Prozente und Prozentrechnung: Unterschied zwischen den Versionen

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[[Kategorie:Lernpfad]]
[[Kategorie:Lernpfad]]
[[Kategorie:Sekundarstufe 1]]
[[Kategorie:Sekundarstufe 1]]
[[Kategorie:Prozentrechnung]]
{{Box|Lernpfad|Herzlich willkommen im Lernpfad <b>Prozente und Prozentrechnung</b>!
{{Box|Lernpfad|Herzlich willkommen im Lernpfad <b>Prozente und Prozentrechnung</b>!


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|Lernpfad}}
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{{Box|Merke|
{{Box|Merke|
Der Begriff <b>"Prozent"</b> heißt dabei nichts anderes als <b>"von Hundert"</b>. Du hast es also im Prinzip mit nichts anderem zu tun, als <b>einem Bruch, dessen Nenner immer 100 ist</b>. Es gibt also keinen Grund, vor der Prozentrechnung Angst zu haben!
Der Begriff <b>"Prozent"</b> heißt dabei nichts anderes als <b>"von Hundert"</b>. Du hast es also im Prinzip mit nichts anderem zu tun, als <b>einem Bruch, dessen Nenner immer 100 ist</b>. Hier lernst du, wie du dein Wissen aus der Bruchrechnung in die Prozentrechnung übertragen kannst!
|Merksatz}}
|Merksatz}}


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{{Box|Info|
{{Box|Info|
Zunächst rufen wir uns in Erinnerung, was der Bruchteil, der Anteil und das Ganze in der Bruchrechnung war. Noch einmal: Die Prozentrechnung ist nichts anderes als ein Sonderfall der Bruchrechnung.
Zunächst rufen wir uns in Erinnerung, was der Bruchteil, der Anteil und das Ganze in der Bruchrechnung war. Im Rahmen der Bruchrechnung hast du schon einige Beispiele von Prozentsätzen kennengelernt. Wir schauen uns zunächst noch einmal die Begriffe aus der Bruchrechnung an!
|Kurzinfo}}
|Kurzinfo}}


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[[Datei:Darstellung BAG Kreis.png|506px]]
[[Datei:Darstellung BAG Kreis.png|506px]]
|3=Beispiel}}
|3=Beispiel}}
 
<br><br>
==Brüche und Prozentsätze zuordnen==
==Brüche und Prozentsätze zuordnen==


{{Box|Üben|
{{Box|Üben|
In der folgenden Aufgabe siehst du einige Brüche und Prozentsätze, die du bestimmt schon kennst. Ordne den Brüche die entsprechenden Prozentsätze zu und überprüfe deine Ergebnisse am Ende mit einem Klick auf den blauen Haken unten rechts!
Zunächst siehst du in der folgenden Aufgabe einige Formen, von denen bestimmte Anteile farbig markiert sind. <b>Gib die farbigen Anteile sowohl in der Bruch- als auch in der Prozentschreibweise an!</b>
<br>Wenn du mit einer Teilaufgabe fertig bist, kannst du mit dem Pfeil oben links zurück in das Menü gelangen.<br>
Um einen Anteil in der Prozentschreibweise schreiben zu können, musst du den Bruch zunächst in einen Bruch mit dem Nenner <u>100</u> umwandeln, indem du ihn entsprechend erweiterst oder kürzt.<br>
<br><b>Tipp: Bei einigen Aufgaben findest du oben links ein kleines Glühbirnensymbol. Solltest du beim Lösen der Aufgaben Hilfe benötigen, so erhältst du durch einen Klick darauf einen Hinweis!</b><br>
|Üben}}
<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=prqmizyq321" style="border:0px;width:800px;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
<br><br>
{{Box|Üben|
In der folgenden Aufgabe siehst du einige Brüche und Prozentsätze, die du bestimmt schon kennst. Ordne den Brüche die entsprechenden Prozentsätze zu und überprüfe deine Ergebnisse am Ende mit einem Klick auf den blauen Haken unten rechts!<br>
|Üben}}
<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pn2rsf4a521" style="border:0px;width:800px;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe><br><br>
{{Box|Üben|
Ein wenig schwieriger wird es in der nächsten Aufgabe. Hier sollst du nun ohne Vorgabe von Werten die richtigen Prozentsätze in die Felder eintragen. Viel Erfolg!
|Üben}}
<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pvpwgze6n21" style="border:0px;width:800px;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
<br><br>


