Benutzer:Aslanoll2/ Lineare Funktionen 2

Lineare Funktionen

Willkommen zurück im Thema Lineare Funktionen! Dieser Lernpfad dient dazu, dein Wissen aufzufrischen und dich wieder fit für den Umgang mit Geraden und Gleichungen zu machen.

Die folgenden Abschnitte helfen dir, dich zu orientieren. Wenn du dich in den Grundlagen sicher fühlst, kannst du die Wiederholung überspringen und direkt bei Punkt 3 (Punktprobe) einsteigen.

Wiederholung (freiwillig)

Hier kannst du überprüfen, ob die Grundlagen noch sitzen.

Funktionsbegriff

Erinnerst du dich? Eine Funktion ist eine Zuordnung, bei der jedem Wert $x$ (aus der Definitionsmenge) genau ein Wert $y$ (aus der Wertemenge) zugeordnet wird.

Man schreibt oft: $y = f(x)$.

[Hier könntest du eine H5P-Übung einfügen: z.B. "Ist das eine Funktion?" Drag & Drop]

Wertetabelle

Um eine Funktion zu zeichnen, hilft oft eine Wertetabelle. Du setzt verschiedene $x$-Werte in die Funktionsgleichung ein und berechnest den dazugehörigen $y$-Wert.

x	Rechnung	y
0	...	...
1	...	...

Allgemeine Form linearer Funktionen

Jede lineare Funktion lässt sich durch eine Gleichung der folgenden Form beschreiben:

$f(x) = m \cdot x + b$

(Manchmal auch $m \cdot x + n$ oder $m \cdot x + c$)

Dabei haben die Buchstaben feste Bedeutungen:

• $m$ ist die **Steigung** (Wie steil ist die Gerade?)
• $b$ ist der **y-Achsenabschnitt** (Wo schneidet die Gerade die y-Achse?)

---

Punktprobe

Liegt ein bestimmter Punkt $P(x|y)$ eigentlich auf unserer Geraden? Das finden wir mit der sogenannten **Punktprobe** heraus.

• • Anleitung:**

1. Nimm die Koordinaten des Punktes $P(x|y)$.
2. Setze den x-Wert für $x$ und den y-Wert für $f(x)$ (oder $y$) in die Gleichung ein.
3. Rechne beide Seiten aus.
4. Kommt auf beiden Seiten das Gleiche raus (wahre Aussage), liegt der Punkt auf der Geraden!

[Hier könntest du eine H5P-Übung einfügen: "Liegt der Punkt P(2|5) auf f(x)=2x+1?"]

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Steigung einer linearen Funktion

Die Steigung $m$ gibt an, um wie viele Einheiten sich der y-Wert ändert, wenn man den x-Wert um 1 erhöht.

Um die Steigung aus einem Graphen abzulesen oder aus zwei Punkten zu berechnen, nutzen wir das **Steigungsdreieck**.

Die Formel lautet:

$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

[Hier bitte ein Bild oder Applet einfügen, das ein Steigungsdreieck zeigt]

[Platzhalter für eine GeoGebra-Applet: "Stelle die Steigung richtig ein"]

---

Funktionsterm bestimmen

Oft hast du keinen Term gegeben, sondern nur zwei Punkte oder einen Punkt und die Steigung. Dein Ziel ist es, $m$ und $b$ herauszufinden.

• • Vorgehensweise:**

1. Berechne $m$ (mit der Steigungsformel), falls nicht gegeben.
2. Setze $m$ und die Koordinaten eines Punktes $(x|y)$ in die Gleichung $y = m \cdot x + b$ ein.
3. Löse die Gleichung nach $b$ auf.
4. Schreibe den fertigen Funktionsterm auf.

---

Nullstellen linearer Funktionen

Die Nullstelle ist der x-Wert, an dem der Graph die x-Achse schneidet. Dort ist der y-Wert immer 0.

• • Ansatz:**

$f(x) = 0$

Setze deinen Funktionsterm gleich Null und löse nach $x$ auf.

• • Beispiel:**

$2x - 4 = 0 \quad | +4$

$2x = 4 \quad | :2$

$x = 2$

Die Nullstelle liegt bei $x = 2$.

