Lineare Funktionen im Aktiv-Urlaub/Funktionsgleichung und Funktionsgraph

Vorwissen zum Thema

1) Zuordnungen und Funktionen
2.1) Lineare Funktionen erkenne und darstellen
2.2) Funktionsgleichung und Funktionsgraph
2.3) Wertetabelle und Funktionsgleichung

2.4) Lineare Funktionen im Aktivurlaub und andere Anwendungen

Wertetabelle und Funktionsgraph

Wertetabelle erstellen

Berechne den y-Wert der Funktion, indem du den x-Wert in die Funktionsgleichung einsetzt.
Beispiel Bootsverleih: y = 2x + 5
Für x = 1 gilt: y = 2· 1 + 5
                         = 7
Für x = 2 gilt: y = 2· 2 + 5
                         = 9
Übertrage die Werte in die Wertetabelle:

x	0	1	2	3	4	...
y	5	7	9	11	13	...

Funktionsgraphen zeichnen

Trage die Punkte der Wertetabelle in ein Koordinatenkreuz ein und zeichne den Graphen der Funkton.
Erinnerung:"Zuerst nach rechts und dann nach oben, dann werde ich dich loben" bzw. "Zuerst Anlauf nehmen, dann hoch springen."

Das Video fasst das Vorgehen noch einmal zusammen:

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Übung 1

Bearbeite das nachfolgende Applet. Löse mindestens 5 Aufgaben.

Applet von Hans Scharrer, jkreitner

Übung 2

Lege jeweils eine Wertetabelle an und zeichne den Graphen der Funktion. Zeichne a,b und c in ein Koordinatenkreuz und b, d und e in ein zweites Koordinatenkreuz. Nutze verschiedene Farben.
a) y = x
b) y = 2x
c) y = 0,5x
d) y = 2x + 1
e) y = 2x - 3
Fällt dir etwas auf?

Aufgabe	x	-3	-2	-1	0	1	2	3
a)	y=x
b)	y=2x
c)	y=0,5x
d)	y=2x+1
e)	y=2x-3

Funktionsgleichung und Funktionsgraph

f(x) = mx + b Bedeutung von m und b für den Funktionsgraphen

Damit du einen Eindruck von der Bedeutung der Parameter m (Steigung) und b (y-Achsenabschnitt) der Funktionsgleichung linearer Funktionen f(x) = mx + b erhältst, verändere in der folgenden Animation mithilfe der Schieberegler die Größe von m und b. Notiere deine Beobachtungen stichpunktartig.

In der Funktionsgleichung linearer Funktionen f(x)= m·x + b haben die Parameter m und b verschiedene Bedeutungen:
b ist der y-Achsenabschnitt, im Punkt P(0|b) schneidet die Gerade die y-Achse.

m ist die Steigung der Funktion, der Graph verläuft steigend oder fallend, je steil oder flach.

Nun schauen wir uns die Steigung m genauer an. Dazu wählen wir den y-Achsenabschnitt b = 0, die Gerade geht also durch den Ursprung (0|0).

Erinnerung: Diese Funktionen heißen "proportionale Funktionen", da ihr Graph eine Ursprungsgerade ist.

Die Steigung m

Die Bedeutung von m: Steigende und fallende Geraden

Wir unterscheiden steigende und fallende Geraden. Eine Gerade "steigt", wenn bei steigenden x-Werten auch die y-Werte steigen. Für die Steigung m gilt also:

Ist m > 0, steigt die Funktion.

Ist m < 0, fällt die Funktion.

Anschaulich vorstellen kannst du dir, dass die Funktion steigt, wenn der Wanderer den Berg hochsteigen muss.

Fällt die Funktion, "fällt" der Wanderer bergab.

Um zu unterscheiden, ob eine Gerade steil oder flach verläuft (steigt oder fällt), beobachte in der nächsten Simulation den Maulwurf, der seinen Maulwurfshügel hinaufklettert.

Wenn die Steigung m steil ist, muss der Maulwurf sehr mutig sein! Fülle den nachfolgenden Lückentext aus und übertrage ihn in dein Heft:

Die Steigung m einer proportionalen (linearen) Funktion f(x) = mx bestimmt den Verlauf der Geraden:

Für m > 0 steigt die Gerade und für m < 0 fällt die Gerade.

Die Gerade steigt flach für 0< m < 1 und steil für m > 1.

Die Gerade fällt flach für -1 < m < 0 und steil für m < -1.