<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pn2rsf4a521" style="border:0px;width:50%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>


Ein wenig schwieriger wird es in der nächsten Aufgabe. Hier sollst du nun ohne Vorgabe von Werten die richtigen Prozentsätze in die Felder eintragen. Viel Erfolg!
<br><b>Tipp: Bei einigen Aufgaben findest du oben links ein kleines Glühbirnensymbol. Solltest du beim Lösen der Aufgaben Hilfe benötigen, so erhältst du durch einen Klick darauf einen Hinweis!</b>


<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pvpwgze6n21" style="border:0px;width:50%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>


Nachdem du dich nun noch einmal mit dem Vergleichen von Brüchen und Prozentsätzen befasst hast, kannst du dich hier einer Reihe von Aufgaben widmen, in welchen du Muster und Bilder siehst, von denen einige Teile eingefärbt sind.
<br>Gib in den entsprechenden Feldern die Anteile als Bruch sowie die Prozentsätze an!
<br><b>Wenn du mit einer Teilaufgabe fertig bist, kannst du mit dem Pfeil oben links zurück in das Menü gelangen.</b>


<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=prqmizyq321" style="border:0px;width:50%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
|Üben}}


==Arbeiten mit dem Prozentstreifen==
==Arbeiten mit dem Bruch- und Prozentstreifen==




{{Box|Info|
{{Box|Info|
Bestimmt kennst du aus der Bruchrechnung noch Übungsmaterial Material wie z.B. den Bruchstreifen.
Bestimmt kennst du aus der Bruchrechnung noch Übungsmaterial Material wie z.B. den Bruchstreifen.
<br>[[Datei:Bruchstreifen.png|650px]]
<br>In der Prozentrechnung arbeitet man am besten mit dem <b>Prozentstreifen</b>.
<br>In der Prozentrechnung arbeitet man am besten mit dem <b>Prozentstreifen</b>.  
<br>Direkt unter diesem Text findest du einen interaktive Bruch- und Prozentstreifen, an denen du zunächst frei experimentieren kannst.
<br>Direkt unter diesem Text findest du interaktive Bruch- und Prozentstreifen, an denen du zunächst frei experimentieren kannst.
<br>Wenn du den Mauszeiger auf das Fenster mit den Streifen führst, kannst du mit dem Mausrad auch weiter hinauszoomen, falls das Fenster für einen länger eingestellten Streifen zu klein sein sollte.
<br>Wenn du den Mauszeiger auf das Fenster mit den Streifen führst, kannst du mit dem Mausrad auch weiter hinauszoomen, falls das Fenster für einen länger eingestellten Streifen zu klein sein sollte.
|Kurzinfo}}
|Kurzinfo}}


<iframe src="https://www.geogebra.org/classic/byreqsj9?embed" width="800" height="600" allowfullscreen="" style="border: 1px solid #e4e4e4;border-radius: 4px;" frameborder="0"></iframe>
<iframe src="https://www.geogebra.org/classic/fcy4cfxr?embed" width="800" height="600" allowfullscreen="" style="border: 1px solid #e4e4e4;border-radius: 4px;" frameborder="0"></iframe>


<br>Du kannst mit den Schiebereglern sowohl die Zähler als auch die Nenner verändern verändern.
<br>
<br>Den entsprechenden Bruch findest du zwischen den Schiebereglern.
<br><iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pxfj04pt321" style="border:0px;width:800px;height:800px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
<br><b>Unter dem Bruchstreifen wird dir dann auch der entsprechende Prozentstreifen angezeigt.</b>
<br><br>
<br><br>


<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=p35uhic2n21" style="border:0px;width:60%;height:300px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
{{Box|Üben|
<b>Bestimme nun mit dem interaktiven Bruch- und Prozentstreifen 2/5 von 120 kg!</b>
|Üben}}
<iframe src="https://www.geogebra.org/classic/kthcevrh?embed" width="800px" height="600" allowfullscreen="" style="border: 1px solid #e4e4e4;border-radius: 4px;" frameborder="0"></iframe>
<br><br>
<br><br>
<iframe src="https://www.geogebra.org/classic/rytqqtnq?embed" width="800" height="600" allowfullscreen="" style="border: 1px solid #e4e4e4;border-radius: 4px;" frameborder="0"></iframe>


