Benutzer:PascalHänle/Grundvorstellungen zum Ableitungsbegriff/Infos für Lehrkräfte

Handreichung für Lehrkräfte

In diesem Lernpfad werden Grundvorstellungen zum Ableitungsbegriff behandelt. Der Lernpfad ist so aufgebaut, dass sich Schülerinnen und Schüler die

• Ableitung als momentane Änderungsrate
• Ableitung als Steigung der Tangente
• Ableitung als lokale lineare Approximation
• Ableitung als Änderungsdetektor

selbst erarbeiten können.

Der Lernpfad ist nach den Prinzipien des entdeckenden Lernens gestaltet und bietet den Vorteil, dass der Fortschritt beim Lernen von Mathematik im Zuge von entdeckerischen Unternehmungen umso effektiver ist, je mehr es auf der eigenen Erfahrung, also dem eigenen Wissen und Können beruht.

In dieser Handreichung werden nun Möglichkeiten aufgezeigt wie der Lernpfad in den Unterricht eingebunden werden kann und was bei den einzelnen Grundvorstellungen und Aufgaben zu beachten ist.

Im Lernpfad sind zu allen gestellten Aufgaben die benötigten Voraussetzungen, Lösungen und passenden Hilfestellungen vorhanden.   

Grundvorstellungen

Modellierungsprozess

Grundvorstellungen sind Instrumente der Vermittlung zwischen Mathematik und Realität. Sie weisen mathematischen Begriffen eine inhaltliche Deutung und Sinnhaftigkeit zu, was eine wesentliche Voraussetzungen für einen verständnisvollen Umgang mit Begriffen darstellt. Mit diesen Eigenschaften spielen sie eine zentrale Rolle bei der mathematischen Modellierung und greifen im Modellierungskreislauf beim Prozess der Mathematisierung und der Interpretation.

Hinweise zu den Grundvorstellungen

Wird der Lernpfad in den Unterricht eingebunden so ist bei Gruppenreflexionen oder Sicherungen der Aufgaben auf folgenden Punkte zu achten.

Ableitung als Steigung der Tangente

• Erweiterung des Tangentenbegriffs als lokale Schmiegegerade.

• Vermeidung der Sichtweise die Tangente schneide den Graph nur in einem Punkt.

• Die Tangente hat die gleiche Steigung wie der Graph an dem Punkt den sie berührt.

Ableitung als momentane Änderungsrate

Speziell bei dieser, aber auch bei den anderen Grundvorstellungen ist immer auf das Verständnis aller Beschreibungsebenen zu achten.

Beschreibungsebene	Schritt 1	Schritt 2	Schritt 3	Schritt 4
Algebraisch	$f(x_0)$	$f(x_1)-f(x_0)$	$\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}$	$f'(x_0) = \lim_{x_1\to x_0} \frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}$
Inhaltlich	Bestand zum Zeitpunkt x0	Absoluter Zuwachs in der Zeit von x0 bis x	Relativer Zuwachs im Zeitintervall [x0,x] mittlere Änderungsrate	Momentane (lokale) Änderungsrate zum Zeitpunkt x0
Terminologisch	Funktionswert	Differenz der Funktionswerte	Differenzenquotient	Differentialquotient (Ableitung)

Auch wenn der Übergang zum analytischen erst von Schritt 3 auf Schritt 4 vollzogen wird, sind die Schritte 1 und 2 nicht zu vernachlässigen.

Ableitung als lineare Approximation

• In einer stark Vergrößerten Umgebung eines Punktes des Graphen einer differenzierbaren Funktion ist dieses Teilstück des Graphen geradlinig.

• Da eine differenzierbare Funktion in hinreichend kleinen Umgebungen linear ist, kann sie in dieser Umgebung durch die Tangente genähert werden.

Möglichkeiten der Einbindung

• Da es sich hier um einen Wiki - Lernpfad handelt, können verschiedene Aufgaben aus dem Lernpfad herauskopiert werden und an die Anforderungen der eigenen Lerngruppe angepasst werden. So können auch einzelne Aufgaben des Lernpfads im Unterricht bearbeitet werden.

• Es kann jede Grundvorstellung allein stehend von den Schülern selbst erarbeitet werden und kann somit als Hausaufgabe oder Wochenaufgabe aufgegeben werden.

• Die Aufgaben des Lernpfads sind auch auf folgenden Arbeitsblättern festgehalten und können den Schülern somit ausgedruckt werden. So benötigt lediglich die Bedienung der Applets ein PC oder Tablet. Dies kann bei mangelnder Ausstattung von Vorteil sein.

Hinweise zu den Aufgaben

Das Ziel jeder Aufgabe des Lernpfads ist es, durch angeleitetes Selbsterkunden in den Applets oder mithilfe von Tabellen und Graphiken Erkenntnisse zu gewinnen. Trotz eingebauter Hilfestellungen und Lösungskontrollen ist es gerade bei der Vermittlung von Grundvorstellung wichtig die selbstgewonnen Erkenntnisse mit denen von Anderen zu vergleichen und somit auf ihre mathematische Korrektheit zu überprüfen. Es wird daher empfohlen an geeigneten Stellen gemeinsame Sicherungs- oder Reflexionsphasen einzubauen.