Laplace-Wahrscheinlichkeit wiederholen und vertiefen/Efron

Die „Würfel von Efron“

Diese besonderen Würfel (dargestellt durch ihr Netz) sind nach dem amerikanischen Statistiker Bradley Efron (geb. 1938) von der Stanford University benannt.

Spielregeln: Zwei Spieler wählen nacheinander einen Würfel. Danach würfelt jeder einmal. Wer die höhere Punktzahl hat, gewinnt.

Aufgabe

Findest du das Spiel fair?

Um dies herauszufinden, bastle dir die „Würfel von Efron“ ganz einfach nach. Nimm dazu beispielsweise vier helle Spielwürfel und beschrifte diese mit einem Folienstift so wie oben dargestellt, oder beklebe deine Würfel mit Papier. Jetzt spiele mit einem Freund oder einer Freundin nach den Spielregeln.

Wie ihr sicherlich herausgefunden habt, scheinen manche Würfel besser zu sein als andere. Wenn du die nächsten Aufgaben bearbeitest, wirst du erkennen, dass man mit einer gewissen Taktik sein Glück in diesem Spiel ganz schön beeinflussen kann.

Aufgabe 4.1

Du wirfst einen „Würfel von Efron“. Gib eine Ergebnismenge für jeden „Würfel von Efron“ so an, dass es sich dabei um ein Laplace-Experiment handelt.

• Eine mögliche Lösung ist zum Beispiel  $\Omega_{gruen} = \left\{ 4_1, 4_2, 4_3, 4_4, 0_1, 0_2 \right\}$  für den grünen Würfel.

• Wichtig ist, dass  $\left|\Omega_{gruen}\right| = 6$  gilt.

• Da jede Seite gleichwahrscheinlich ist, ist zum Beispiel die Wahrscheinlichkeit eine Null zu würfeln  $p\left(0\right)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$   (siehe Definition der Laplace-Wahrscheinlichkeit).

• Beispiel für eine falsche Lösung:   $\Omega = \left\{ 4, 0 \right\}\ .$  Dies ist zwar auch eine mögliche Ergebnismenge. Hier sind die Ergebnisse aber nicht gleichwahrscheinlich!

Aufgabe 4.2

Pia lässt Anna den Vortritt: Anna sucht sich den violetten Würfel aus, weil das ihre Lieblingsfarbe ist. Danach nimmt Pia den grünen Würfel. Wer hat die besseren Gewinnchancen? Berechne die Gewinnwahrscheinlichkeiten für Pia und Anna.

• Erstelle ein zweistufiges Baumdiagramm.
• Die erste Stufe ist z.B. Pias Wurf, die zweite Stufe ist dann Annas Wurf.
• Berechne die dazugehörigen Wahrscheinlichkeiten wie in Aufgabe 4.1.

• Da Anna sicher eine 3 würfelt, gewinnt sie nur wenn Pia eine 0 würfelt.

Nach Aufgabe 4.1 ist diese Wahrscheinlichkeit  $p\left(0\right)=\frac{1}{3}\ .$

Das Ereignis „Pia gewinnt“ ist das Gegenereignis dazu und berechnet sich demnach folgendermaßen:

$p(\mathrm{Pia\ gewinnt}) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}\ .$

• Dies lässt sich auch aus dem folgenden Baumdiagramm erkennen:

Die Wahrscheinlichkeit eines Pfades berechnet sich aus dem Produkt aller Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades („Produktregel“)!

• Betrachte diese 36-Feldertafel:

Hier werden alle möglichen Würfelpaare abgebildet.

Beispiel: zeigt der grüne Würfel 0, gewinnte der rote und die passenden Felder wurden rot markiert.

Zählt man die Felder einfach ab, so folgt:

Der grüne Würfel gewinnt mit einer Wahrscheinlichkeit von  $\frac {24}{36} = \frac{2}{3}$  gegen den violetten Würfel.

Das stimmt mit dem Baumdiagramm und der Rechnung überein!

Aufgabe 4.3

Welche weiteren Farbkombinationen gibt es noch, mit den „Würfeln von Efron“ gegeneinander zu spielen? Berechne die Gewinnwahrscheinlichkeiten aller verschiedenen Möglichkeiten wie in Aufgabe 4.2.