Übung 3: Steigende und fallende Geraden

Bearbeite die nachfolgenden Apps um dein Wissen über steigende und fallende Geraden und die Bedeutung von m in der Funktionsgleichung.

Übung 4

Erfinde Aufgaben für deinen Sitznachbarn in der Art:
"Nenne mir eine proportionale Funktion, deren Graph flach fällt." Lösung z.B. f(x) = -x.

Prüft die Antworten mit GeoGebra.

Öffne die App GeoGebra und gib die Funktionsgleichung ein. Der zugehörige Graph wird sofort angezeigt. Steigt oder fällt dieser, steil oder flach?

Teste dein Wissen mit einem Kahoot (im Unterricht).

Das Steigungsdreieck

Untersuche mithilfe der Animation in GeoGebra die Steigung von Geraden. Du kannst mit den Schiebereglern m verändern. Außerdem kannst du das Steigungsdreieck durch Verschieben der Punkte A und B verändern. Beobachte, was geschieht. Probiere aus.

Beobachtung: Die Steigung m einer linearen Funktion können wir mit einem Steigungsdreieck ermitteln und darstellen. Dazu zeichnen wir von einem beliebigen Punkt auf der Geraden ein Dreieck zu einem anderen Punkt auf der Geraden, bei dem die eine Seite parallel zur x-Achse liegt und die andere parallel zur y-Achse. Gehen wir dabei genau 1 Einheit in x-Richtung, steigt (oder fällt) der y-Wert immer um den Wert m, die Steigung.

Egal, wie das Steigungsdreieck gezeichnet wird, der Quotient aus $\tfrac{\text{Dreieckshöhe y}}{\text{Dreiecksbreite x}}$ bleibt immer gleich, dies ist die Steigung m.

Merke: Die Steigung m

Die Steigung m einer linearen Funktion können wir mit einem Steigungsdreieck ermitteln und darstellen. Gehen wir dabei genau 1 Einheit in x-Richtung, steigt (oder fällt) der y-Wert immer um den Wert m, die Steigung.
Es gilt: m==$\tfrac{\text{Dreieckshöhe y}}{\text{Dreiecksbreite x}}$

Das Steigungsdreieck

Tina und Tom diskutieren darüber, wie sie das Steigungsdreieck einer linearen Funktion zeichnen:

Steigunsdreieck zwei Möglichkeiten Tina und Tom

Was meinst du?

Nutze das nachfolgende GeoGebra-Applet und diskutiere mit deiner Partnerin/deinem Partner.

Originallink zum Applet: https://www.geogebra.org/m/gjbxvqr5
Du kannst das jeweilige Steigungsdreieck einblenden lassen. Verschiebe das Steigungsdreieck durch Verschieben der angezeigten Punkte. Diskutiere deine Beobachtungen mit deinem Partner/deiner Partnerin.

Applet von Buß-Haskert

Übung 5

Löse auf der Seite Aufgabenfuchs die Aufgabe

• 15

Die Steigung m eines Graphen ablesen

Ist der Graph einer linearen Funktion gegeben (also eine Gerade im Koordinatensystem), kannst du die Steigung m mithilfe eines Steigungsdreiecks bestimmen.

Das nachfolgende Video erklärt, wie du bei einem gegebenen Graphen ein Steigungsdreieck einzeichnest und damit die Steigung m bestimmst.

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Übung 6

Die Bilder zeigen dir noch einmal, wie du ein Steigungsdreieck einzeichnest und damit die Steigung m bestimmst.

Übertrage jeweils das Beispiel in dein Heft und bearbeite anschließend die LearningApp.

1. Beispiel: m ist eine positive ganze Zahl (also eine natürliche Zahl):

2. Beispiel: m ist eine negative ganze Zahl:

3. Beispiel: m ist ein Bruch (positiv):

4. Beispiel: m ist ein Bruch (negativ):

Übung 7

Lies jeweils am Steigungsdreieck die Steigung m der Geraden ab.

Übung 8

Lies jeweils am Steigungsdreieck die Steigung m der Geraden ab. Verschiebe dazu den Punkt auf dem Graphen passend. Bearbeite je so viele Aufgaben, bis du mindestens 300 Punkte gesammelt hast.

• Level 1
• Level 2

Übung 9

Löse aus die folgenden Aufgaben aus dem Buch. Notiere wie folgt:
g₁: f(x) = ...
g₂: f(x) = ...

