen Wahrscheinlichkeiten an.

ACHTUNG: Das Gesetz der großen Zahlen sagt nichts darüber aus, wie die absoluten Verteilungen einer Zufallsversuchsreihe aussehen muss. Das heißt, dass wenn man relativ gesehen in einem Spiel sehr wenig 6en gewürfelt hat, nicht automatisch in den nächsten Runden viele 6en fallen müssen, um den Rückstand auszugleichen.

Ein Rückstand eines Ergebnisses wird also in zukünftigen Durchführungen eines Zufallsexperiments nicht ausgeglichen, dies ist leider ein weitverbreiteter Irrtum!

Die andere Strategie ist auf Laplace-Experimenten anwendbar. Was das sind erfahrt ihr auf der nächsten Seite!

Beispiel

Siehe Didaktik der Stochastik I von Krüger, Sill und Sikora ab S.81 für Beispiele

Aufgaben

Aufgabe 1: Schwarzfahrer in der Bahn

Kontrolleure in der Bahn haben in der letzten Zeit 1235 Fahrgäste auf einen gültigen Fahrschein kontrolliert. Darunter waren 87 Schwarzfahrer.

a) Wie wahrscheinlich ist, dass ein Kontrolleur einen Schwarzfahrer bei der nächsten Kontrolle erwischt?

b) Mit wieviel Verlust muss der Verkehrsbetrieb jährlich rechnen, wenn er monatlich 45.000 Fahrgäste befördert und ein Fahrschein 2,70€ kostet?

<popup name="Lösung"> Lösung für a):

Hier wurde das Zufallsexperiment, ob ein Passagier ein Schwarzfahrer ist, insgesamt 1235-mal durchgeführt und 87-mal kam das Ergebnis Schwarzfahrer dabei heraus. Durch das Gesetz der großen Zahlen können wir die relative Häufigkeit als theoretische Wahrscheinlichkeit annehmen. Daher gilt:

P("Der Kontrolleur erwischt einen Schwarzfahrer") = $\frac{87}{1235} = 0,07$

Ein Kontrolleur erwischt einen Schwarzfahrer mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. 7%.

Lösung für b):

Der Verkehrsbetrieb transportiert jährlich 45.000*12 = 540.000 Fahrgäste.

Da mit einer Wahrscheinlichkeit von 7% ein Passagier Schwarzfahrer ist, gibt es im Jahr 540.000*0,07 = 37.800 Schwarzfahrer.

Das macht einen Verlust von 37.800*2,70€ = 102.060€.

Man kann mithilfe von statistischen Erhebungen und dem Gesetz der großen Zahlen Prognosen für zukünftige Gewinne/Verluste berechnen! </popup>

Aufgabe 2: Würfelexperiment

Ihr seht hier Würfelnetze dreier verschiedener Würfel:

1)

2)

3)

Johann hat mit einem der Würfel 125 Würfe gemacht und die Augenzahl bei jedem Wurf notiert. Hier ist seine Tabelle mit den Häufigkeiten:

Augenzahl	Eins	Zwei	Drei
Häufigkeit	36	69	20

Mit welchem Würfel hat Johann wohl geworfen? Begründe deine Antwort!

<popup name="Lösung"> Johann hat am wahrscheinlichsten mit dem Würfel 1) geworfen.

Anhand den Häufigkeiten, kann man die relativen Häufigkeiten und damit auch gleich die theoretischen Wahrscheinlichkeiten der Augenzahlen des Würfels bestimmen:

Für die Augenzahl eins gilt: 36/125 = 0,288 => Das entspricht einer Wahrscheinlichkeit von ca. 28,8%

Für die Augenzahl zwei gilt: 69/125 = 0,552 => Das entspricht einer Wahrscheinlichkeit von ca. 55,2%

Für die Augenzahl drei gilt: 20/125 = 0,16 => Das entspricht einer Wahrscheinlichkeit von ca. 16%

Betrachtet man nun die Würfelnetze, kann man feststellen, dass bei dem Würfelnetz 1) und 3) die Augenzahl zwei genau die Hälfte der Seiten des Würfels einnimmt => Die zwei sollte also etwa mit 50% Wahrscheinlichkeit beim Werfen fallen (das ist hier mit 55,2% der Fall)

Anhand den ausgerechneten Wahrscheinlichkeiten kann man auch feststellen, dass die Augenzahl eins öfter gefallen ist, als die Augenzahl drei => Die eins sollte also mehr Seiten des Würfels beanspruchen, als die drei.

Dies ist beim Würfelnetz 1) der Fall!

Gut zu wissen: An diesem Beispiel kann man gut erkennen, dass die die relativen Häufigkeiten bei geringer Anzahl an Versuchsdurchführungen von der theoretischen Wahrscheinlichkeit (mitunter auch stark) abweichen können. Daher können wir nicht mit Sicherheit sagen, dass das Würfelnetz 2 benutzt wurde, sondern es nur mit hoher Wahrscheinlichkeit annehmen. </popup>

Aufgabe 3: Musik-Dienste

Im Jahr 2017 gibt es 136,3 Mio. zahlende Nutzer von Musik-Streamingdiensten

Folgende Nutzerzahlen wurden dabei ermittelt:

Spotify	Apple Music	Amazon Music	Andere
54,52 Mio	25,897 Mio	16,356 Mio	39,527 Mio

Auf der Straße wird zufällig ein zahlender Nutzer von einem Streamindienst getroffen. Wie wahrscheinlich ist es...

a) dass er Kunde von Amazon Music ist?

b) dass er nicht Kunde von Apple Music ist?

c) dass er Kunde von Spotify oder einem anderen (Andere) Dienst ist?

<popup name="Lösung"> Ihr könnt euch unter diesem Link, die Statistik ansehen, auf dem diese Aufgabe beruht: https://de.statista.com/infografik/10431/weltweite-marktanteile-musik-streaming-anbieter/

Lösung für a):

Wir können aufgrund der hohen Wiederholungsanzahl des Zufallsexperiments (136,6 Mio-mal), die relative Häufigkeit als theoretische Wahrscheinlichkeit annehmen.

Daher gilt:

P("Kunde von Amazon Music") = $\frac{16,356 Mio.}{136,6 Mio.} = 0,12$

Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. 12% ist der Nutzer ein Kunde von Amazon Music.

Lösung für b):

Hier wird gefragt, wie wahrscheinlich es ist, dass der Nutzer NICHT Kunde von Apple Music ist.

Hierfür berechnet man die Wahrscheinlichkeit, dass er Kunde von einem der anderen Dienste ist. Dazu zählt man alle Kundenzahlen von allen Streamindiensten zusammen, die nicht Apple Music sind:

54,52 Mio. (Spotify) + 16,356 Mio. (Amazon Music) + 39,527 Mio. (Andere) = 110,403 Mio.

Also ergibt sich für die Wahrscheinlichkeit, dass man bei einem der andere Dienste ist:

P("nicht bei Apple Music") = $\frac{110,403 Mio.}{136,6 Mio.} = 0,8082$

Mit einer Wahrscheinlichkeit von 80,82% ist der Nutzer NICHT bei Apple Music.

Lösung für c):

Hierfür zählt man die Kundenzahlen von Spotify und Andere zusammen:

54,52 Mio. (Spotify) + 39,527 Mio. (Andere) = 94,047 Mio.

Daher ergibt sich für die Wahrscheinlichkeit:

P("bei Spotify oder bei Andere") = $\frac{94,047 Mio.}{136,6 Mio.} = 0,6885$

Mit einer Wahrscheinlichkeit von 68,85% ist der Nutzer bei Spotify oder einem der anderen Dienste. </popup>