Jahrgangsstufentest/BMT8 2007: Unterschied zwischen den Versionen
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[https://www.isb.bayern.de/gymnasium/leistungserhebungen/jahrgangsstufenarbeiten-gymnasium/mathematik/2007/ '''Test und Lösungshinweise zum Download'''] | |||
<div class="rahmen"> | |||
<big>'''Aufgabe 1'''</big> | |||
[[Bild:2007 8A Aufgabe1.jpg|right]] | [[Bild:2007 8A Aufgabe1.jpg|right]] | ||
Für eine Ausstellung über Bayern soll auf einem großen Werbebanner die Statue der Bavaria abgebildet werden. Als Bildmotiv wird nebenstehendes Foto so vergrößert, dass es 20 m hoch ist. | Für eine Ausstellung über Bayern soll auf einem großen Werbebanner die Statue der Bavaria abgebildet werden. Als Bildmotiv wird nebenstehendes Foto so vergrößert, dass es 20 m hoch ist. | ||
Welche Gesamthöhe hat dann die Statue auf dem Werbebanner (ohne Sockel gemessen, Ergebnis auf Meter genau)? | Welche Gesamthöhe hat dann die Statue auf dem Werbebanner (ohne Sockel gemessen, Ergebnis auf Meter genau)? | ||
Der Lösungsweg muss nachvollziehbar sein. | Der Lösungsweg muss nachvollziehbar sein. | ||
{{Lösung versteckt|1= | |||
:Die Statue hat dann eine Gesamthöhe von '''16m'''. | |||
:Möglicher Lösungsweg: | |||
}}</ | ::Man misst die Höhe des Fotos (z.B. 5cm) und der Statue auf dem Foto ohne Sockel (z.B. 4cm). | ||
::Die Höhe der Statue auf dem Foto entspricht also <math>\frac{4}{5}</math> der Höhe des Fotos. | |||
::Damit entspricht auch die Höhe der Statue auf dem Banner <math>\frac{4}{5}</math> der Höhe des Banners: | |||
::<math>h_{Statue} = \frac{4}{5}\cdot h_{Banner} = \frac{4}{5}\cdot 20m = 16m</math> | |||
}} | }} | ||
</div> | |||
<div class="rahmen"> | |||
<big>'''Aufgabe 2a'''</big> | |||
Die Tabelle zeigt für einen bayerischen Landkreis die prozentuale Verteilung der Schülerinnen und Schüler in der Jahrgangsstufe 8 auf die einzelnen Schularten im Schuljahr 2005/06. | Die Tabelle zeigt für einen bayerischen Landkreis die prozentuale Verteilung der Schülerinnen und Schüler in der Jahrgangsstufe 8 auf die einzelnen Schularten im Schuljahr 2005/06. | ||
Diese Verteilung soll in nebenstehendem Kreisdiagramm veranschaulicht werden; die Sektoren für die Hauptschule und die Realschule sind bereits eingetragen. | Diese Verteilung soll in nebenstehendem Kreisdiagramm veranschaulicht werden; die Sektoren für die Hauptschule und die Realschule sind bereits eingetragen. | ||
Ergänze im Diagramm die beiden fehlenden Sektoren und beschrifte sie. | |||
''Hinweis für die Online-Version: Du kannst dein Vorgehen auch beschreiben.'' | |||
| | {| | ||
[[Bild:2007 8A Aufgabe2.jpg]] | | width="100px" | | ||
|[[Bild:2007 8A Aufgabe2.jpg]] | |||
| width="100px" | | |||
|[[Datei:BMT8_07_A02a_01.jpg|180px]] | |||
|} | |} | ||
{{Lösung versteckt|1= | |||
:Erläuterung: | |||
::[[Datei:BMT8 07 A2a 02.jpg|180px]] | |||
::Die "sonstige Schularten" machen 10% aus. Dies entspricht im Kreisdiagramm einem Kreissektor mit einem Mittelpunktswinkel von 36°. | |||
}} | |||
</div> | |||
<div class="multiplechoice-quiz"> | |||
<big>'''Aufgabe 2b'''</big> | |||
