Einführung in quadratische Funktionen/Bremsbeschleunigung: Unterschied zwischen den Versionen

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{{Einführung in quadratische Funktionen}}
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{{Quadratische Funktionen}}
 


__NOCACHE__
=== Unterschiedliche Straßenverhältnisse ===
=== Unterschiedliche Straßenverhältnisse ===


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&nbsp;&nbsp;&nbsp; (s = Bremsweg in m, v = Geschwindigkeit '''in m/s''' und a<sub>B</sub> = Bremsbeschleunigung in m/s²).  
&nbsp;&nbsp;&nbsp; (s = Bremsweg in m, v = Geschwindigkeit '''in m/s''' und a<sub>B</sub> = Bremsbeschleunigung in m/s²).  


In dem folgenden GeoGebra-Applet kann der Bremsweg mit Hilfe der beiden Schieberegler oben links variiert werden.
In dem folgenden GeoGebra-Applet kann der Bremsweg mit Hilfe der beiden Schieberegler oben links variiert werden. Der Einfachheit halber wurde der obige Zusammenhang so verändert, dass die Geschwindigkeit in km/h angegeben wird.


''Hinweis:'' Der Einfachheit halber wurde der obige Zusammenhang so verändert, dass die Geschwindigkeit in km/h angegeben wird.


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Wie muss a<sub>B</sub> gewählt werden, damit ...
Wie muss a<sub>B</sub> gewählt werden, damit ...
#...bei der Geschwindigkeit von 74 km/h der Bremsweg 65 m lang ist?
#...bei der Geschwindigkeit von 74 km/h der Bremsweg 65 m lang ist?
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Nutze zur Lösung der Aufgabe das obere Applet. Um die Werte exakt einstellen zu können, klicke den Schieberegler an und verwende dann die Pfeiltasten.
Nutze zur Lösung der Aufgabe das obere Applet. Um die Werte exakt einstellen zu können, klicke den Schieberegler an und verwende dann die Pfeiltasten.


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#a<sub>B</sub> = 3,25 m/s<sup>2</sup>
#a<sub>B</sub> = 3,25 m/s<sup>2</sup>
#a<sub>B</sub> = 5,71 m/s<sup>2</sup>
#a<sub>B</sub> = 5,71 m/s<sup>2</sup>
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In der Realität hängt der Wert der Bremsbeschleunigung a<sub>B</sub> von verschiedenen Faktoren ab. Im folgenden Video wird der Einfluss der Temperatur der Bremsen auf den Bremsweg untersucht. Der Pkw wird immer von einer Geschwindigkeit von 100 km/h bis zum Stillstand abgebremst und dabei der Bremsweg ermittelt.  
In der Realität hängt der Wert der Bremsbeschleunigung a<sub>B</sub> von verschiedenen Faktoren ab. Im folgenden Video wird der Einfluss der Temperatur der Bremsen auf den Bremsweg untersucht. Der Pkw wird immer von einer Geschwindigkeit von 100 km/h bis zum Stillstand abgebremst und dabei der Bremsweg ermittelt.  


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Welche Bremsverzögerung liegt vor bei
Welche Bremsverzögerung liegt vor bei
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Entnimm die erforderlichen Größen dem Video.  
 
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Geschwindigkeit: v = 100 km/h = (100:3,6) m/s
Geschwindigkeit: v = 100 km/h = (100:3,6) m/s


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#s(60%) = 49 m  
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#s(75%) = 47 m  
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Mit Hilfe des Applets von oben erhält man dann:
Mit Hilfe des Applets von oben erhält man dann:
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Formel nach a<sub>B</sub> auflösen  
Formel nach a<sub>B</sub> auflösen  