• S. 126 Nr. 5
• S. 126 Nr. 6

Prüfe deine Lösungen anhand der eingezeichneten Steigungsdreiecke.

Teste dein Wissen mit einem Kahoot (im Unterricht).

Übung 10: Proportionale Funktionen im Aktiv-Urlaub

• 1. Thomas fährt mit seinem Fahrrad in einer Sekunde durchschnittlich 5 m.
• 2. Die Eintrittskarte für einen Kletterpark kostet pro Person 13 €.
• 3. Das Fitness-Training kostet für eine halbe Stunde 3,50 €.
• 4. Erfinde selbst ein Beispiel.

Übertrage die Aufgaben in dein Heft, fülle die Wertetabelle aus und zeichne jeweils die Gerade. Gib die zugehörige Funktionsgleichung an und erkläre jeweils den Zusammenhang des Textes zum Steigungsdreieck.

x	1	2	3	...
y-Strecke	5	10	...
y-Eintrittskosten	13	...
y-Trainingskosten	...

Aufgabensammlung der Klasse 8b: Proportionale Funktionen im Aktivurlaub
Erstelle eine Wertetabelle, zeichne den Graphen und gib die Funktionsgleichung an.
Aktivurlaub an der Nordsee:
1. Familie Mann fährt in den Urlaub an die Nordsee. Für 100 km benötigt ihr Auto ca. 7,8 Liter Benzin.
2. An einem Rastplatz legen sie eine Pause ein und essen eine Kleinigkeit. Ein Fischbrötchen kostet 1,50€.
3. Familie Mann möchte im Urlaub an der Nordsee surfen gehen. Für 4 Personen zahlen sie 40€ pro Stunde.
4. Nach dem Surfen gönnt sich die Familie jeweils eine Kugel Eis zu 1,10€.
5. Nachmittags gehen sie in der Nordsee schwimmen. Dabei schwimmen sie in 5 Minuten ca. 70m weit. Eine Freundin schwimmt gleichzeitig los, sie benötig für 25m 100 Sekunden. (Zeichne in ein Koordinatenkreuz)
Wanderurlaub:
6. Ein Sportgeschäft bietet Wanderstöcke an. Jeder Stock kostet 25€.
7. Familie H. unternimmt eine Wanderung. Für die Strecke von 4m benötigen sie 5 Sekunden.
Familie U. geht ebenfalls wandern. Sie schafft in 10 Minuten 500m. (Zeichne in ein Koordinatenkreuz.)
8. Für eine geführte Wanderung durch den Nationalpark zahlt die Familie 15€ pro Stunde.
9. Zum Picknick während der Wanderung gibt es Obst und Schokoriegel. Ein Riegel kostet 0,60€.
Reiterferien:
10. Familie M. macht Urlaub auf einem Reiterhof. Drei Runden Pony-Reiten um den See kosten 13,50€.

11. Nach dem Pony-Reiten geht es für die Familie in eine Eisdiele, jede Kugel kostet 1,50€.

Übung 11-Anwendungsaufgaben

Löse die Aufgaben aus dem Buch. Vergleiche deine Lösungen und hake ab.

• S. 127 Nr. 10
• S. 127 Nr. 11
• S. 127 Nr. 12

Zeichne das Steigungsdreieck ein und lies die Werte für Δy und Δx ab. Es gilt m = $\tfrac{\Delta y}{\Delta x}$ = $\tfrac{\text{Höhenunterschied}}{\text{Horizontalunterschied}}$

a) Eisenbahn
Höhenunterschied 40m
Horizontalunterschied 100m
m = $\tfrac{40}{1000} = \tfrac{4}{100}$ = 4%.

Lösungen: 4%; 28%; 75%; 90%

Verwende verschiedene Darstellungen:
Datei:S. 127 Nr. 11a Darstellungen.jpg

Zeichne jeweils den gegebenen Punkt in ein Koordinatenkreuz und zeichne die Ursprungsgerade. Lies die Steigung m ab und gib die Funktionsgleichung f(x) = mx an.

Du kannst deine Lösung mithilfe von GeoGebra prüfen: Gib die Koordinaten des gegebenen Punktes ein und zeichne eine Gerade durch den Ursprung und den gegebenen Punkt. Lass dir dann das Steigungsdreieck einzeichnen. Nun kannst du die Funktionsgleichung angeben. Zoome so, dass du das Steigungsdreieck besser erkennen kannst.

