Einführung in die Integralrechnung

Lernpfad

In diesem Lernpfad können die Schüler die grundlegenden Zusammenhänge der Integralrechnung anhand vieler interaktiver Übungen entdecken.

Einige Übungen sind dem gleichnamigen Lernpfad Einführung in die Integralrechnung der österreichischen Arbeitsgruppe Medienvielfalt im Mathematikunterricht entnommen, die aus einer Kooperation von mathe-online und GeoGebra entstanden ist.

Materialien: Das bestimmte Integral;  Aufgaben mit Lösung;  Integralfunktion

Das Flächenproblem

Idee

Ziel der folgenden Überlegungen ist es, ein Verfahren zu entwickeln, mit dem Flächeninhalte von krummlinig begrenzten Flächen berechnet werden können.

• Wie groß ist der Wasserverbrauch?
• Wie groß ist der Flächeninhalt des Grundstücks?

Unter- und Obersumme

Begriffsklärung

Informiere dich in dem Video wie man mit der Untersumme und Obersumme die Fläche zwischen einem Graphen und der x-Achse bestimmen kann?

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Aufgabe 1

Gegeben ist die Funktion f(x) = 0.25 x².

1. Zerlege das Intervall [0;4] in 8 gleichlange Teilintervalle und skizziere den Graphen und die Rechtecke in dein Heft.
2. Berechne die zugehörige Ober- und Untersumme.
3. Gib auch das arithmetische Mittel von Ober- und Untersumme als Näherungswert für die Fläche unter dem Funktionsgraphen an.

x	0	0,5	1	1,5	2	2,5	3	3,5	4
f(x)	0	0,0625	0,25	0,5625	1	1,5625	2,25	3,0625	4

Für den Flächeninhalt der Obersumme gilt:
S = f (0,5) $\cdot$ 0,5 + f (1) $\cdot$ 0,5 + .....f (4) $\cdot$ 0,5 = 0,5 $\cdot$f(0,5) + f(1) + ...f (4) = 6,375

Für den Flächeninhalt der Untersumme gilt:
s = f (0) $\cdot$ 0,5 + f (0,5) $\cdot$ 0,5 + .....f (3,5) $\cdot$ 0,5 = 4,375

Mittelwert: 5,375

Aufgabe 2

Gegeben ist die Funktion f(x) = 0.5 x².

1. Zerlege das Intervall [0;1] mit dem Schieberegler in gleichlange Teilintervalle und bestimme die zugehörige Ober- und Untersumme mit dem Applet.

Das bestimmte Integral

Arbeitsaufträge

• Informiere dich im  Arbeitsblatt "Das bestimmte Integral" über die Definition des Begriffs "bestimmtes Integral".
• Auf dem  Arbeitsblatt sind für einige einfache Funktionen die bestimmten Integrale über dem Intervall [a;b] angegeben. Finde anschauliche Erklärungen für die Herleitung und berechne die bestimmten Integrale für die angegeben Werte!  Lösung
• Berechne: $\int_{0}^{3}(x^2-2x-3)\, \mathrm{d}x$; $\int_{1}^{4}(x^2-2x-3)\, \mathrm{d}x$; $\int_{4}^{1}(x^2-2x-3)\, \mathrm{d}x$
• Überprüfe die Lösung mit folgendem Applet, in dem du mit Hilfe der Schieberegler die Integrationsgrenzen anpasst!

Flächenberechnung

Achtung Flächenbilanz

• Erkläre den Unterschied zwischen dem Wert des bestimmten Integrals und dem Flächeninhalt zwischen Graph und x-Achse.
• Verwende dazu dieses Applet!
• Informiere dich im Video über Bestimmtes Integral, Flächenbilanz, Fläche über/unter der x-Achse.

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Integralfunktion

Aufgabe 4

1. die Berechnung eines Integrals als Grenzwert von Unter- bzw. Obersumme ist aufwendig. Einfacher geht die Bestimmung mit der Integralfunktion.
2. Betrachte im Applet die Integralfunktion
3. Bearbeite als Zusammmenfassung das  Arbeitsblatt "Die Integralfunktion"