:<math>a_\mathrm{B}=\frac{v^2}{2}\cdot \frac{1}{s}</math>
<math>a_\mathrm{B}=\frac{v^2}{2}\cdot \frac{1}{s}</math>


dann die Werte einsetzen
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Wenn wir die bisherigen Überlegungen verallgemeinern wollen, müssen wir unsere Gleichung für den Bremsweg genauer analysieren.
Wenn wir die bisherigen Überlegungen verallgemeinern wollen, müssen wir unsere Gleichung für den Bremsweg genauer analysieren.
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Wie ändert sich der Verlauf des Graphen, wenn der Vorfaktor von v<sup>2</sup>, d.h. wenn <math>\frac{1}{2a_\mathrm{B}}</math> kleiner bzw. größer wird?
Wie ändert sich der Verlauf des Graphen, wenn der Vorfaktor von v<sup>2</sup>, d.h. wenn <math>\frac{1}{2a_\mathrm{B}}</math> kleiner bzw. größer wird?


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<math>\frac{1}{2a_\mathrm{B}}</math> wird kleiner, wenn a<sub>B</sub> größer wird. Wenn a<sub>B</sub> größer wird, verläuft der Graph flacher.
<math>\frac{1}{2a_\mathrm{B}}</math> wird kleiner, wenn a<sub>B</sub> größer wird. Wenn a<sub>B</sub> größer wird, verläuft der Graph flacher.
Entsprechend wird <math>\frac{1}{2a_\mathrm{B}}</math> größer, wenn a<sub>B</sub> kleiner wird. Wenn a<sub>B</sub> kleiner wird, verläuft der Graph steiler.
Entsprechend wird <math>\frac{1}{2a_\mathrm{B}}</math> größer, wenn a<sub>B</sub> kleiner wird. Wenn a<sub>B</sub> kleiner wird, verläuft der Graph steiler.
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=== Merksatz: (Rein-)Quadratische Funktionen ===
=== Merksatz: (Rein-)Quadratische Funktionen ===
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|align = "left" width="450"|Die Funktionen, die wir bis jetzt betrachtet haben, weisen eine Gemeinsamkeit auf: Ihr Funktionsterm hat die Form '''ax²'''. Sie zählen daher zu den '''quadratischen Funktionen'''. Die Graphen quadratischer Funktionen unterscheiden sich stark von den Graphen linearer Funktionen.
|align = "left" width="450"|Die Funktionen, die wir bis jetzt betrachtet haben, weisen eine Gemeinsamkeit auf: Ihr Funktionsterm hat die Form '''ax²'''. Sie zählen daher zu den '''quadratischen Funktionen'''. Die Graphen quadratischer Funktionen unterscheiden sich stark von den Graphen linearer Funktionen.


{{Merksatz|MERK= Die Graphen von Funktionen mit der Funktionsgleichung <math>f(x)=ax^2</math> heißen '''Parabeln'''.
{{Box|1=Merke
|2=
Die Graphen von Funktionen mit der Funktionsgleichung <math>f(x)=ax^2</math> heißen '''Parabeln'''.


Sie sind '''symmetrisch zur y-Achse.''' Der Punkt <math>S(0\!\,|\!\,0)</math> heißt '''Scheitel der Parabel''' und ist der tiefste Punkt.
Sie sind '''symmetrisch zur y-Achse.''' Der Punkt <math>S(0\!\,|\!\,0)</math> heißt '''Scheitel der Parabel''' und ist der tiefste Punkt.


Ist <math>a = 1</math> heißt der Graph '''Normalparabel'''.
Ist <math>a = 1</math> heißt der Graph '''Normalparabel'''.
}}
|3=Merksatz}}
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{{Arbeiten|  
{{Box|1=Aufgabe 3
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|2=
ARBEIT=
Untersuche an dem Applet rechts nun systematisch den Einfluss von a auf den Verlauf des Graphen:
Untersuche an dem Applet rechts nun systematisch den Einfluss von a auf den Verlauf des Graphen:
Was passiert, wenn ...
Was passiert, wenn ...
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# ... a zwischen 0 und 1 liegt?
# ... a zwischen 0 und 1 liegt?
# ... a negativ ist?
# ... a negativ ist?
:Vergleiche mit dem Graphen der Funktion g mit g(x)=x².


