Jahrgangsstufentest/BMT8 2007: Unterschied zwischen den Versionen

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BMT8 2007 - 1 - A
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BAYERISCHER MATHEMATIK-TEST FÜR DIE JAHRGANGSSTUFE 8 DER GYMNASIEN


{{Kastendesign1 farbig ohne Bild|
<div class="rahmen">
HINTERGRUND = #f4f0e4|
<big>'''Aufgabe 1'''</big>
BORDER = #f4f0e4|
 
BACKGROUND = #f4f0e4|
BREITE =100%|
ÜBERSCHRIFT =Aufgabe 1|
INHALT=
[[Bild:2007 8A Aufgabe1.jpg|right]]
[[Bild:2007 8A Aufgabe1.jpg|right]]
Für eine Ausstellung über Bayern soll auf einem großen Werbebanner die Statue der Bavaria abgebildet werden. Als Bildmotiv wird nebenstehendes Foto so vergrößert, dass es 20 m hoch ist.
Für eine Ausstellung über Bayern soll auf einem großen Werbebanner die Statue der Bavaria abgebildet werden. Als Bildmotiv wird nebenstehendes Foto so vergrößert, dass es 20&nbsp;m hoch ist.
 
Welche Gesamthöhe hat dann die Statue auf dem Werbebanner (ohne Sockel gemessen, Ergebnis auf Meter genau)?
Welche Gesamthöhe hat dann die Statue auf dem Werbebanner (ohne Sockel gemessen, Ergebnis auf Meter genau)?


Der Lösungsweg muss nachvollziehbar sein.
Der Lösungsweg muss nachvollziehbar sein.


<small>{{Lösung versteckt|
{{Lösung versteckt|1=
Höhe des Fotos 5cm
:Die Statue hat dann eine Gesamthöhe von '''16m'''.
Staue im Foto 4 cm
 
also Statue auf dem Banner 4/5 · 20m <nowiki>=</nowiki> 16m
:Möglicher Lösungsweg:
}}</small>
::Man misst die Höhe des Fotos (z.B. 5cm) und der Statue auf dem Foto ohne Sockel (z.B. 4cm).
::Die Höhe der Statue auf dem Foto entspricht also <math>\frac{4}{5}</math> der Höhe des Fotos.
::Damit entspricht auch die Höhe der Statue auf dem Banner <math>\frac{4}{5}</math> der Höhe des Banners:
::<math>h_{Statue} = \frac{4}{5}\cdot h_{Banner} = \frac{4}{5}\cdot 20m = 16m</math>
}}
}}
:<small>{{Lösung versteckt|
</div>
Höhe des Fotos 5cm ,
Staue im Foto 4 cm   
also Statue auf dem Banner  4/5 · 20m <nowiki>=</nowiki> 16m


}}</small>
<div class="rahmen">
<big>'''Aufgabe 2a'''</big>


{{Kastendesign2 farbig ohne Bild|
HINTERGRUND = #f4f0e4|
BORDER = #f4f0e4|
BACKGROUND = #f4f0e4|
BREITE =100%|
ÜBERSCHRIFT =Aufgabe 2|
INHALT1=
Die Tabelle zeigt für einen bayerischen Landkreis die prozentuale Verteilung der Schülerinnen und Schüler in der Jahrgangsstufe 8 auf die einzelnen Schularten im Schuljahr 2005/06.
Die Tabelle zeigt für einen bayerischen Landkreis die prozentuale Verteilung der Schülerinnen und Schüler in der Jahrgangsstufe 8 auf die einzelnen Schularten im Schuljahr 2005/06.


Diese Verteilung soll in nebenstehendem Kreisdiagramm veranschaulicht werden; die Sektoren für die Hauptschule und die Realschule sind bereits eingetragen.
Diese Verteilung soll in nebenstehendem Kreisdiagramm veranschaulicht werden; die Sektoren für die Hauptschule und die Realschule sind bereits eingetragen.


a) Ergänze im Diagramm die beiden fehlenden Sektoren und beschrifte sie.
Ergänze im Diagramm die beiden fehlenden Sektoren und beschrifte sie.
 
b) Die vier Sektoren des vollständigen Kreisdiagramms sollen mit den vier Farben Blau, Grün,
Orange und Rot gefüllt werden, jeder in einer anderen Farbe. Wie viele unterschiedliche Farbgebungen sind möglich?
 