<br>Du kannst mit den Schiebereglern sowohl die Länge des Prozentstreifens, als auch den gewünschten Prozentsatz verändern.
<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=p5sm3iiqt21" style="border:0px;width:800px;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe><br><br>
<br><b>Unter dem Prozentstreifen wird dir dann immer der entsprechende Prozentwert angegeben.</b>
<br><br>


{{Box|Üben|
{{Box|Üben|
Versuche nun, die folgenden Aufgaben zu lösen.<br>
<b>Bestimme 3/10 von 150 m. <u>Zeichne dir einen entsprechenden Bruchstreifen in dein Heft.</u></b>
<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=p6cgsbnnk21" style="border:0px;width:50%;height:600px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
|Üben}}
|Üben}}
<iframe src="https://www.geogebra.org/classic/b8jgrejv?embed" width="800" height="600" allowfullscreen="" style="border: 1px solid #e4e4e4;border-radius: 4px;" frameborder="0"></iframe><br><br>




{{Box|1=Merke|2=
{{Lösung versteckt|3/10 von 150 m entsprechen <b>45 m</b>.|Überprüfe hier deine Lösung!|Lösung verbergen}}
In diesem Beispiel schauen wir uns noch einmal drei Viertel eines Kreises an.  
<br><br>
Jetzt arbeiten wir nicht mehr mit Brüchen, sondern mit Prozenten. Dazu können wir auch den bekannten Streifen verwenden. Da Prozente nichts anderes sind als Hunderterbrüche, muss am Streifen immer ein Hunderterbruch eingestellt werden.
<br><br>


{{Box|Üben|
<b>Bestimme 90 % von 100 kg Mehl.</b>
|Üben}}
<iframe src="https://www.geogebra.org/classic/cwjqbexn?embed" width="800" height="600" allowfullscreen="" style="border: 1px solid #e4e4e4;border-radius: 4px;" frameborder="0"></iframe><br><br>
{{Lösung versteckt|90 % von 100 kg Mehl entsprechen <b>90 kg</b> Mehl.|Überprüfe hier deine Lösung!|Lösung verbergen}}




In der Prozentrechnung gibt es nun andere Begriffe für das, was du bereits aus der Bruchrechnung kennst.<br>
{{Box|Üben|
Das <span style="color: green">Ganze</span> nennt sich hier der <span style="color: green"><b>Grundwert</b></span> (abgekürzt mit einem großen <span style="color: green"><b>G</b></span>), der <span style="color: red">Bruchteil</span> entspricht dem <span style="color: red"><b>Prozentwert</b></span> (abgekürzt mit einem großen <span style="color: red"><b>W</b></span>) und der <span style="color: blue">Anteil</span> wird hier <span style="color: blue"><b>Prozentsatz</b></span> (kurz <span style="color: blue"><b>p %</b></span>)" genannt und nicht mehr als Bruch, sondern als Zahlenwert mit einem Prozentzeichen (%) dahinter angegeben.
<b>Bestimme 90 % von 20 kg Mehl. Zeichne dir einen entsprechenden Bruchstreifen in dein Heft.</b>
|Üben}}
<iframe src="https://www.geogebra.org/classic/hgffkggn?embed" width="800" height="600" allowfullscreen="" style="border: 1px solid #e4e4e4;border-radius: 4px;" frameborder="0"></iframe><br><br>
{{Lösung versteckt|90 % von 20 kg Mehl entsprechen <b>18 kg</b> Mehl.|Überprüfe hier deine Lösung!|Lösung verbergen}}
<br><br>


[[Datei:Kreis 2.png|506]]
{{Box|Üben|
Versuche diese Aufgaben nun ohne Applet (also ohne den interaktiven Bruch- und Prozentstreifen) zu lösen. Wenn du willst, zeichne dir einen entsprechenden Prozentstreifen in dein Heft.
|Üben}}
<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=p6cgsbnnk21" style="border:0px;width:800px;height:800px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
<br><br>


|3=Merke}}
<b>Zusammenfassung:
<br>Anteilsbestimmung von einer Größe</b>
<br>
{| class="wikitable"
!Brüche
!Prozente
|-
|Um einen bestimmten Anteil einer vorgegebenen Größe zu bestimmen, teile ich die Größe durch den Nenner des Bruchs. Anschließend multipliziere ich das Teilergebnis mit dem Zähler des Bruchs. So erhalte ich meinen gesuchten Anteil einer vorgegebenen Größe.
|<div class="lueckentext-quiz">
Um den prozentualen Anteil einer Größe zu bestimmen, teile ich die Größe durch '''100'''
Damit habe ich 1 % der Größe berechnet. Nun multipliziere ich dies mit dem gesuchten Prozentsatz. Sind z.B. 20 % gesucht, multipliziere ich mit '''20'''. So erhalte ich meinen gesuchten Anteil einer vorgegeben Größe.
</div>
|-
|}
<br><br>