[Hier könntest du eine Abschlussaufgabe als H5P-Quiz einfügen]

Hinweise zur Gestaltung auf ZUM Unterrichten Bilder & Diagramme: Der Abschnitt zur Steigung profitiert enorm von einer Visualisierung. Im Text oben habe ich einen Platzhalter eingefügt, aber du solltest dort idealerweise ein Steigungsdreieck visualisieren. Wird in einem neuen Fenster geöffnet Shutterstock Falls du kein eigenes Bild hast, kannst du auf ZUM oft Bilder aus Wikimedia Commons direkt einbinden. Interaktivität (H5P & GeoGebra): Ich habe im Quelltext kursiv Platzhalter geschrieben wie [Hier könntest du eine H5P-Übung einfügen...]. Auf ZUM Unterrichten fügst du H5P meistens über einen speziellen Tag ein, z.B. <h5p id="12345" />. Du müsstest diese Übungen (Lückentexte, Drag & Drop) noch erstellen oder bestehende IDs einfügen. Das Gleiche gilt für GeoGebra-Applets (z.B. <geogebra id="d5s8f..." />). Mathematische Formeln: Ich habe die Tags $...$ verwendet. Diese sorgen dafür, dass die Formeln auf der Webseite schön als echtes mathematisches Schriftbild dargestellt werden (LaTeX-Rendering).

Steigung einer linearen Funktion

Merke

{{{2}}}

{\text{Seitenunterschied}} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$$

• • Bedeutung von $m$:**
• **$m > 0$** (positiv): Die Funktion **steigt** (verläuft von links unten nach rechts oben).
• **$m < 0$** (negativ): Die Funktion **fällt** (verläuft von links oben nach rechts unten).
• **$m = 0$**: Die Funktion ist **konstant** (verläuft parallel zur $x$-Achse).

|Merksatz}}

Aufgabe 5a

Lies die Steigung $m$ aus dem Graphen ab, indem du ein Steigungsdreieck verwendest.

Du wählst zwei "schöne" Punkte, z.B. $P_1(0

Aufgabe 5b

Gegeben sind die Punkte $A(1|7)$ und $B(5|15)$ einer linearen Funktion. Berechne die Steigung $m$ der Geraden, die durch diese Punkte verläuft.

{{{1}}}

Aufgabe 5c

Berechne die Steigung $m$ der Geraden, die durch die Punkte $C(-4|6)$ und $D(2|3)$ verläuft. Beschreibe, wie die Gerade verläuft.

{{{1}}}

Falls du dazu noch Hilfe brauchst!

Falls du Schwierigkeiten hattest, die Steigung aus zwei Punkten zu berechnen, könnte dir folgendes Video weiterhelfen:

Steigung einer linearen Funktion

Merke

{{{2}}}

{\text{Seitenunterschied}} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

• • Bedeutung von $m$:**
• **$m > 0$** (positiv): Die Funktion **steigt** (verläuft von links unten nach rechts oben).
• **$m < 0$** (negativ): Die Funktion **fällt** (verläuft von links oben nach rechts unten).
• **$m = 0$**: Die Funktion ist **konstant** (verläuft parallel zur $x$-Achse).

|Merksatz}}

Aufgabe 5a

Lies die Steigung $m$ aus dem Graphen ab, indem du ein Steigungsdreieck verwendest.

Du wählst zwei "schöne" Punkte, z.B. $P_1(0

Aufgabe 5b

Gegeben sind die Punkte $A(1|7)$ und $B(5|15)$ einer linearen Funktion. Berechne die Steigung $m$ der Geraden, die durch diese Punkte verläuft.

{{{1}}}

Aufgabe 5c

Berechne die Steigung $m$ der Geraden, die durch die Punkte $C(-4|6)$ und $D(2|3)$ verläuft. Beschreibe, wie die Gerade verläuft.

{{{1}}}

Falls du dazu noch Hilfe brauchst!

Falls du Schwierigkeiten hattest, die Steigung aus zwei Punkten zu berechnen, könnte dir folgendes Video weiterhelfen: