Einführung in die Integralrechnung: Unterschied zwischen den Versionen

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{{Box|Lernpfad|In diesem Lernpfad können die Schüler die grundlegenden Zusammenhänge der Integralrechnung anhand vieler interaktiver Übungen entdecken.  
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[[Bild:Integral Titel.png|200px|left]]In diesem Lernpfad können die Schüler die grundlegenden Zusammenhänge der Integralrechnung anhand vieler interaktiver Übungen entdecken. Einige Übungen sind dem gleichnamigen Lernpfad [http://www.austromath.at/medienvielfalt/materialien/int_einfuehrung/lernpfad/ Einführung in die Integralrechnung] der österreichischen Arbeitsgruppe [http://www.austromath.at/medienvielfalt/ Medienvielfalt im Mathematikunterricht] entnommen, die aus einer Kooperation von [http://www.mathe-online.at/ mathe-online] und [http://www.geogebra.at GeoGebra] entstanden ist.
Einige Übungen sind dem gleichnamigen Lernpfad [http://www.austromath.at/medienvielfalt/materialien/int_einfuehrung/lernpfad/ Einführung in die Integralrechnung] der österreichischen Arbeitsgruppe [http://www.austromath.at/medienvielfalt/ Medienvielfalt im Mathematikunterricht] entnommen, die aus einer Kooperation von [http://www.mathe-online.at/ mathe-online] und [http://www.geogebra.at GeoGebra] entstanden ist.
[[Datei:Logo Mathematik-digital 2011.png|200px|right|verweis=Mathematik-digital]]


<br>'''Voraussetzungen: '''
<br>'''Zeitbedarf: ''' etwa 3 Schulstunden
<br>'''Materialien:'''{{pdf|Infini_AB1.pdf|Das bestimmte Integral}}; {{pdf|Infini AB02.pdf|Aufgaben mit Lösung}}; {{pdf|Infini_AB7.pdf|Integralfunktion}}
}}
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'''Materialien:'''{{pdf|Infini_AB1.pdf|Das bestimmte Integral}}; {{pdf|Infini AB02.pdf|Aufgaben mit Lösung}}; {{pdf|Infini_AB7.pdf|Integralfunktion}}|Lernpfad}}


__NOTOC__


==Das Flächenproblem==
==Das Flächenproblem==
 
{{Box|Idee|
{|
[[Bild:Integral Grundstück.png|200px|right]]
|[[Bild:Integral Grundstück.png|200px|left]]
Ziel der folgenden Überlegungen ist es, ein Verfahren zu entwickeln, mit dem Flächeninhalte von krummlinig begrenzten Flächen berechnet werden können.
|Ziel der folgenden Überlegungen ist es, ein Verfahren zu entwickeln, mit dem Flächeninhalte von krummlinig begrenzten Flächen berechnet werden können.
*Wie groß ist der [http://www.austromath.at/medienvielfalt/materialien/int_einfuehrung/lernpfad/content/wasserverbrauch.htm Wasserverbrauch]?
*Wie groß ist der [http://www.austromath.at/medienvielfalt/materialien/int_einfuehrung/lernpfad/content/Grundstueck.htm Flächeninhalt des Grundstücks]?
*Wie groß ist der [http://www.austromath.at/medienvielfalt/materialien/int_einfuehrung/lernpfad/content/Grundstueck.htm Flächeninhalt des Grundstücks]?
*Wie groß ist der [http://www.austromath.at/medienvielfalt/materialien/int_einfuehrung/lernpfad/content/wasserverbrauch.htm    Wasserverbrauch]?
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|Hervorhebung2}}


==Unter- und Obersumme==
{{Box|1=Begriffsklärung|2=
<div class="grid">
<div class="width-1-2">Informiere dich in dem Video wie man mit der Untersumme und Obersumme die Fläche zwischen einem Graphen und der x-Achse bestimmen kann?




