Benutzer:Jamo/ Lineare Funktionen

Willkommen bei unserem Lernmodul zum Thema „Lineare Funktionen“. In diesem Lernmodul werden die Basics zu diesem Thema behandelt.

Übergeordnetes Ziel des Lernpfads:

Die Schülerinnen und Schüler erkennen lineare Zusammenhänge in alltagsnahen Situationen, stellen diese in Tabellen, Graphen und Funktionsgleichungen dar und können die Bedeutung von Steigung und y-Achsenabschnitt in Sachzusammenhängen deuten.

Zu Beginn des Lernpfads wiederholen die Schülerinnen und Schüler ihr vorhandenes Wissen zu linearen Funktionen. Dabei werden zahlreiche Alltagsbezüge aufgegriffen und veranschaulicht, um lineare Zusammenhänge in realen Situationen wiederzuerkennen. Im zweiten Abschnitt lernen die Schülerinnen und Schüler lineare Funktionen systematisch kennen und setzen sich dabei besonders mit den unterschiedlichen Darstellungsformen – Tabelle, Graph und Funktionsgleichung – auseinander und verknüpfen diese miteinander. Im letzten Abschnitt stehen die Parameter der linearen Funktionsgleichung im Mittelpunkt. Durch experimentierendes Lernen untersuchen die Schülerinnen und Schüler den Einfluss von Steigung und y-Achsenabschnitt und entwickeln so ein vertieftes Verständnis für deren Bedeutung.

Lineare Funktionen

Eine lineare Funktion ist eine Funktion, deren Graph immer eine gerade Linie darstellt. Sie beschreibt eine Beziehung, bei der eine Änderung der einen Größe eine immer gleiche Änderung der anderen Größe bewirkt. Das bedeutet, die Veränderung der y-Werte im Verhältnis zur Veränderung der x-Werte ist immer gleich. An den Dreiecken unterhalb des Graphs kannst du das gut erkennen.

Lineare Funktionen werden häufig verwendet, um Wachstumsprozesse darzustellen. Häufig erleben wir im Alltag Situationen, in denen in gleichbleibenden Zeitabschnitten etwas immer um den gleichen Wert zu- oder abnimmt. Aber Vorsicht: Nicht jedes Wachstum ist linear!

In dem folgenden Abschnitt kannst du an konkreten Beispielen erkunden, wo uns lineares begegnet und wie wir damit im Alltag umgehen. Viel Spaß!

Schau dir einfach nochmal in Ruhe das kurze Erklärvideo an!

Lineare Funktionen im Alltag

Einführungsbeispiel Sparschwein

Yannis hat in seinem Sparschwein 5€. Jeden Monat bekommt er 2€ Taschengeld von seinen Eltern. Nach vier Monaten hat er bereits 13€ angespart. Um seine Finanzen besser planen zu können, erstellt er sich ein Schaubild.

Schnell merkt Yannis, dass die eingetragenen Punkte alle in einer Reihe liegen. Wenn er sie verbindet erhält er eine Gerade.

Aufgabe 1

Yannis möchte wissen, ob er sich in eineinhalb Jahren ein neues Mathebuch für 40€ kaufen kann. Zeichne selbst ein Diagramm in dein Heft und versuche anhand der Linie herauszufinden, ob die Zeit ausreicht.

Das Video konntest du schonmal im ersten Abschnitt anschauen. Dort wird eine sehr ähnliche Aufgabe gelöst.

Aufgabe 2

Fallen dir andere Beispiele für lineares Wachstum oder lineare Abnahme ein? Suche mindestens fünf Beispiele und denke dir realistische Werte aus, die du in die Tabelle eintragen kannst. Als Inspiration dient das folgende Bild.

Beispiel	In einer Zeit von ...	nimmt die Sache um ... zu/ab.

Aufgabe

In der folgenden Grafik siehst du eine Grafik, die das Wachstum von Bakterien anzeigt? Was fällt dir im Vergleich zu den vorangegangenen Beispielen auf?

Wiederholung

Wiederholung 1

Fülle den folgenden Lückentext vollständig aus. Nutze dein Wissen über Koordinaten, Punkte und das Koordinatensystem.

Achte besonders darauf, wie man Punkte richtig angibt und wofür die x- und y-Werte stehen.

Wiederholung 2

Schiebt die vier angezeigten Punkte an ihre richtige Position im Koordinatensystem. Wenn alle richtig platziert sind, drückt den Button in der rechten unteren Ecke, um neue zufällige Punkte zu erhalten. Wiederholt diesen Vorgang dreimal erfolgreich.

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Wiederholung 3

In einer Firma produzieren die Mitarbeiter Bauteile. Die Anzahl der hergestellten Bauteile ist proportional zur Anzahl der eingesetzten Mitarbeiter.

Anzahl an Mitarbeitern	Anzahl der Bauteile
7 Mitarbeiter	21 Bauteile pro Stunde
1 Mitarbeiter	A
12 Mitarbeiter	B
16 Mitarbeiter	C
20 Mitarbeiter	D
E	52 Bauteile pro Stunde

Hinweis

Die Anzahl der hergestellten Bauteile hängt direkt davon ab, wie viele Mitarbeiter eingesetzt werden. Das bedeutet: Je mehr Mitarbeiter arbeiten, desto mehr Bauteile werden pro Stunde produziert.

Diesen Zusammenhang kann man auch als Formel darstellen: $\mathit{Bauteile pro Stunde} = \text{k} \cdot \mathit{Mitarbeiterzahl }$

Der Wert k gibt an, wie viele Bauteile ein einzelner Mitarbeiter pro Stunde herstellen kann.

Lineare Funktionen kennenlernen

Im folgenden Bild siehst du eine Wertetabelle zu einem linearen Wachstum. Dieses kann ebenfalls durch die abgebildete Gerade im Koordinatensystem und durch die Funktionsgleichung y = 2x - 1 dargestellt werden.

In diesem Kapitel lernst du, wie die linearen Funktionen und ihre Grafen zusammenhängen.

Erarbeitung

Schau dir das Video zu linearen Funktionen an. Du erfährst dabei, wie lineare Funktionsgleichungen typischerweise aufgebaut sind und wie sie mit den Geraden im Koordinatensystem zusammenhängen.

Aufgabe 1

Verschiebe die 2 Punkte genau so, dass die vorgegebene Geradengleichung erfüllt ist.

Aufgabe 2

Bestimme die zu den Geraden zugehörigen Funktionsgleichungen.

Aufgabe 3

Bestimme die Gerade, welche durch die beiden angegebene Punkte geht.