<quiz display="simple">
{ }
- 4 × 4 × 4 × 4 = 256
+ 4 × 3 × 2 × 1 = 24
- 4 + 3 + 2 +1 = 10
- 4 × 4 = 16
</quiz>


''Hinweis für die Online-Version: Du kannst dein Vorgehen auch beschreiben.''


|INHALT2=
{|
[[Bild:2007 8A Aufgabe2.jpg]]
| width="100px" |
 
|[[Bild:2007 8A Aufgabe2.jpg]]
| width="100px" |
|[[Datei:BMT8_07_A02a_01.jpg|180px]]
|}
|}


{{Lösung versteckt|1=
:Erläuterung:
::[[Datei:BMT8 07 A2a 02.jpg|180px]]
::Die "sonstige Schularten" machen 10% aus. Dies entspricht im Kreisdiagramm einem Kreissektor mit einem Mittelpunktswinkel von 36°.
}}
</div>


Welche Gesamthöhe hat dann die Statue auf dem Werbebanner (ohne Sockel gemessen, Ergebnis auf Meter genau)?
<div class="multiplechoice-quiz">
<big>'''Aufgabe 2b'''</big>


Der Lösungsweg muss nachvollziehbar sein.
Die vier Sektoren des vollständigen Kreisdiagramms sollen mit den vier Farben Blau, Grün,
Orange und Rot gefüllt werden, jeder in einer anderen Farbe. Wie viele unterschiedliche Farbgebungen sind möglich?


(!4 · 4 · 4 · 4 = 256) (4 · 3 · 2 · 1 = 24) (!4 + 3 + 2 +1 = 10) (!4 · 4 = 16)


}}
</div>


<div class="rahmen">
<big>'''Aufgabe 3'''</big>


{{Kastendesign1 farbig ohne Bild|
HINTERGRUND = #f4f0e4|
BORDER = #f4f0e4|
BACKGROUND = #f4f0e4|
BREITE =100%|
ÜBERSCHRIFT =Aufgabe 3|
INHALT=
Wandle jeweils in die in Klammern angegebene Einheit um.
Wandle jeweils in die in Klammern angegebene Einheit um.


4,35 km (m)  
:*4,35 km (m)


450 g (kg)  
:*450 g (kg)
   
   
3500 cm<sup>2</sup> (dm<sup>2</sup>)  
:*3500 cm<sup>2</sup> (dm<sup>2</sup>)


eine Viertelstunde (s)  
:*eine Viertelstunde (s)


<small>{{Lösung versteckt|
{{Lösung versteckt|1=
4,35 km <nowiki>=</nowiki> 4350 m  
:*4,35 km = 4350 m  
450 g <nowiki>=</nowiki> 0,45 kg
:*450 g = 0,45 kg
3500 cm<sup>2</sup> <nowiki>=</nowiki> 35dm<sup>2</sup>  
:*3500 cm<sup>2</sup> = 35dm<sup>2</sup>  
eine Viertelstunde <nowiki>=</nowiki> 900s
:*eine Viertelstunde = 900s
}}</small>
}}
}}
</div>


<div class="rahmen">
<big>'''Aufgabe 4a'''</big>


{{Kastendesign1 farbig ohne Bild|
Konstruiere die Mittelsenkrechte der Strecke [AB] und zeichne den Kreis, der [AB] als
HINTERGRUND = #f4f0e4|
BORDER = #f4f0e4|
BACKGROUND = #f4f0e4|
BREITE =100%|
ÜBERSCHRIFT =Aufgabe 4|
INHALT=
a) Konstruiere die Mittelsenkrechte der Strecke [AB] und zeichne den Kreis, der [AB] als
Durchmesser hat.
Durchmesser hat.