Die Steigung lässt sich auch wie in Aufgabe 10 berechnen. m = m = $\tfrac{\Delta y}{\Delta x}$ = $\tfrac{\text{Höhenunterschied}}{\text{Horizontalunterschied}}$
a) m = $\tfrac{5}{100} = 0,05$, also f(x) = 0,05x
b) m = $\tfrac{275}{25} = \tfrac{11}{1}$ = 11, also ...
c) m = $\tfrac{320}{8}$ = 40 ct.

d) m = $\tfrac{3}{12} = \tfrac{1}{4}$

Welche Bedeutung haben die x- bzw. y-Achse? Erkläre.

Welche Bedeutung hat dann ein steiler Verlauf des Graphen? Erkläre.

Da es sich um Ursprungsgeraden handelt, müssen die Funktionsgleichungen die Form f(x)=mx haben (proportionale Funktionen). Bestimme die Steiung m mit einem geeigneten Steigungsdreieck.
Welchen Punkt kannst du jeweils ablesen?
m = $\tfrac{\Delta y}{\Delta x}$ = $\tfrac{\text{Höhenunterschied}}{\text{Horizontalunterschied}}$
m₁ = ... = 0,08

m₂ = ... = 0,16

Die Füllhöhe im Würfel steigt doppelt so schnell wie im Quader, also muss die Grundfläche ... so groß sein.

Den Graphen zeichnen mit einem Steigungsdreieck

Ist die Funktionsgleichung einer proportionalen Funktion gegeben, kannst du den Graphen (also eine Ursprungsgerade) mithilfe eines Steigungsdreiecks zeichnen.

Das nachfolgende Video erklärt, wie du bei gegebener Steigung mit dem Steigungsdreieck den Graphen (Ursprungsgerade) einer proportionalen Funktion zeichnest.

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Übung 12

Zeichne die Ursprungsgerade zur Funktionsgleichung. Verschiebe dazu den Punkt P, so dass ein geeignetes Steigungsdreieck ensteht.

• Level 1
• Level 2

Übung 13

Löse die Aufgaben aus dem Buch. Zeichne höchstens 4 Geraden in ein Koordinatenkreuz. Wenn die Aufgabe mehr Graphen enthält, zeichne ein weiteres Koordinatenkreuz.

• S. 126 Nr. 2
• S. 126 Nr. 4
• S. 126 Nr. 3

Gib die Funktionsgleichung bei GeoGebra ein und vergleiche den Verlauf des angezeigten Graphen mit deiner Zeichnung.

Tipp zum Zeichnen der Steigungsdreiecke, wenn m eine ganze Zahl ist(bei a,b und c): Gehe vom Ursprung aus 1 Schritt nach rechts und m Schritte nach oben (m positiv) bzw. nach unten (m negativ)

Tipp zum Zeichnen von Steigungsdreiecken, wenn m ein Bruch ist (bei d bis i)
Gehe so viele Schritte, wie der NENNER angibt, nach RECHTS und

so viele Schritte wie der ZÄHLER angibt nach OBEN (m positiv) oder UNTEN (m negativ).

Zusammenfassung: Schau dazu das nachfolgende Video zu Steigungsdreiecken an:

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Der y-Achsenabschnitt b

Lineare Funktionen: f(x) = m·x + b

Nachdem wir uns ausführlich mit der Bedeutung von m, also der Steigung einer linearen Funktion beschäftigt haben, schau noch einmal im Applet, welche Bedeutung der Parameter b für den Graphen der Funktion hat.

Die Veränderung von b bewirkt eine Verschiebung der Geraden entlang der y-Achse.

Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0|b)

Merke: Der y-Achsenabschnitt b

Eine Funktion mit der Gleichung f(x) = m·x + b ist eine lineare Funktion.
Der Graph ist eine Gerade.
Diese Gerade hat die Steigung m und schneidet die y-Achse im Punkt (0|b).

b ist der y-Achsenabschnitt.

Übung 14

Lies in der nachfolgenden App jeweils den y-Achsenabschnitt b am Graphen bzw. in der Funktionsgleichung ab.

Im Weiteren betrachten wir lineare Funktionen f(x) = mx + b.

Auch hier lernst du, wie du anhand eines Graphen die Funktionsgleichung bestimmst bzw. wie zu einer Funktionsgleichung eine passende Gerade zeichnen kannst.