:{{Lösung versteckt|1=
Vergleiche mit dem Graphen der Funktion g mit g(x)=x².
# Ist a>0, dann ist die Parabel enger (gestreckt) als die Normalparabel.
{{Lösung versteckt|1=
# Ist a>1, dann ist die Parabel enger (gestreckt) als die Normalparabel.
# Für 0< a < 1 ist die Parabel weiter (gestaucht) als die Normalparabel.
# Für 0< a < 1 ist die Parabel weiter (gestaucht) als die Normalparabel.
# Ist a negativ, so wird die Parabel an der x-Achse gespiegelt. Sie ist also nach unten geöffnet.
# Ist a negativ, so wird die Parabel an der x-Achse gespiegelt. Sie ist also nach unten geöffnet.
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Mit Hilfe des Schiebereglers (unten links im Applet) kannst du den Wert für a variieren.
Mit Hilfe des Schiebereglers (unten links im Applet) kannst du den Wert für a variieren.
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'''Als nächstes kannst du prüfen, ob du bis jetzt alles verstanden hast.'''


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{{Fortsetzung|weiter=Weiter|weiterlink=../Übungen 1}}
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|align = "left"|'''Als nächstes kannst du prüfen, ob du bis jetzt alles verstanden hast.'''
[[Bild:Pfeil.gif]] &nbsp; [[Quadratische_Funktionen_-_Übungen1|'''Hier geht es weiter''']]'''.'''
 
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Aktuelle Version vom 29. März 2022, 21:48 Uhr

Parabelbremse

Einführung in quadratische Funktionen

  1. Bremsweg
  2. Unterschiedliche Straßenverhältnisse
  3. Übungen 1
  4. Anhalteweg
  5. Übungen 2
  6. Allgemeine quadratische Funktion
  7. Übungen 3

Mathematik-digital.de


Unterschiedliche Straßenverhältnisse

Bisher waren wir davon ausgegangen, dass die Länge des Bremsweges lediglich von der Geschwindigkeit abhängt. Das ist in der Realität natürlich nicht der Fall. Bei gleicher Geschwindigkeit hat ein alter LKW auf schneeglatter Fahrbahn selbstverständlich einen ungleich längeren Bremsweg als ein neuer Kleinwagen auf einer trockenen und sauberen Straße. Diese Einflüsse kommen in der sogenannten Bremsbeschleunigung zum Ausdruck.

Die Bremsbeschleunigung gibt an, wie stark ein Fahrzeug abgebremst wird: Eine hohe Bremsbeschleunigung spricht also für einen kurzen Bremsweg.

In einer Formel für den Bremsweg sollte also nicht nur die Geschwindigkeit, sondern auch die Bremsbeschleunigung berücksichtigt werden. In Lehrbüchern findet man die Formel:
                  (s = Bremsweg in m, v = Geschwindigkeit in m/s und aB = Bremsbeschleunigung in m/s²).

In dem folgenden GeoGebra-Applet kann der Bremsweg mit Hilfe der beiden Schieberegler oben links variiert werden. Der Einfachheit halber wurde der obige Zusammenhang so verändert, dass die Geschwindigkeit in km/h angegeben wird.


GeoGebra


Aufgabe 1

Wie muss aB gewählt werden, damit ...

  1. ...bei der Geschwindigkeit von 74 km/h der Bremsweg 65 m lang ist?
  2. ...bei der Geschwindigkeit von 74 km/h der Bremsweg 37 m lang ist?
  3. ...bei der Geschwindigkeit von 51 km/h der Bremsweg 58 m lang ist?

Nutze zur Lösung der Aufgabe das obere Applet. Um die Werte exakt einstellen zu können, klicke den Schieberegler an und verwende dann die Pfeiltasten.