<small>{{Lösung versteckt|
hier fehlt die Lösung
}}</small>


[[Datei:BMT8_07_A42a_01.jpg|center]]
{{Lösung versteckt|1=
:Zeichne zwei Kreise mit den Mittelpunkten A und B und dem selben Radius. Die Gerade durch die beiden Schnittpunkte der Kreise ist die gesuchte Mittelsenkrechte.
:Der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten mit der Strecke [AB] ist der Mittelpunkt des Kreises, der [AB] als Durchmesser hat.
::[[Datei:BMT8 07 A04a 02.jpg|350px]]&nbsp;&nbsp;&nbsp;[[Datei:BMT8 07 A04a 03.jpg|350px]]
}}
</div>
<div class="rahmen">
<big>'''Aufgabe 4b'''</big>


b) C ist derjenige Schnittpunkt von Mittelsenkrechte und Kreis, der oberhalb der Strecke [AB]
C ist derjenige Schnittpunkt von Mittelsenkrechte und Kreis, der oberhalb der Strecke [AB]
liegt. Das Dreieck ABC ist dann gleichschenklig, weil C auf der Mittelsenkrechten von [AB]
liegt. Das Dreieck ABC ist dann gleichschenklig, weil C auf der Mittelsenkrechten von [AB]
liegt, und deshalb von A und B gleich weit entfernt ist. Begründe, dass das Dreieck ABC auch rechtwinklig ist.
liegt, und deshalb von A und B gleich weit entfernt ist. Begründe, dass das Dreieck ABC auch rechtwinklig ist.


<small>{{Lösung versteckt|
{{Lösung versteckt|1=
Dreieck ABC ist rechtwinklig bei C, weil C auf dem Thaleskreis über [AB] liegt.
:Dreieck ABC ist rechtwinklig bei C, weil C auf dem '''Thaleskreis''' über [AB] liegt.
}}</small>
 
}}
</div>
 
<div class="multiplechoice-quiz">
<big>'''Aufgabe 4c'''</big>


Es gilt:


c) Es gilt: ''In jedem gleichschenklig-rechtwinkligen Dreieck zerlegt die Mittelsenkrechte der
:''In jedem gleichschenklig-rechtwinkligen Dreieck zerlegt die Mittelsenkrechte der Basis das Dreieck in zwei kongruente Teildreiecke.''
Basis das Dreieck in zwei kongruente Teildreiecke.''
<quiz display="simple">
{Kreuze an, welche der folgenden Argumentationen richtig sind. }
+ ''Die zwei Teildreiecke sind kongruent, ...''
- ''...weil die Mittelsenkrechte Symmetrieachse des gleichschenklig-rechtwinkligen
Dreiecks ist.''
+ ''...weil man zeigen kann, dass die Teildreiecke in allen drei Winkeln übereinstimmen
und Dreiecke, die in allen drei Winkeln übereinstimmen, immer kongruent sind.''
- ''...weil man zeigen kann, dass die Teildreiecke in allen drei Seiten übereinstimmen
und Dreiecke, die in allen drei Seiten übereinstimmen, immer kongruent sind.''
- ''...weil man zeigen kann, dass die Flächeninhalte der Teildreiecke gleich groß sind
und Dreiecke, die den gleichen Flächeninhalt besitzen, immer kongruent sind.''
</quiz>


Kreuze an, welche der folgenden Argumentationen richtig sind.
''Die zwei Teildreiecke sind kongruent, ...''
(''...weil die Mittelsenkrechte Symmetrieachse des gleichschenklig-rechtwinkligen Dreiecks ist.'') (!''...weil man zeigen kann, dass die Teildreiecke in allen drei Winkeln übereinstimmen und Dreiecke, die in allen drei Winkeln übereinstimmen, immer kongruent sind.'')
(''...weil man zeigen kann, dass die Teildreiecke in allen drei Seiten übereinstimmen und Dreiecke, die in allen drei Seiten übereinstimmen, immer kongruent sind.'')
(!''...weil man zeigen kann, dass die Flächeninhalte der Teildreiecke gleich groß sind und Dreiecke, die den gleichen Flächeninhalt besitzen, immer kongruent sind.'')
</div>
<div class="rahmen">
<big>'''Aufgabe 5a'''</big>
Berechne den Wert des Terms <math> \left(\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{5} - \frac{1}{3}\right) : 0,5</math>
{{Lösung versteckt|1=
:Der Wert des Terms beträgt '''<math>\textstyle\frac{8}{15}</math>'''.
:möglicher Rechenweg:
:<math> \left(\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{5} - \frac{1}{3}\right) : 0,5 = \left(\frac{3}{5} - \frac{1}{3}\right) : 0,5 = \left(\frac{9}{15} - \frac{5}{15}\right) : 0,5 = \frac{4}{15} : 0,5 = \frac{4}{15} : \frac{1}{2} = \frac{4}{15} \cdot 2 = \frac{8}{15}</math>
}}
}}
</div>


