Lineare Funktionen/Station 1: Unterschied zwischen den Versionen
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Version vom 11. Juni 2018, 08:17 Uhr
Station 1: Proportionale Funktionen
Im Bergwerk
In tief gelegene Bergwerke dringt im Betrieb laufend Grundwasser ein. Daher benutzt man große Pumpen, um das Grundwasser wieder aus dem Berkwerk zu befördern und damit den Bergleuten ein Arbeiten im Trockenen zu ermöglichen.
In der Regel treten pro Stunde etwa 120m³ Grundwasser ein, die ständig abgepumpt werden müssen.
Plötzlich fallen die Pumpen aus! Die Kumpel werden sichtlich nervös, denn der Aufzug ist langsam und kann immer nur wenige Leute nach oben in Sicherheit bringen. Und jeder weiß, sobald 850m3 Wasser ins Bergwerk eindringen, fällt der Strom und damit der Aufzug aus. Doch ihr seid kühle Mathematiker und könnt herausfinden, wie lange für die Evakuierung noch Zeit bleibt.
Um auch sicherzugehen, dass ihr euch nicht verrechnet, wärmt ihr euch zunächst mit ein paar einfachern Aufgaben auf. Es geht ja schließlich um das Leben der Bergleute!
- Wie viel Wasser dringt in einer halben Stunde in das Bergwerk ein? Begründe dein Ergebnis!
- Gib eine Zuordnungsvorschrift an, die die Situation beschreibt.
1h 120m3
0,5h 60m3
Zuordnungsvorschrift: f: Zeit t (in h) --> Wassermenge w (in m3
- Berechne in einer Wertetabelle die eingedrungene Wassermenge nach 1,2,5 und 6 Stunden.
- Bestimme die Proportionalitätskonstante m.
- Heißt die Proportionalitätskonstante nicht c?
- Nutze den Wert m, um die eingedrungene Wassermenge nach 4h, 5,5h und 1,63h zu berechnen.
- Gib eine Funktionsgleichung bzw. einen Funktionsterm an, wie man mit der Proportionalitätskonstante m die Wassermenge zu jeder Zeit t berechnen kann.
allgemeine Funktionsgleichung: oder
f(4h) = 120 m3 /h * 4h = 480 m3
f(5,5h) = 120 m3/h * 5,5h = 660m3
f(1,63h) = 120 m3/h * 1,63h = 195,6 m3Bei direkt proportionalen Zuordnungen gilt mit konstantem (Proportionalitätskonstante).
Man nennt sie deshalb auch proportionale Funktionen.
- Nutze die Funktionsgleichung, um die Wassermenge zu den Zeitpunkten 0h, 3h, 1,5h und 8h zu berechnen.
- Trage diese Punkte in ein Koordinatensystem ein, um den Graphen der Funktion zu zeichnen.
- Ist es sinnvoll, die Punkte zu verbinden? Begründe!
Verwende folgende Vorgaben:
- x-Achse: 1cm 2h
- y-Achse: 1cm 200m3
Genug aufgewärmt, die Kumpel wollen endlich wissen, wie lange sie noch Zeit haben!!
Ah, kein Stress,das ist ja noch genug Zeit. Bis du an der Reihe bist kannst du in aller Ruhe noch eine kleine Aufgabe lösen...
Nach einem regnerischen Herbstmonat dringen pro Stunde sogar 240m3 in das Bergwerk ein, in trockenen Sommermontaten hingegen nur 50m3.
- Gib für die beiden Fälle eine Funktionsgleichung an, die die Situation richtig beschreibt.
- Herbst:
- Sommer:
- Um die Graphen zu zeichnen musst du mithilfe der Funktionsgleichung zunächst Wertepaare berechnen (z.B. in einer Wertetabelle)
- Überlege: Wie viele Wertepaare/Punkte benötigst du, um den Graphen zeichnen zu können?
Allgemein:
Die Funktion mit der Funktionsgleichung beschreibt die direkte Proportionalität der beiden Variablen x und y.
Super, du hast die erste Station geschafft! Überprüfe in der Übungsstation doch gleich, ob du alles verstanden hast!