  1. aB = 3,25 m/s2
  2. aB = 5,71 m/s2
  3. aB = 1,73 m/s2


In der Realität hängt der Wert der Bremsbeschleunigung aB von verschiedenen Faktoren ab. Im folgenden Video wird der Einfluss der Temperatur der Bremsen auf den Bremsweg untersucht. Der Pkw wird immer von einer Geschwindigkeit von 100 km/h bis zum Stillstand abgebremst und dabei der Bremsweg ermittelt.


Aufgabe 2

Welche Bremsverzögerung liegt vor bei

  1. 60%,
  2. 75%
  3. 100% der Betriebstemperatur der Bremsen?

Entnimm die erforderlichen Größen dem Video.

Geschwindigkeit: v = 100 km/h = (100:3,6) m/s

Bremswege:

  1. s(60%) = 49 m
  2. s(75%) = 47 m
  3. s(100%) = 37 m

Mit Hilfe des Applets von oben erhält man dann:

  1. aB = 7,87 m/s2
  2. aB = 8,21 m/s2
  3. aB = 10,43 m/s2

andere Möglichkeit: Formel nach aB auflösen

dann die Werte einsetzen

Achtung: Die Geschwindigkeit muss dazu in m/s umgerechnet werden!

v = 100 km/h = (100:3,6) m/s
Video laden
YouTube

Wenn wir die bisherigen Überlegungen verallgemeinern wollen, müssen wir unsere Gleichung für den Bremsweg genauer analysieren.

Zunächst stellen wir fest, dass es eine funktionale Abhängigkeit des Bremsweges von der Geschwindigkeit gibt; wir können unsere Formel als Funktionsgleichung schreiben:

. Die rechte Seite der Funktionsgleichung besteht aus dem Vorfaktor und dem Quadrat der Variablen.

Besonders interessant ist dabei der Einfluss des Vorfaktors auf den Verlauf des Graphen:


Aufgabe 3

Wie ändert sich der Verlauf des Graphen, wenn der Vorfaktor von v2, d.h. wenn kleiner bzw. größer wird?

wird kleiner, wenn aB größer wird. Wenn aB größer wird, verläuft der Graph flacher.

Entsprechend wird größer, wenn aB kleiner wird. Wenn aB kleiner wird, verläuft der Graph steiler.


Merksatz: (Rein-)Quadratische Funktionen

Die Funktionen, die wir bis jetzt betrachtet haben, weisen eine Gemeinsamkeit auf: Ihr Funktionsterm hat die Form ax². Sie zählen daher zu den quadratischen Funktionen. Die Graphen quadratischer Funktionen unterscheiden sich stark von den Graphen linearer Funktionen.
Merke

Die Graphen von Funktionen mit der Funktionsgleichung heißen Parabeln.

Sie sind symmetrisch zur y-Achse. Der Punkt heißt Scheitel der Parabel und ist der tiefste Punkt.

Ist heißt der Graph Normalparabel.


Aufgabe 3

Untersuche an dem Applet rechts nun systematisch den Einfluss von a auf den Verlauf des Graphen: Was passiert, wenn ...

  1. ... a größer als 1 ist?
  2. ... a zwischen 0 und 1 liegt?
  3. ... a negativ ist?

Vergleiche mit dem Graphen der Funktion g mit g(x)=x².

  1. Ist a>1, dann ist die Parabel enger (gestreckt) als die Normalparabel.
  2. Für 0< a < 1 ist die Parabel weiter (gestaucht) als die Normalparabel.
  3. Ist a negativ, so wird die Parabel an der x-Achse gespiegelt. Sie ist also nach unten geöffnet.
GeoGebra


Das Applet zeigt den Graphen einer Funktion f mit f(x) = ax². Hierbei steht a für eine beliebige reelle Zahl (nicht mehr für die Bremsbeschleunigung!).

Mit Hilfe des Schiebereglers (unten links im Applet) kannst du den Wert für a variieren.


Als nächstes kannst du prüfen, ob du bis jetzt alles verstanden hast.

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