<div class="rahmen">
<big>'''Aufgabe 5b'''</big>


{{Kastendesign2 farbig ohne Bild|
Durch welche Zahl muss man die Zahl 0,5 im obigen Term ersetzen, damit man den
HINTERGRUND = #f4f0e4|
BORDER = #f4f0e4|
BACKGROUND = #f4f0e4|
BREITE =100%|
ÜBERSCHRIFT =Aufgabe 5|
INHALT1=
a) Berechne den Wert des Terms <math> \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{5} - \frac{1}{3} : 0,5</math>
 
b) Durch welche Zahl muss man die Zahl 0,5 im obigen Term ersetzen, damit man den
doppelten Termwert erhält?
doppelten Termwert erhält?


|INHALT2=
{{Lösung versteckt|1=
<small>{{Lösung versteckt|
:0,5 muss durch '''0,25''' ersetzt werden.
<math> \frac{8}{15}</math>}}</small>


:Begründung:
::Wird bei einem Quotienten der Divisor halbiert, so verdoppelt sich der Wert des Quotienten.


<small>{{Lösung versteckt|
0,5 muss durch 0,25 ersetzt werden}}</small>
}}
}}
</div>


<div class="rahmen">
<big>'''Aufgabe 6a'''</big>


=Aufgabe 6=
Im Jahr 2006 hat die Deutsche Bahn zwischen Nürnberg und Ingolstadt eine 89 km lange
Im Jahr 2006 hat die Deutsche Bahn zwischen Nürnberg und Ingolstadt eine 89 km lange
ICE – Hochgeschwindigkeitsstrecke in Betrieb genommen. Frau Dorn, die regelmäßig mit dem
ICE – Hochgeschwindigkeitsstrecke in Betrieb genommen. Frau Dorn, die regelmäßig mit dem
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70 Minuten auf 28 Minuten.“
70 Minuten auf 28 Minuten.“


a) Um wie viel Prozent verkürzte sich die Fahrzeit von Frau Dorn?
Um wie viel Prozent verkürzte sich die Fahrzeit von Frau Dorn?


b) Welcher Term beschreibt die Durchschnittsgeschwindigkeit in km/h, die der ICE auf der
{{Lösung versteckt|1=
Hochgeschwindigkeitsstrecke besitzt?
:Die Fahrzeit verkürzte sich um '''60 %'''.


:möglicher Rechenweg:
::Die Fahrzeit verkürzte sich um 42 Minuten.
::<math>\frac{42}{70} = \frac{6}{10} = 60%</math>
}}
</div>
<div class="multiplechoice-quiz">
<big>'''Aufgabe 6b'''</big>
Welcher Term beschreibt die Durchschnittsgeschwindigkeit in km/h, die der ICE auf der Hochgeschwindigkeitsstrecke besitzt?
(!<math> \frac{28}{89} \cdot 60</math>) (!<math> \frac{89}{28} \cdot 3,6</math>) (<math> \frac{89}{28} \cdot 60</math>) (!<math> \frac{89}{0,28} </math>)
</div>
<div class="rahmen">
<big>'''Aufgabe 7a'''</big>
Multipliziere aus und vereinfache:


=Aufgabe 7=
:<math>\left(a - b\right) \cdot \left(a - 2b\right) + 1,5 ab</math>


a) Multipliziere aus und vereinfache: (a - b) × (a - 2b) +1,5ab


b) Vereinfache so weit wie möglich: (-x)<sup>2</sup> × x + x<sup>3</sup>
{{Lösung versteckt|1=
:'''a <sup>2</sup> - 1,5 ab + 2 b<sup>2</sup>'''


:möglicher Lösungsweg:
::<math>\left(a - b\right) \cdot \left(a - 2b\right) + 1,5 ab = a^2 - 2 ab - ab + 2 b^2 + 1,5 ab = a^2 - 1,5 ab + 2 b^2</math>
}}
</div>
<div class="rahmen">
<big>'''Aufgabe 7b'''</big>
Vereinfache so weit wie möglich:
:<math>\left( -x \right) ^2 \cdot x + x^3</math>
{{Lösung versteckt|1=
:'''2x<sup>3</sup>'''
:möglicher Lösungsweg:
::<math>\left( -x \right) ^2 \cdot x + x^3 = x^2 \cdot x + x^3 = x^3 + x^3 = 2x^3</math>
}}
</div>
<div class="rahmen">
<big>'''Aufgabe 8'''</big>


=Aufgabe 8=
Berechne den Flächeninhalt des abgebildeten Vierecks ABCD.
Berechne den Flächeninhalt des abgebildeten Vierecks ABCD.