Übertrage die unten stehende Tabelle auf dein Blatt und trage die Werte ein!

Gibt es den „Superwürfel“, der gegen alle anderen gewinnt?

Die Tabelleneinträge stehen für die Wahrscheinlichkeit, dass der Würfel in der Zeile gegen den in der Spalte gewinnt.

Beispiel: Die Werte aus Aufgabe 4.2 sind schon eingetragen.

Hast du hierbei noch Schwierigkeiten, erklärt dir folgende Lösungshilfe ein weiteres Beispiel ganz genau:

Wählt nun Pia zuerst den türkisen Würfel, sucht sich danach Anna den gelben aus.

• Das zugehörige Baumdiagramm sieht so aus:

• Hat Pia schon wieder die besseren Chancen?

Wir markieren alle Pfade rot, bei denen sie sicher gewinnt:

Die Wahrscheinlichkeit des roten Pfades berechnet sich wieder aus dem Produkt aller Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades!

Die Gewinnwahrscheinlichkeit von Pia beträgt diesmal also nur  $\frac{1}{3}\ .$

• Betrachten wir zur Probe alle übrigen Pfade, wenn Anna sicher gewinnt:

Wir bekommen Annas Gewinnwahrscheinlichkeit, wenn wir die Wahrscheinlichkeiten aller roten Pfade addieren:

$p(\mathrm{Anna\ gewinnt}) = \frac{1}{3}\ +\ \frac{1}{6}\ +\ \frac{1}{6} = \frac{2}{3}\ .$

(Du kennst dieses Verfahren beispielsweise schon aus den Aufgaben 2.1 und 2.2! Man nennt das die „Summenregel“.

• Die 36-Feldertafel bestätigt das Ergebnis:

Der gelbe Würfel gewinnt mit einer Wahrscheinlichkeit von $\frac {24}{36} = \frac{2}{3}$ gegen den türkisen Würfel.

• Dies zeigt uns auch die formale Rechnung über das Gegenereignis:

$p(\mathrm{Anna\ gewinnt}) = 1 - p(\mathrm{Pia\ gewinnt}) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}\ .$

• Es gibt insgesamt $4\ \cdot\ 3 = 12$ verschiedene Spielpaarungen.

Die Wahrscheinlichkeiten, dass Spalte gegen Zeile gewinnt sind nun eingetragen:

• Nein, es gibt keinen „Superwürfel“. Man findet zu jedem Würfel einen Besseren, der mit einer Wahrscheinlichkeit von $\frac{2}{3}$ gewinnt.

Die beste Strategie zu gewinnen ist also höflich zu sein und dem Anderen den Vortritt zu lassen!

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Für Interessierte:

Aufgabe 4.4

Hans und Franz wollen bei Pia und Anna mitspielen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für jeden der Würfel, dass er gewinnt, wenn alle vier Würfel geworfen werden?

Jetzt musst du ein Baumdiagramm mit vier Stufen, die für die vier Würfel stehen, entwerfen.

Zeichne so wenige Zweige wie möglich, damit es übersichtlich bleibt.

  Der gelbe Würfel gewinnt auf jeden Fall, falls er die 6 zeigt.
  Dann sind die anderen Würfe uninteressant und der Pfad ist schon zu Ende.

  Falls er die 2 zeigt, muss der nächstbeste Würfel gesucht werden.

  Als nächstes kann der türkise Würfel gewinnen, falls er 5 zeigt. Der Pfad ist zu Ende.

  Wenn nicht, könnte der grüne Würfel gewinnen, falls er die 4 zeigt.

  Hat bis jetzt keiner gewonnen, gewinnt schließlich der violette Würfel.

Aufgabe

Spielt das Spiel aus Aufgabe 4.4 zu viert nach! Würfelt mindestens zehnmal und vergleicht eure Gewinnstatistik mit den berechneten Wahrscheinlichkeiten.

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Ziegenproblem!

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Laplace-Wahrscheinlichkeit wiederholen und vertiefen

1. Zufallsexperiment, Ergebnis und Ereignis, Laplace-Wahrscheinlichkeit
2. „Gustavs Glücksspiel“
   
3. Das „Drei-Würfel-Problem“
4. Die „Würfel von Efron“
5. Das „Ziegenproblem“