Die vier Sektoren des vollständigen Kreisdiagramms sollen mit den vier Farben Blau, Grün, | |||
Orange und Rot gefüllt werden, jeder in einer anderen Farbe. Wie viele unterschiedliche Farbgebungen sind möglich? | |||
(!4 · 4 · 4 · 4 = 256) (4 · 3 · 2 · 1 = 24) (!4 + 3 + 2 +1 = 10) (!4 · 4 = 16) | |||
</div> | |||
<div class="rahmen"> | |||
<big>'''Aufgabe 3'''</big> | |||
Wandle jeweils in die in Klammern angegebene Einheit um. | Wandle jeweils in die in Klammern angegebene Einheit um. | ||
4,35 km (m) | :*4,35 km (m) | ||
450 g (kg) | :*450 g (kg) | ||
3500 cm<sup>2</sup> (dm<sup>2</sup>) | :*3500 cm<sup>2</sup> (dm<sup>2</sup>) | ||
eine Viertelstunde (s) | :*eine Viertelstunde (s) | ||
{{Lösung versteckt|1= | |||
:*4,35 km = 4350 m | |||
:*450 g = 0,45 kg | |||
:*3500 cm<sup>2</sup> = 35dm<sup>2</sup> | |||
:*eine Viertelstunde = 900s | |||
}} | }} | ||
</div> | |||
<div class="rahmen"> | |||
<big>'''Aufgabe 4a'''</big> | |||
Konstruiere die Mittelsenkrechte der Strecke [AB] und zeichne den Kreis, der [AB] als | |||
Durchmesser hat. | Durchmesser hat. | ||
[[Datei:BMT8_07_A42a_01.jpg|center]] | |||
{{Lösung versteckt|1= | |||
:Zeichne zwei Kreise mit den Mittelpunkten A und B und dem selben Radius. Die Gerade durch die beiden Schnittpunkte der Kreise ist die gesuchte Mittelsenkrechte. | |||
:Der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten mit der Strecke [AB] ist der Mittelpunkt des Kreises, der [AB] als Durchmesser hat. | |||
::[[Datei:BMT8 07 A04a 02.jpg|350px]] [[Datei:BMT8 07 A04a 03.jpg|350px]] | |||
}} | |||
</div> | |||
<div class="rahmen"> | |||
<big>'''Aufgabe 4b'''</big> | |||
C ist derjenige Schnittpunkt von Mittelsenkrechte und Kreis, der oberhalb der Strecke [AB] | |||
liegt. Das Dreieck ABC ist dann gleichschenklig, weil C auf der Mittelsenkrechten von [AB] | liegt. Das Dreieck ABC ist dann gleichschenklig, weil C auf der Mittelsenkrechten von [AB] | ||
liegt, und deshalb von A und B gleich weit entfernt ist. Begründe, dass das Dreieck ABC auch rechtwinklig ist. | liegt, und deshalb von A und B gleich weit entfernt ist. Begründe, dass das Dreieck ABC auch rechtwinklig ist. | ||
{{Lösung versteckt|1= | |||
:Dreieck ABC ist rechtwinklig bei C, weil C auf dem '''Thaleskreis''' über [AB] liegt. | |||
}}</ | |||
}} | |||
</div> | |||
<div class="multiplechoice-quiz"> | |||
<big>'''Aufgabe 4c'''</big> | |||
Es gilt: | |||
:''In jedem gleichschenklig-rechtwinkligen Dreieck zerlegt die Mittelsenkrechte der Basis das Dreieck in zwei kongruente Teildreiecke.'' | |||
Basis das Dreieck in zwei kongruente Teildreiecke.'' | |||
Kreuze an, welche der folgenden Argumentationen richtig sind. | |||
''Die zwei Teildreiecke sind kongruent, ...'' | |||
(''...weil die Mittelsenkrechte Symmetrieachse des gleichschenklig-rechtwinkligen Dreiecks ist.'') (!''...weil man zeigen kann, dass die Teildreiecke in allen drei Winkeln übereinstimmen und Dreiecke, die in allen drei Winkeln übereinstimmen, immer kongruent sind.'') | |||
(''...weil man zeigen kann, dass die Teildreiecke in allen drei Seiten übereinstimmen und Dreiecke, die in allen drei Seiten übereinstimmen, immer kongruent sind.'') | |||