=Aufgabe 9=
:[[Datei:BMT8_07_A08_01.jpg]]
In Rechtecke der Länge 5 cm und der Breite 2 cm wird jeweils ein rechteckiges Loch so
 
geschnitten, dass rundum ein Randstreifen bleibt.
{{Lösung versteckt|1=
:Der Flächeninhalt des Viereck beträgt '''12 FE''' bzw. '''12 cm<sup>2</sup>'''.
 
:möglicher Lösungsweg:
::[[Datei:BMT8_07_A08_02.jpg|400px]]
::Zerlege das Viereck (Trapez) in zwei rechtwinklige Dreiecke und ein Rechteck. Ihr Flächeninhalt lässt sich leicht aus der Grafik entnehmen bzw. über leicht abzulesende Seitenlängen berechnen.
::Berechnung des Flächeninhalts:
::A<sub>Trapez</sub> = A<sub>D 1</sub> + A<sub>R</sub> + A<sub>D 2</sub> = 1,5 + 6 + 4,5 = 12
 
}}
</div>
 
<div class="rahmen">
<big>'''Aufgabe 9'''</big>
 
In Rechtecke der Länge 5 cm und der Breite 2 cm wird jeweils ein rechteckiges Loch so geschnitten, dass rundum ein Randstreifen bleibt.


Mögliche Figuren sind z. B.:  oder
Mögliche Figuren sind z. B.:  [[Datei:BMT8_07_A09_01.jpg|100px]] oder [[Datei:BMT8_07_A09_02.jpg|100px]]


Nicht erlaubt sind z. B.:  oder
Nicht erlaubt sind z. B.:  [[Datei:BMT8_07_A09_03.jpg|100px]] oder [[Datei:BMT8_07_A09_04.jpg|100px]]


Gib zwei Möglichkeiten an, wie lang und breit solch ein Loch sein kann, wenn der
Gib zwei Möglichkeiten an, wie lang und breit solch ein Loch sein kann, wenn der
Flächeninhalt des Lochs genauso groß sein soll wie der Flächeninhalt der Restfläche.
Flächeninhalt des Lochs genauso groß sein soll wie der Flächeninhalt der Restfläche.
·×
 
 
{{Lösung versteckt|1=
:mögliche Lösungen sind z.B. '''1 = 4cm und  b = 1,25 cm''' oder '''1 = 3cm und  b = 5/3 cm'''
 
:Erläuterung:
::Das Rechteck hat einen Flächeninhalt von 10 cm<sup>2</sup>. Da die Flächeninhalte des rechteckigen Lochs und der Restfläche gleich groß sein sollen, beträgt der Flächeninhalt des Lochs 5 cm<sup>2</sup>. Für die Länge und die Breite des Lochs wählt man daher Werte, deren Produkt 5 cm<sup>2</sup> ergibt, mit der Einschränkung, dass die Länge kleiner als 5 cm und die Breite kleiner als 2 cm ist (da rundum ein Randstreifen übrig bleiben soll).
 
}}
</div>
 
[[Kategorie:Vergleichsarbeiten]]
[[Kategorie:BMT 8 Mathematik]]
[[Kategorie:Jahrgangsstufentests]]
[[Kategorie:Mathematik-digital]]
[[Kategorie:Sekundarstufe 1]]
[[Kategorie:Interaktive Übung]]

Aktuelle Version vom 23. April 2022, 17:59 Uhr

Test und Lösungshinweise zum Download


Aufgabe 1

2007 8A Aufgabe1.jpg

Für eine Ausstellung über Bayern soll auf einem großen Werbebanner die Statue der Bavaria abgebildet werden. Als Bildmotiv wird nebenstehendes Foto so vergrößert, dass es 20 m hoch ist.

