Benutzer:PascalHänle/Grundvorstellungen zum Ableitungsbegriff/Vorwissen

Vorwissen
Die Ableitung als lokale Änderungsrate
Die Ableitung als Steigung der Tangente
Die Ableitung als lokale lineare Approximation
Zusammenfassung Grundvorstellungen zum Ableitungsbegriff

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Sekanten an Funktionsgraphen

Eine Sekante ist eine Gerade, die den Graphen einer Funktion in (mindestens) zwei Punkten schneidet.

Sekante des Funktionsgraphen $f(x)$ durch die Punkte $A$ und $B$.

Lineare Funktionen

Lineare Funktion sind Funktionen, die eine Funktionsgleichung der Form $f(x)=m\cdot x+y$ oder $y=m\cdot x+b$ haben. Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade. Die Zahl $m$ gibt den Wert der Steigung an und die Zahl $b$gibt den y-Wert des Schnittpunkts der Geraden mit der y-Achse an.

Der Differenzenquotient

Die Steigung des Graphen einer linearen Funktion kann mit Hilfe des Differenzenquotienten berechnet werden.

Ist eine Funktion $f$ auf einem Intervall $[a;b]$ definiert, so gibt der Differenzenquotient

$\frac{\Delta{y}}{\Delta{x}}=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ die Steigung $m$ der Geraden durch die Punkte $A=(a|f(a))$ und $B=(b|f(b))$ an.

Die Differenzen können auch als $\Delta{y}$und $\Delta{x}$geschrieben werden. Der griechische Großbuchstabe Delta steht hier als Symbol für die Differenz der x- und y-Werte.

Beispiele

Die h - Schreibweise

Anstatt die Änderung der y-Werte $\Delta{y}=f(x_1)-f(x_0)$ in Relation zur Differenz $\Delta{x}=x_1-x_0$ zu setzen, kann man den Differenzenquotienten auch wie folgt schreiben: $\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$

Änderungsprozesse

In folgender Tabelle sind mehrere Beispiele illustriert, die Ihnen Szenarien aufzeigen, deren absolute und mittlere Änderungen Sie bereits mit dem Wissen aus der Sekundarstufe 1 beschreiben können.

Beispiele für Bestandsgrößen und deren Änderungen

Bestandsgröße	Zuflüsse	Abflüse
Anzahl der Schüler	Einschulungen	Schulabgänger
Treibstoffmenge im Tank	Tanken an der Tankstelle	Treibstoffverbrauch
Kontostand	Zubuchung	Abbuchung
Anzahl der Hotelgäste	ankommende Gäste	abreisende Gäste
Staatsverschuldung	Staatseinnahmen	Staatsausgaben

Die absolute Änderung

Die absolute Änderung ist die Änderung $f(x_1)-f(x_0)$eines Bestandes vom Zeitpunkt (oder einer anderen unabhängigen die sich auf den Bestand auswirkt) $x_1-x_0$.

Die mittlere Änderungsrate

Die mittlere (durchschnittliche) Änderungsrate ist die relative Änderung eines Bestandes in einem gegebenen Intervall. Sie entspricht der Steigung $m$der Sekante durch die Punkte $A=(a|f(a))$ und $B=(b|f(b))$ der Bestandsfunktion $f$ und lässt sich mit Hilfe des Differenzenquotienten berechnen.

Bestandsfunktion f und die mittlere Änderungsrate im Intervall [a,b] als Steigung der Sekante durch die Punkte A und B.

Beispiele für mittlere Änderungsraten

unabhängige Größe	abhängige Größe	mittlere Änderungsrate
Zeit	Wegstrecke	Durchschnittsgeschwindigkeit
Zeit	Geschwindigkeit	Mittlere Beschleunigung
Zeit	Wassermenge in einem Becken	mittlere Zuflussgeschwindigkeit

Beispiel: Wassertemperatur

Bestandsfunktion $T(x)$

Bei einem Experiment wurde die Temperatur einer Flüssigkeit in 10 Minuten Abständen gemessen. Die mittlere Änderungsrate der Temperatur im Intervall $[a;b]$lässt sich nun mit Hilfe des Differenzenquotient berechnen.

$\frac{\Delta{y}}{\Delta{x}}=\frac{T(b)-T(a)}{b-a}=\frac{9 C}{20 min}=0,45\frac{C}{min}$

Von der zwanzigsten bis zur vierzigsten Minute nimmt die Temperatur also im durchschnitt 0,45 Grad Celsius pro Minute zu. Für die Steigung der Sekante durch die Punkte $A=(a|T(a))$und $B=(b|T(b))$ gilt in dementsprechend $m=0,45$.