Von der Geraden zu Funktionsgleichung

Ablesen der Funktionsgleichung am Funktionsgraphen - Erklärung

Übe das Aufstellen der Funktionsgleichung einer linearen Funktion bei gegebenem Graphen. Bestimme dazu zunächst den y-Achsenabschnitte b und danach die Steigung m mithilfe des Steigungsdreiecks.

Erklärvideo:

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und noch mehr Beispiele:

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Und nun noch einmal übersichtlich als Bild: Beispiel 1 (leicht): m ist eine natürliche Zahl

Beispiel 2 (mittel): m ist eine negative ganze Zahl

Beispiel 3 (schwer): m ist ein Bruch

Übung 15: Bestimmen der Funktionsgleichung einer Geraden

Ordne den Geraden die Funktionsgleichung zu. Wähle eine passende Schwierigkeit aus.

leicht (*)

mittel (**)

schwer (***)

Übung 16

Gib auf der Seite realmath jeweils die Funktionsgleichung f(x) = mx + b an. Bestimme dazu m und b, wie oben beschrieben.

• Übung: Funktionsgleichung ablesen

Übung 17

Gib die Funktionsgleichung an, die zur Geraden gehört. Notiere deine Lösung übersichtlich im Heft.

• S. 129 Nr. 2
• S. 129 Nr. 4
• S. 130 Nr. 6
• S. 130 Nr. 7

Öffne das GeoGebra-Applet zu S. 129 Nr. 2 und verändere den Wert des Schiebereglers b.

https://www.geogebra.org/classic/fuuc9dcy

Öffne das GeoGebra-Applet zu S. 129 Nr. 4 und verändere den Wert des Schiebereglers m. Stelle m so ein, dass der Graph g1, g2,... entspricht. Die Funktionsgleichung wird dir angezeigt.

https://www.geogebra.org/classic/qfasm3eg

Für g1 ist das Vorgehen noch einmal in einem Bild gezeigt, für g2, g3, usw. stellen die Schieberegler des GeoGebra-Applets so ein, dass der entsprechende Graph dargestellt ist. Die Funktionsgleichung wird dir dann angezeigt.

https://www.geogebra.org/classic/w8n4uabh

Nutze auch hier das GeoGebra-Applet, um die Graphen nachzustellen und die Funktionsgleichung abzulesen

https://www.geogebra.org/classic/w8n4uabh

Von der Funktionsgleichung zur Geraden

Und nun umgekehrt...

Zeichne zu einer Funktionsgleichung den Graphen.

Dabei gehst du ähnlich vor, wie beim Bestimmen der Funktionsgleichung.

1. Schritt: Zeichne den y-Achsenabschnitt b ein: P(0|b)

2. Schritt: Zeichne das Steigungsdreieck ein. Starte im Punkt P. Der Nenner gibt an, wie viele Einheiten du nach rechts gehst, der Zähler, wie viele Einheiten nach oben (unten).

3. Schritt: Zeichne die Gerade durch die so erhaltenen Punkte.

Die Bilder zeigen das Vorgehen für die Funktionsgleichung f(x) = ${3 \over 5}$x - 1.

Schritt 1

Schritt 2

Schritt 3

Übertrage das Beispiel mit den Anmerkungen in dein Heft! Die Videos zeigen das Vorgehen noch einmal:

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Übung 18 - online

Übe das Zeichnen von Geraden zu vorgegebenen linearen Funktionsgleichungen, bis du keine Schwierigkeiten mehr damit hast.

Applet von Wolfgang Wengler

Übung 19

Bearbeite die Aufgaben aus dem Buch.

• S. 129 Nr. 5 (immer 4 Geraden in ein Koordinatenkreuz)
• S. 130 Nr. 8 (Beachte die Alternative zur Partnerarbeit).

Nutze bei Bedarf die Tipps.

Zeichne zuerst den y-Achsenabschnitt b ein, von hier aus zeichne das Steigungsdreieck. Prüfe deine Zeichnung mit GeoGebra.

https://www.geogebra.org/graphing

Statt der Partnerarbeit erstelle eine Learningapp, in der den von dir gezeichneten Graphen die entsprechende Funktionsgleichung zugeordnet werden soll.

Wenn du für die Steigung einen Bruch wählst, kannst du ihn bei den LearningApps auch so schreiben, wie du es aus dem Unterricht kennst, indem du statt 2/3 folgendes schreibst: $$\frac{2}{3}$$

2.1 Lineare Funktionen erkennen und darstellen

2.3) Wertetabelle und Funktionsgleichung