(!''...weil man zeigen kann, dass die Flächeninhalte der Teildreiecke gleich groß sind und Dreiecke, die den gleichen Flächeninhalt besitzen, immer kongruent sind.'') | |||
</div> | |||
<div class="rahmen"> | |||
<big>'''Aufgabe 5a'''</big> | |||
Berechne den Wert des Terms <math> \left(\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{5} - \frac{1}{3}\right) : 0,5</math> | |||
{{Lösung versteckt|1= | |||
:Der Wert des Terms beträgt '''<math>\textstyle\frac{8}{15}</math>'''. | |||
:möglicher Rechenweg: | |||
:<math> \left(\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{5} - \frac{1}{3}\right) : 0,5 = \left(\frac{3}{5} - \frac{1}{3}\right) : 0,5 = \left(\frac{9}{15} - \frac{5}{15}\right) : 0,5 = \frac{4}{15} : 0,5 = \frac{4}{15} : \frac{1}{2} = \frac{4}{15} \cdot 2 = \frac{8}{15}</math> | |||
}} | }} | ||
</div> | |||
<div class="rahmen"> | |||
<big>'''Aufgabe 5b'''</big> | |||
Durch welche Zahl muss man die Zahl 0,5 im obigen Term ersetzen, damit man den | |||
doppelten Termwert erhält? | doppelten Termwert erhält? | ||
{{Lösung versteckt|1= | |||
:0,5 muss durch '''0,25''' ersetzt werden. | |||
:Begründung: | |||
::Wird bei einem Quotienten der Divisor halbiert, so verdoppelt sich der Wert des Quotienten. | |||
}} | }} | ||
</div> | |||
<div class="rahmen"> | |||
<big>'''Aufgabe 6a'''</big> | |||
Im Jahr 2006 hat die Deutsche Bahn zwischen Nürnberg und Ingolstadt eine 89 km lange | Im Jahr 2006 hat die Deutsche Bahn zwischen Nürnberg und Ingolstadt eine 89 km lange | ||
ICE – Hochgeschwindigkeitsstrecke in Betrieb genommen. Frau Dorn, die regelmäßig mit dem | ICE – Hochgeschwindigkeitsstrecke in Betrieb genommen. Frau Dorn, die regelmäßig mit dem | ||
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70 Minuten auf 28 Minuten.“ | 70 Minuten auf 28 Minuten.“ | ||
Um wie viel Prozent verkürzte sich die Fahrzeit von Frau Dorn? | |||
{{Lösung versteckt|1= | |||
:Die Fahrzeit verkürzte sich um '''60 %'''. | |||
:möglicher Rechenweg: | |||
::Die Fahrzeit verkürzte sich um 42 Minuten. | |||
::<math>\frac{42}{70} = \frac{6}{10} = 60%</math> | |||
}} | |||
</div> | |||
<div class="multiplechoice-quiz"> | |||
<big>'''Aufgabe 6b'''</big> | |||
Welcher Term beschreibt die Durchschnittsgeschwindigkeit in km/h, die der ICE auf der Hochgeschwindigkeitsstrecke besitzt? | |||
(!<math> \frac{28}{89} \cdot 60</math>) (!<math> \frac{89}{28} \cdot 3,6</math>) (<math> \frac{89}{28} \cdot 60</math>) (!<math> \frac{89}{0,28} </math>) | |||
</div> | |||
<div class="rahmen"> | |||
<big>'''Aufgabe 7a'''</big> | |||
Multipliziere aus und vereinfache: | |||
:<math>\left(a - b\right) \cdot \left(a - 2b\right) + 1,5 ab</math> | |||
{{Lösung versteckt|1= | |||
:'''a <sup>2</sup> - 1,5 ab + 2 b<sup>2</sup>''' | |||
:möglicher Lösungsweg: | |||
::<math>\left(a - b\right) \cdot \left(a - 2b\right) + 1,5 ab = a^2 - 2 ab - ab + 2 b^2 + 1,5 ab = a^2 - 1,5 ab + 2 b^2</math> | |||
}} | |||
</div> | |||
<div class="rahmen"> | |||
<big>'''Aufgabe 7b'''</big> | |||
Vereinfache so weit wie möglich: | |||
:<math>\left( -x \right) ^2 \cdot x + x^3</math> | |||
{{Lösung versteckt|1= | |||
:'''2x<sup>3</sup>''' | |||
:möglicher Lösungsweg: | |||
::<math>\left( -x \right) ^2 \cdot x + x^3 = x^2 \cdot x + x^3 = x^3 + x^3 = 2x^3</math> | |||
}} | |||
</div> | |||
<div class="rahmen"> | |||
<big>'''Aufgabe 8'''</big> | |||
Berechne den Flächeninhalt des abgebildeten Vierecks ABCD. | Berechne den Flächeninhalt des abgebildeten Vierecks ABCD. | ||
=Aufgabe 9 | :[[Datei:BMT8_07_A08_01.jpg]] | ||
In Rechtecke der Länge 5 cm und der Breite 2 cm wird jeweils ein rechteckiges Loch so | |||
geschnitten, dass rundum ein Randstreifen bleibt. | {{Lösung versteckt|1= | ||
:Der Flächeninhalt des Viereck beträgt '''12 FE''' bzw. '''12 cm<sup>2</sup>'''. | |||
:möglicher Lösungsweg: | |||
::[[Datei:BMT8_07_A08_02.jpg|400px]] | |||
::Zerlege das Viereck (Trapez) in zwei rechtwinklige Dreiecke und ein Rechteck. Ihr Flächeninhalt lässt sich leicht aus der Grafik entnehmen bzw. über leicht abzulesende Seitenlängen berechnen. | |||
::Berechnung des Flächeninhalts: | |||
::A<sub>Trapez</sub> = A<sub>D 1</sub> + A<sub>R</sub> + A<sub>D 2</sub> = 1,5 + 6 + 4,5 = 12 | |||
}} | |||
</div> | |||
<div class="rahmen"> | |||
<big>'''Aufgabe 9'''</big> | |||
In Rechtecke der Länge 5 cm und der Breite 2 cm wird jeweils ein rechteckiges Loch so geschnitten, dass rundum ein Randstreifen bleibt. | |||
Mögliche Figuren sind z. B.: oder | Mögliche Figuren sind z. B.: [[Datei:BMT8_07_A09_01.jpg|100px]] oder [[Datei:BMT8_07_A09_02.jpg|100px]] | ||
Nicht erlaubt sind z. B.: oder | Nicht erlaubt sind z. B.: [[Datei:BMT8_07_A09_03.jpg|100px]] oder [[Datei:BMT8_07_A09_04.jpg|100px]] | ||
Gib zwei Möglichkeiten an, wie lang und breit solch ein Loch sein kann, wenn der | Gib zwei Möglichkeiten an, wie lang und breit solch ein Loch sein kann, wenn der | ||
Flächeninhalt des Lochs genauso groß sein soll wie der Flächeninhalt der Restfläche. | Flächeninhalt des Lochs genauso groß sein soll wie der Flächeninhalt der Restfläche. | ||
{{Lösung versteckt|1= | |||
:mögliche Lösungen sind z.B. '''1 = 4cm und b = 1,25 cm''' oder '''1 = 3cm und b = 5/3 cm''' | |||
:Erläuterung: | |||
::Das Rechteck hat einen Flächeninhalt von 10 cm<sup>2</sup>. Da die Flächeninhalte des rechteckigen Lochs und der Restfläche gleich groß sein sollen, beträgt der Flächeninhalt des Lochs 5 cm<sup>2</sup>. Für die Länge und die Breite des Lochs wählt man daher Werte, deren Produkt 5 cm<sup>2</sup> ergibt, mit der Einschränkung, dass die Länge kleiner als 5 cm und die Breite kleiner als 2 cm ist (da rundum ein Randstreifen übrig bleiben soll). | |||
}} | |||
</div> | |||
[[Kategorie:Vergleichsarbeiten]] | |||
[[Kategorie:BMT 8 Mathematik]] | |||
[[Kategorie:Jahrgangsstufentests]] | |||
[[Kategorie:Mathematik-digital]] | |||
[[Kategorie:Sekundarstufe 1]] | |||
[[Kategorie:Interaktive Übung]] |
Aktuelle Version vom 23. April 2022, 17:59 Uhr
Test und Lösungshinweise zum Download
Aufgabe 1
Für eine Ausstellung über Bayern soll auf einem großen Werbebanner die Statue der Bavaria abgebildet werden. Als Bildmotiv wird nebenstehendes Foto so vergrößert, dass es 20 m hoch ist.
Welche Gesamthöhe hat dann die Statue auf dem Werbebanner (ohne Sockel gemessen, Ergebnis auf Meter genau)?
Der Lösungsweg muss nachvollziehbar sein.
Aufgabe 2a
Die Tabelle zeigt für einen bayerischen Landkreis die prozentuale Verteilung der Schülerinnen und Schüler in der Jahrgangsstufe 8 auf die einzelnen Schularten im Schuljahr 2005/06.
Diese Verteilung soll in nebenstehendem Kreisdiagramm veranschaulicht werden; die Sektoren für die Hauptschule und die Realschule sind bereits eingetragen.
Ergänze im Diagramm die beiden fehlenden Sektoren und beschrifte sie.
Hinweis für die Online-Version: Du kannst dein Vorgehen auch beschreiben.
Aufgabe 2b
Die vier Sektoren des vollständigen Kreisdiagramms sollen mit den vier Farben Blau, Grün, Orange und Rot gefüllt werden, jeder in einer anderen Farbe. Wie viele unterschiedliche Farbgebungen sind möglich?
Aufgabe 3
Wandle jeweils in die in Klammern angegebene Einheit um.
- 4,35 km (m)
- 450 g (kg)
- 3500 cm2 (dm2)
- eine Viertelstunde (s)
Aufgabe 4a
Konstruiere die Mittelsenkrechte der Strecke [AB] und zeichne den Kreis, der [AB] als Durchmesser hat.
Aufgabe 4b
C ist derjenige Schnittpunkt von Mittelsenkrechte und Kreis, der oberhalb der Strecke [AB] liegt. Das Dreieck ABC ist dann gleichschenklig, weil C auf der Mittelsenkrechten von [AB] liegt, und deshalb von A und B gleich weit entfernt ist. Begründe, dass das Dreieck ABC auch rechtwinklig ist.
Aufgabe 4c
Es gilt:
- In jedem gleichschenklig-rechtwinkligen Dreieck zerlegt die Mittelsenkrechte der Basis das Dreieck in zwei kongruente Teildreiecke.
Kreuze an, welche der folgenden Argumentationen richtig sind.
<i>Die zwei Teildreiecke sind kongruent, ...</i>
Aufgabe 5b
Durch welche Zahl muss man die Zahl 0,5 im obigen Term ersetzen, damit man den doppelten Termwert erhält?
Aufgabe 6a
Im Jahr 2006 hat die Deutsche Bahn zwischen Nürnberg und Ingolstadt eine 89 km lange ICE – Hochgeschwindigkeitsstrecke in Betrieb genommen. Frau Dorn, die regelmäßig mit dem Zug von Nürnberg nach Ingolstadt fährt, stellt fest: „Für mich verkürzte sich die Fahrzeit von 70 Minuten auf 28 Minuten.“
Um wie viel Prozent verkürzte sich die Fahrzeit von Frau Dorn?
Aufgabe 6b
Welcher Term beschreibt die Durchschnittsgeschwindigkeit in km/h, die der ICE auf der Hochgeschwindigkeitsstrecke besitzt?
Aufgabe 9
In Rechtecke der Länge 5 cm und der Breite 2 cm wird jeweils ein rechteckiges Loch so geschnitten, dass rundum ein Randstreifen bleibt.
Mögliche Figuren sind z. B.: oder
Nicht erlaubt sind z. B.: oder
Gib zwei Möglichkeiten an, wie lang und breit solch ein Loch sein kann, wenn der Flächeninhalt des Lochs genauso groß sein soll wie der Flächeninhalt der Restfläche.