==Den Prozentwert berechnen==
==Neue Begriffe für die Prozentrechnung==


{{Box|1=Lückentext|2=
<b>Fülle den Lückentext mit Hilfe der Abbildung aus.</b>
Versuche zur Verinnerlichung nun, diesen Lückentext auszufüllen. Klicke dafür einfach in die entsprechenden Lückenfelder und wähle den Begriff aus, den du für richtig hältst. Überprüfe am Ende deine Eingaben durch einen Klick auf den blauen Haken unten rechts!
<br><br>
 
<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=prbckmkp321" style="border:0px;width:70%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
}}
 
 
{{Box|Merke|
Sind <b>Grundwert G</b> und <b>Prozentsatz p %</b> gegeben, lässt sich der <b>Prozentwert W</b> ganz einfach wie folgt berechnen:
<math>W = \frac{G*p}{100}</math>
 
Beachte dabei, dass <b>p</b> in dieser Formel ohne das Prozentzeichen genutzt wird!
|Merksatz}}
 
 
<div class="lueckentext-quiz">
 
Um den '''Prozentwert''' zu berechnen, müssen der '''Grundwert G''' und der '''Prozentsatz p%''' gegeben sein.
Gerechnet wird dann '''G''' • '''p''' / '''100'''.


{| class="wikitable"
![[Datei:Kreis 2.png|506]]
!<div class="lueckentext-quiz">
In der Prozentberechnung gibt es nun andere Begriffe für das, was du bereits aus der Bruchrechnung kennst. Das Ganze heißt hier '''Grundwert''' (abgekürzt mit G). Der Teil des Ganzen bzw. der vorgegebenen Größe heißt '''Prozentwert''' (abgekürzt mit W). Der Anteil wird '''Prozentsatz''' genannt (abgekürzt p %).
</div>
</div>
 
|-
 
|}
==Den Grundwert berechnen==
[[Kategorie:Algebra]]
 
 
{{Box|Merke|
Sind <b>Prozentwert W</b> und <b>Prozentsatz p %</b> gegeben, lässt sich der <b>Grundwert G</b> ganz einfach wie folgt berechnen:
<math>G = \frac{W*p}{100}</math>
 
Beachte dabei, dass <b>p</b> in dieser Formel ohne das Prozentzeichen genutzt wird!
|Merksatz}}

Aktuelle Version vom 24. April 2022, 10:36 Uhr

Lernpfad

Herzlich willkommen im Lernpfad Prozente und Prozentrechnung!


Dieser Lernpfad soll dir dabei helfen, dein Wissen aus der Bruchrechnung auf die Prozentrechnung zu übertragen und deine Vorstellung von Prozenten auf- bzw. auszubauen.



Das Schöne daran ist, dass du vieles von dem, was du bereits aus der Bruchrechnung kennst, hier direkt anwenden kannst.



Am Ende dieses Lernpfades sollst du

  • den Zusammenhang zwischen Brüchen und Prozenten kennen
  • einfache Prozentaufgaben lösen können
  • mit dem Prozentstreifen umgehen können
  • die Fachbegriffe zur Prozentrechnung kennengelernt haben

Merke

Der Begriff "Prozent" heißt dabei nichts anderes als "von Hundert". Du hast es also im Prinzip mit nichts anderem zu tun, als einem Bruch, dessen Nenner immer 100 ist. Hier lernst du, wie du dein Wissen aus der Bruchrechnung in die Prozentrechnung übertragen kannst!

Also: Leg los!

Wiederholung: Bruchteil, Anteil und Ganzes

Info

Zunächst rufen wir uns in Erinnerung, was der Bruchteil, der Anteil und das Ganze in der Bruchrechnung war. Im Rahmen der Bruchrechnung hast du schon einige Beispiele von Prozentsätzen kennengelernt. Wir schauen uns zunächst noch einmal die Begriffe aus der Bruchrechnung an!

Beispiel

In diesem Beispiel schauen wir uns noch einmal drei Viertel eines Kreises an.