</div>
<div class="width-1-2">{{#ev:youtube|2bW8Zr7oTlY|460}}</div>
</div>
|3=Unterrichtsidee }}


==Unter- und Obersumme==
 
[[bild:Int_abb1.png|220px|right]]
{{Box|1=Aufgabe 1|2=Gegeben ist die Funktion f(x) = 0.25 x². [[bild:Int_abb1.png|220px|right]]
*Begriffsklärung [http://www.austromath.at/medienvielfalt/materialien/int_einfuehrung/lernpfad/content/unterobersumme.htm Unter- und Obersumme]
*'''Aufgabe''': Gegeben ist die Funktion f(x) = 0.25 x².  
#Zerlege das Intervall [0;4] in 8 gleichlange Teilintervalle und skizziere den Graphen und die Rechtecke in dein Heft.
#Zerlege das Intervall [0;4] in 8 gleichlange Teilintervalle und skizziere den Graphen und die Rechtecke in dein Heft.
#Berechne die zugehörige Ober- und Untersumme.
#Berechne die zugehörige Ober- und Untersumme.
#Gib auch das arithmetische Mittel von Ober- und Untersumme als Näherungswert für die Fläche unter dem Funktionsgraphen an.
#Gib auch das arithmetische Mittel von Ober- und Untersumme als Näherungswert für die Fläche unter dem Funktionsgraphen an.|3=Üben}}
# Lösung:
<div class="loesung-verstecken mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Lösungsvorschläge anzeigen" data-collapsetext="Lösungsvorschläge verbergen">
<popup name="Lösung">
{| class="wikitable"
Wir zerlegen das [0;4] in 8 Teilintervalle. Jedes Teilintervall ist 0,5 breit. <br>Zu den x-Werten 0; 0,5; 1; 1,5;.....4 gehören die folgenden y-Werte:
|-
  x | 0   0,5     1   1,5   2   2,5     3     3,5   4
|x||0||0,5||1||1,5||2||2,5||3||3,5||4
-----------------------------------------------------------
|-
f(x)| 0 0,0625 0,25 0,5625 1 1,5625 2,25 3,0625   4
|f(x)||0||0,0625||0,25||0,5625||1||1,5625||2,25||3,0625||4
|}


Für den '''Flächeninhalt der Obersumme''' gilt:<br>
Für den '''Flächeninhalt der Obersumme''' gilt:<br>
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'''Mittelwert: 5,375'''
'''Mittelwert: 5,375'''
</popup>
</div>
 
*Berechnung von Unter- und Obersummen mit [http://www.austromath.at/medienvielfalt/materialien/int_einfuehrung/lernpfad/content/unterobersumme_geogebra.htm  GeoGebra]




{{Box|1=Aufgabe 2|2= Gegeben ist die Funktion f(x) = 0.5 x².
#Zerlege das Intervall [0;1] mit dem Schieberegler in gleichlange Teilintervalle und bestimme die zugehörige Ober- und Untersumme mit dem Applet.
<ggb_applet width="648" height="588" version="4.4" id="kj3t88nw" enableRightClick="false" showAlgebraInput="false" enableShiftDragZoom="true" showMenuBar="false" showToolBar="false" showToolBarHelp="true" enableLabelDrags="false" showResetIcon="true" />
|3=Üben}}




==Das bestimmte Integral==
==Das bestimmte Integral==
{{Box|1=Arbeitsaufträge|2=
*Informiere dich im {{pdf|Infini_AB1.pdf|Arbeitsblatt "Das bestimmte Integral"}} über die Definition des Begriffs "bestimmtes Integral".  
*Informiere dich im {{pdf|Infini_AB1.pdf|Arbeitsblatt "Das bestimmte Integral"}} über die Definition des Begriffs "bestimmtes Integral".  
*Auf dem {{pdf|Infini AB02 ohne Lösung.pdf|Arbeitsblatt}} sind für einige einfache Funktionen die bestimmten Integrale über dem Intervall [a;b] angegeben. Finde anschauliche Erklärungen für die Herleitung und berechne die bestimmten Integrale für die angegeben Werte! {{pdf|Infini AB02L.pdf|Lösung}}  
*Auf dem {{pdf|Infini AB02 ohne Lösung.pdf|Arbeitsblatt}} sind für einige einfache Funktionen die bestimmten Integrale über dem Intervall [a;b] angegeben. Finde anschauliche Erklärungen für die Herleitung und berechne die bestimmten Integrale für die angegeben Werte! {{pdf|Infini AB02L.pdf|Lösung}}  
*Berechne:  <math>\int_{0}^{3}(x^2-2x-3)\, \mathrm{d}x</math>;  <math>\int_{1}^{4}(x^2-2x-3)\, \mathrm{d}x</math>; <math>\int_{4}^{1}(x^2-2x-3)\, \mathrm{d}x</math>
*Berechne:  <math>\int_{0}^{3}(x^2-2x-3)\, \mathrm{d}x</math>;  <math>\int_{1}^{4}(x^2-2x-3)\, \mathrm{d}x</math>; <math>\int_{4}^{1}(x^2-2x-3)\, \mathrm{d}x</math>
*Überprüfe die Lösung mit folgendem {{Ggb|LP_best_Int.ggb|Applet}}, in dem du mit Hilfe der Schieberegler die Integrationsgrenzen anpasst!
*Überprüfe die Lösung mit folgendem {{Ggb|LP_best_Int.ggb|Applet}}, in dem du mit Hilfe der Schieberegler die Integrationsgrenzen anpasst!
 
|3=Arbeitsmethode}}
 




==Flächenberechnung==
==Flächenberechnung==
[[bild:Int_abb2a.png|220px|right]]
{{Box|1=Achtung Flächenbilanz|2=
*[http://www.geogebra.at/medienvielfalt/materialien/int_einfuehrung/lernpfad/content/bestInt_ue1.htm Aufgaben zur Flächenberechnung] mit Geogebra
<div class="grid">
* Kläre die Bedeutung des Begriffs [http://www.geogebra.at/medienvielfalt/materialien/int_einfuehrung/lernpfad/content/bestInt_ue2.htm "negativer Flächeninhalt"]!
<div class="width-1-2">
*Erkläre den Unterschied zwischen dem Wert des bestimmten Integrals und dem [http://www.geogebra.org/de/upload/files/dynamische_arbeitsblaetter/lwolf/orientierteflaeche/flaeche.html Flächeninhalt zwischen Graph und x-Achse]!
*Erkläre den Unterschied zwischen dem Wert des bestimmten Integrals und dem Flächeninhalt zwischen Graph und x-Achse.
<br>
*Verwende dazu [http://www.geogebra.org/de/upload/files/dynamische_arbeitsblaetter/lwolf/orientierteflaeche/flaeche.html '''dieses Applet''']!
<br>
*Informiere dich im Video über '''Bestimmtes Integral, Flächenbilanz, Fläche über/unter der x-Achse'''.
<br>
</div>
 
<div class="width-1-2">
 
{{#ev:youtube|lP1sALCSxQs|460}}</div>
</div>
|3=Unterrichtsidee}}




==Integralfunktion==
==Integralfunktion==
* Bearbeite die Punkte 1 bis 6 des dynamischen Arbeitsblatts zur [http://www.geogebra.org/de/upload/files/dynamische_arbeitsblaetter/lwolf/integralfkt/integralfkt1.html Integralfunktion]. Halte die Ergebnisse in deinem Heft fest.
{{Box|Aufgabe 4|
*Überlege: Welche Funktionen der Kurvenschar sind keine Integralfunktionen?
#die Berechnung eines Integrals als Grenzwert von Unter- bzw. Obersumme ist aufwendig. Einfacher geht die Bestimmung mit der Integralfunktion.  
*Bearbeite nun als Zusammmenfassung das {{pdf|Infini_AB7.pdf|Arbeitsblatt "Die Integralfunktion"}}.
#Betrachte im Applet die Integralfunktion
 
#Bearbeite als Zusammmenfassung das {{pdf|Infini_AB7.pdf|Arbeitsblatt "Die Integralfunktion"}}
==Zusätzliche Übungsaufgaben==
<ggb_applet id="zz6vp32p" width="1200" height="568" />
*[http://www.austromath.at/medienvielfalt/materialien/int_einfuehrung/lernpfad/content/beispiel_unb_grenze.htm  Integration mit unbekannten Grenzen]
|Üben}}
 
[[Kategorie:Mathematik]]
 
[[Kategorie:Mathematik-digital]]
 
[[Kategorie:Sekundarstufe 2]]
 
[[Kategorie:Lernpfad]]
==Für Interessierte==
[[Kategorie:Interaktive Übung]]
*Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung mit [http://teacher.eduhi.at/alindner/Dyn_Geometrie/DiffInt/HS_DiffInt.htm ausführlichem Beweis]
{{DEFAULTSORT:Integralrechnung}}
 
[[Kategorie:Analysis]]
*Informiere dich im Internet über die Geschichte der Integralrechnung.
*Bei welchen Fragestellungen kommt die Integralrechung zum Einsatz? Finde möglichst vielfältige Beispiele.
 
{{SORTIERUNG:{{SUBPAGENAME}}}}
[[Kategorie:Integralrechnung|!]]
[[Kategorie:Mathematik in der Oberstufe]]
[[Kategorie:ZUM2Edutags]]
 
<metakeywords>ZUM2Edutags,ZUM-Wiki,Mathematik-digital,Einführung in die Integralrechnung,Mathematik,Einführung,Integralrechnung,12. Klasse,Oberstufe,Lernpfad</metakeywords>

Aktuelle Version vom 24. April 2022, 10:27 Uhr

Lernpfad

In diesem Lernpfad können die Schüler die grundlegenden Zusammenhänge der Integralrechnung anhand vieler interaktiver Übungen entdecken.

Einige Übungen sind dem gleichnamigen Lernpfad Einführung in die Integralrechnung der österreichischen Arbeitsgruppe Medienvielfalt im Mathematikunterricht entnommen, die aus einer Kooperation von mathe-online und GeoGebra entstanden ist.

Logo Mathematik-digital 2011.png


Materialien:Pdf20.gif Das bestimmte Integral; Pdf20.gif Aufgaben mit Lösung; Pdf20.gif Integralfunktion


Das Flächenproblem

Idee
Integral Grundstück.png

Ziel der folgenden Überlegungen ist es, ein Verfahren zu entwickeln, mit dem Flächeninhalte von krummlinig begrenzten Flächen berechnet werden können.


Unter- und Obersumme

Begriffsklärung
Informiere dich in dem Video wie man mit der Untersumme und Obersumme die Fläche zwischen einem Graphen und der x-Achse bestimmen kann?


Video laden
YouTube


Aufgabe 1
Gegeben ist die Funktion f(x) = 0.25 x².
Int abb1.png
  1. Zerlege das Intervall [0;4] in 8 gleichlange Teilintervalle und skizziere den Graphen und die Rechtecke in dein Heft.
  2. Berechne die zugehörige Ober- und Untersumme.
  3. Gib auch das arithmetische Mittel von Ober- und Untersumme als Näherungswert für die Fläche unter dem Funktionsgraphen an.
x 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4
f(x) 0 0,0625 0,25 0,5625 1 1,5625 2,25 3,0625 4

Für den Flächeninhalt der Obersumme gilt:
S = f (0,5) 0,5 + f (1) 0,5 + .....f (4) 0,5 = 0,5 f(0,5) + f(1) + ...f (4) = 6,375

Für den Flächeninhalt der Untersumme gilt:
s = f (0) 0,5 + f (0,5) 0,5 + .....f (3,5) 0,5 = 4,375

Mittelwert: 5,375


Aufgabe 2

Gegeben ist die Funktion f(x) = 0.5 x².

  1. Zerlege das Intervall [0;1] mit dem Schieberegler in gleichlange Teilintervalle und bestimme die zugehörige Ober- und Untersumme mit dem Applet.
GeoGebra


Das bestimmte Integral

Arbeitsaufträge
  • Informiere dich im Pdf20.gif Arbeitsblatt "Das bestimmte Integral" über die Definition des Begriffs "bestimmtes Integral".
  • Auf dem Pdf20.gif Arbeitsblatt sind für einige einfache Funktionen die bestimmten Integrale über dem Intervall [a;b] angegeben. Finde anschauliche Erklärungen für die Herleitung und berechne die bestimmten Integrale für die angegeben Werte! Pdf20.gif Lösung
  • Berechne: ; ;
  • Überprüfe die Lösung mit folgendem Geogebra.svg Applet, in dem du mit Hilfe der Schieberegler die Integrationsgrenzen anpasst!


Flächenberechnung

Achtung Flächenbilanz
  • Erkläre den Unterschied zwischen dem Wert des bestimmten Integrals und dem Flächeninhalt zwischen Graph und x-Achse.
  • Verwende dazu dieses Applet!
  • Informiere dich im Video über Bestimmtes Integral, Flächenbilanz, Fläche über/unter der x-Achse.
Video laden
YouTube


Integralfunktion

Aufgabe 4
  1. die Berechnung eines Integrals als Grenzwert von Unter- bzw. Obersumme ist aufwendig. Einfacher geht die Bestimmung mit der Integralfunktion.
  2. Betrachte im Applet die Integralfunktion
  3. Bearbeite als Zusammmenfassung das Pdf20.gif Arbeitsblatt "Die Integralfunktion"
GeoGebra
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