Welche Gesamthöhe hat dann die Statue auf dem Werbebanner (ohne Sockel gemessen, Ergebnis auf Meter genau)?

Der Lösungsweg muss nachvollziehbar sein.

Aufgabe 2a

Die Tabelle zeigt für einen bayerischen Landkreis die prozentuale Verteilung der Schülerinnen und Schüler in der Jahrgangsstufe 8 auf die einzelnen Schularten im Schuljahr 2005/06.

Diese Verteilung soll in nebenstehendem Kreisdiagramm veranschaulicht werden; die Sektoren für die Hauptschule und die Realschule sind bereits eingetragen.

Ergänze im Diagramm die beiden fehlenden Sektoren und beschrifte sie.

Hinweis für die Online-Version: Du kannst dein Vorgehen auch beschreiben.

2007 8A Aufgabe2.jpg BMT8 07 A02a 01.jpg

Aufgabe 2b

Die vier Sektoren des vollständigen Kreisdiagramms sollen mit den vier Farben Blau, Grün, Orange und Rot gefüllt werden, jeder in einer anderen Farbe. Wie viele unterschiedliche Farbgebungen sind möglich?

Aufgabe 3

Wandle jeweils in die in Klammern angegebene Einheit um.

  • 4,35 km (m)
  • 450 g (kg)
  • 3500 cm2 (dm2)
  • eine Viertelstunde (s)

Aufgabe 4a

Konstruiere die Mittelsenkrechte der Strecke [AB] und zeichne den Kreis, der [AB] als Durchmesser hat.


BMT8 07 A42a 01.jpg


Aufgabe 4b

C ist derjenige Schnittpunkt von Mittelsenkrechte und Kreis, der oberhalb der Strecke [AB] liegt. Das Dreieck ABC ist dann gleichschenklig, weil C auf der Mittelsenkrechten von [AB] liegt, und deshalb von A und B gleich weit entfernt ist. Begründe, dass das Dreieck ABC auch rechtwinklig ist.

Aufgabe 4c

Es gilt:

In jedem gleichschenklig-rechtwinkligen Dreieck zerlegt die Mittelsenkrechte der Basis das Dreieck in zwei kongruente Teildreiecke.

Kreuze an, welche der folgenden Argumentationen richtig sind.

<i>Die zwei Teildreiecke sind kongruent, ...</i>

Aufgabe 5a

Berechne den Wert des Terms

Aufgabe 5b

Durch welche Zahl muss man die Zahl 0,5 im obigen Term ersetzen, damit man den doppelten Termwert erhält?

Aufgabe 6a

Im Jahr 2006 hat die Deutsche Bahn zwischen Nürnberg und Ingolstadt eine 89 km lange ICE – Hochgeschwindigkeitsstrecke in Betrieb genommen. Frau Dorn, die regelmäßig mit dem Zug von Nürnberg nach Ingolstadt fährt, stellt fest: „Für mich verkürzte sich die Fahrzeit von 70 Minuten auf 28 Minuten.“

Um wie viel Prozent verkürzte sich die Fahrzeit von Frau Dorn?

Aufgabe 6b

Welcher Term beschreibt die Durchschnittsgeschwindigkeit in km/h, die der ICE auf der Hochgeschwindigkeitsstrecke besitzt?

Aufgabe 7a

Multipliziere aus und vereinfache:


Aufgabe 7b

Vereinfache so weit wie möglich:


Aufgabe 8

Berechne den Flächeninhalt des abgebildeten Vierecks ABCD.


BMT8 07 A08 01.jpg

Aufgabe 9

In Rechtecke der Länge 5 cm und der Breite 2 cm wird jeweils ein rechteckiges Loch so geschnitten, dass rundum ein Randstreifen bleibt.

Mögliche Figuren sind z. B.: BMT8 07 A09 01.jpg oder BMT8 07 A09 02.jpg

Nicht erlaubt sind z. B.: BMT8 07 A09 03.jpg oder BMT8 07 A09 04.jpg

Gib zwei Möglichkeiten an, wie lang und breit solch ein Loch sein kann, wenn der Flächeninhalt des Lochs genauso groß sein soll wie der Flächeninhalt der Restfläche.