Darstellung BAG Kreis.png



Brüche und Prozentsätze zuordnen

Üben

Zunächst siehst du in der folgenden Aufgabe einige Formen, von denen bestimmte Anteile farbig markiert sind. Gib die farbigen Anteile sowohl in der Bruch- als auch in der Prozentschreibweise an!
Wenn du mit einer Teilaufgabe fertig bist, kannst du mit dem Pfeil oben links zurück in das Menü gelangen.
Um einen Anteil in der Prozentschreibweise schreiben zu können, musst du den Bruch zunächst in einen Bruch mit dem Nenner 100 umwandeln, indem du ihn entsprechend erweiterst oder kürzt.

Tipp: Bei einigen Aufgaben findest du oben links ein kleines Glühbirnensymbol. Solltest du beim Lösen der Aufgaben Hilfe benötigen, so erhältst du durch einen Klick darauf einen Hinweis!



Üben

In der folgenden Aufgabe siehst du einige Brüche und Prozentsätze, die du bestimmt schon kennst. Ordne den Brüche die entsprechenden Prozentsätze zu und überprüfe deine Ergebnisse am Ende mit einem Klick auf den blauen Haken unten rechts!



Üben

Ein wenig schwieriger wird es in der nächsten Aufgabe. Hier sollst du nun ohne Vorgabe von Werten die richtigen Prozentsätze in die Felder eintragen. Viel Erfolg!






Arbeiten mit dem Bruch- und Prozentstreifen

Info

Bestimmt kennst du aus der Bruchrechnung noch Übungsmaterial Material wie z.B. den Bruchstreifen.
In der Prozentrechnung arbeitet man am besten mit dem Prozentstreifen.
Direkt unter diesem Text findest du einen interaktive Bruch- und Prozentstreifen, an denen du zunächst frei experimentieren kannst.
Wenn du den Mauszeiger auf das Fenster mit den Streifen führst, kannst du mit dem Mausrad auch weiter hinauszoomen, falls das Fenster für einen länger eingestellten Streifen zu klein sein sollte.





Üben

Bestimme nun mit dem interaktiven Bruch- und Prozentstreifen 2/5 von 120 kg!





Üben

Bestimme 3/10 von 150 m. Zeichne dir einen entsprechenden Bruchstreifen in dein Heft.




3/10 von 150 m entsprechen 45 m.



Jetzt arbeiten wir nicht mehr mit Brüchen, sondern mit Prozenten. Dazu können wir auch den bekannten Streifen verwenden. Da Prozente nichts anderes sind als Hunderterbrüche, muss am Streifen immer ein Hunderterbruch eingestellt werden.

Üben

Bestimme 90 % von 100 kg Mehl.



90 % von 100 kg Mehl entsprechen 90 kg Mehl.


Üben

Bestimme 90 % von 20 kg Mehl. Zeichne dir einen entsprechenden Bruchstreifen in dein Heft.



90 % von 20 kg Mehl entsprechen 18 kg Mehl.



Üben

Versuche diese Aufgaben nun ohne Applet (also ohne den interaktiven Bruch- und Prozentstreifen) zu lösen. Wenn du willst, zeichne dir einen entsprechenden Prozentstreifen in dein Heft.



Zusammenfassung:
Anteilsbestimmung von einer Größe

Brüche Prozente
Um einen bestimmten Anteil einer vorgegebenen Größe zu bestimmen, teile ich die Größe durch den Nenner des Bruchs. Anschließend multipliziere ich das Teilergebnis mit dem Zähler des Bruchs. So erhalte ich meinen gesuchten Anteil einer vorgegebenen Größe.

Um den prozentualen Anteil einer Größe zu bestimmen, teile ich die Größe durch 100 Damit habe ich 1 % der Größe berechnet. Nun multipliziere ich dies mit dem gesuchten Prozentsatz. Sind z.B. 20 % gesucht, multipliziere ich mit 20. So erhalte ich meinen gesuchten Anteil einer vorgegeben Größe.



Neue Begriffe für die Prozentrechnung

Fülle den Lückentext mit Hilfe der Abbildung aus.

506

In der Prozentberechnung gibt es nun andere Begriffe für das, was du bereits aus der Bruchrechnung kennst. Das Ganze heißt hier Grundwert (abgekürzt mit G). Der Teil des Ganzen bzw. der vorgegebenen Größe heißt Prozentwert (abgekürzt mit W). Der Anteil wird Prozentsatz genannt (abgekürzt p %).

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