Laplace-Wahrscheinlichkeit wiederholen und vertiefen/Glücksspiel

Laplace-Wahrscheinlichkeit wiederholen und vertiefen

1. Zufallsexperiment, Ergebnis und Ereignis, Laplace-Wahrscheinlichkeit
2. „Gustavs Glücksspiel“
   
3. Das „Drei-Würfel-Problem“
4. Die „Würfel von Efron“
5. Das „Ziegenproblem“

Gustavs Glücksspiel

Gustav bietet dir nach der Schule ein Glücksspiel an:

• Du wirfst einen weißen und einen schwarzen Würfel.
• Bei den Augensummen 2, 3, 4, 9, 10, 11 und 12 bekommst du deinen Einsatz doppelt zurück,
• bei den Augensummen 5, 6, 7 und 8 verlierst du deinen Einsatz.

Da du bei 7 Augensummen gewinnst und nur bei 4 Augensummen verlierst, beträgt Deine Gewinnwahrscheinlichkeit   Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle \frac{7}{11} \approx 64%\ .}

Aufgabe

Würdest du dich auf das Spiel einlassen? Stimmt Gustavs Rechnung? Löse die nächsten Aufgaben um die Wahrheit herauszufinden!

Auf folgender englischsprachigen Seite kannst du das Glücksspiel von Gustav ausprobieren, ohne um deinen Einsatz spielen zu müssen (dazu benötigst du Java):

Racing Game with two Dice (Rennspiel mit zwei Würfeln)

• Wähle an der rechten Seite für die Augensummen 5 bis 8 „Player A“ für Gustav.
• Für die restlichen sieben Augensummen wähle „Player B“, das bist du.
• Mit „Start the race“ geht es los!
• Eine neue Seite öffnet sich. Klicke so oft den Button „Roll the Dice“ bis einer das Spiel gewinnt. Je nachdem welche Augensumme der Computer gerade simuliert, erhält „Player A“ oder „Player B“ einen Punkt.
• Spiel das Spiel nochmal! Um deine Gewinnchancen besser abzuschätzen, kannst du das Spiel mit dem Button „Automatically Run“ zum Beispiel 1000 mal auf einmal durchführen lassen. Dann zeigt die Statistik, wer wie oft gewonnen hat.
• Für Interessierte: Mit dem Button „Change Rules“ gelangst du zurück zu den Einstellungen, falls du etwas ändern und ausprobieren möchtest.

Aufgabe 2.1

Berechne die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse E₂: „Augensumme ist 2“ bis E₁₂: „Augensumme ist 12“.

Die Ergebnismenge und damit die Anzahl der günstigen Ergebnisse kennst du bereits von Aufgabe 1.8 aus dem ersten Teil des Lernpfads.

So sehen die Ereignisse aus:

$E_2 = \{(1,1)\}$

$E_3 = \{(1,2),(2,1)\}$

$E_4 = \{(1,3),(2,2),(3,1)\}$

$E_5 = \{(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)\}$

$\vdots$

$E_{12} = \{(6,6)\}$

Die Wahrscheinlichkeiten sind:

$p(E_{2})=\frac{1}{36}\ ,\quad p(E_{3})=\frac{2}{36}\ ,\quad p(E_{4})=\frac{3}{36}\ ,\quad p(E_{5})=\frac{4}{36}\ ,\quad p(E_{6})=\frac{5}{36}\ ,$

$p(E_{7})=\frac{6}{36}\ ,\quad p(E_{8})=\frac{5}{36}\ ,\quad p(E_{9})=\frac{4}{36}\ ,\quad p(E_{10})=\frac{3}{36}\ ,\quad p(E_{11})=\frac{2}{36}\ ,\quad p(E_{12})=\frac{1}{36}$

Aufgabe 2.2

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit p(G), dass du gewinnst? Hinweis: Hier bietet es sich an, über das Gegenereignis zu rechnen.

Das Gegenereignis tritt ein, wenn E₅, E₆, E₇, oder E₈ eintritt.

$\Rightarrow \quad p(\overline G) = p(E_{5})\ +\ p(E_{6})\ +\ p(E_{7})\ +\ p(E_{8}) = \frac{4}{36}\ +\ \frac{5}{36}\ +\ \frac{6}{36}\ +\ \frac{5}{36} = \frac{20}{36} = \frac{5}{9}$

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle \Rightarrow \quad p(G)=1-p(\overline G)= \frac{4}{9}=44{,}\overline 4 \ %}

Also gibt Gustav die Gewinnwahrscheinlichkeit viel höher an als sie tatsächlich ist.

Du kannst natürlich trotzdem mitspielen, solltest aber keinen zu hohen Einsatz wählen, da Gustav die besseren Chancen hat.

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