Quadratische Funktionen/Kapitel 2: Die Quadratische Funktion "f(x) = (x - xs)² + ys" - Die Scheitelpunktsform

Im letzten Lernpfad hast du die quadratische Funktion "f(x) = x²" kennen gelernt.

In diesem Lernpfad wollen wir uns mit zwei zusätzlichen Parametern beschäftigen.

Bevor wir beginnen, soll zunächst noch ein neuer Begriff eingeführt werden, da dieser später häufiger verwendet wird.

Merke

Die quadratische Funktion "f(x)$=$x²" ist eine spezielle Parabel. Von ihr aussgehend werden alle Veränderungen betrachtet und man nennt sie deshalb Normalparabel

STATION 1: Der Parameter y_s stellt sich vor

Zunächst betrachten wir den Parameter y_s, welcher zur quadratischen Funktion "f(x) = x²" dazuaddiert wird. Die quadratische Funktion schaut dann wie folgt aus:

                                    f(x) = x2 + ys

Bearbeite das folgende Arbeitsblatt und entdecke die Eigenschaften vom Parameter y_s!

Quadratische Funktion "f(x)$=$x2+ ys"

Hinweise, Aufgabe und Lückentext:

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Hinweise: In der Abbildung links ist die Normalparabel schwarz-gestrichelt und die von ys abhängige, quadratische Funktion blau eingezeichnet Bediene mit gehaltener linker Maustaste den schwarzen Schieberegler ys, er verändert dessen Wert Ziehe im folgenden Lückentext die möglichen Lösungen aus dem blauen Feld, ebenfalls mit gehaltener linker Maustaste, in die richtigen Felder Aufgabe: Bediene den Schieberegler ys. Welche Veränderungen stellst du fest? Lückentext! - Ordne die richtigen Begriffe zu: Der Parameter ys verschiebt die Normalparabel auf der y-Achse. Dabei bleibt die verschobene Parabel kongruent zur Normalparabel. Ist der Parameter ys positiv, so wird die Parabel um y Einheiten in Richtung der y-Achse nach oben verschoben. Ist der Parameter ys hingegen negativ, so wird die Parabel um y Einheiten in Richtung der y-Achse nach unten verschoben. Der Scheitelpunkt der Parabel befindet sich auf der y-Achse, genauer gesagt bei Punkt [0; ys]. Zudem ist die y-Achse die Symmetrieachse der Parabel.

Merke

Für die quadratische Funktion "f(x)$=$x² + y_s" gilt:

• Der Graph der Funktion ist eine verschobene Parabel entlang der y-Achse
• Die Parabel ist kongruent zur Normalparabel
• Für y_s > 0 gilt: Verschiebung um y Einheiten nach oben
• Für y_s < 0 gilt: Verschiebung um y Einheiten nach unten
• Der Scheitelpunkt liegt bei S (0; y_s)
• Die y-Achse ist Symmetrieachse

Es folgen nun einige Aufgaben, um das gerade erlernte Wissen zu vertiefen.

STATION 2: Aufgaben zum Parameter y_s

1. Aufgabe: Zuordnung

Du siehst hier fünf verschiedene Graphen der quadratischen Funktion "f(x) = x² + y_s". Ermittle zu den vorgegebenen Graphen die passende Funktionsgleichung. Falls du Probleme hast, betrachte nochmals die Veränderungen des oben aufgeführten Graphen.

y$=$ x2 + 2,5	y$=$ x2 + 1,5	y$=$ x2	y$=$ x2 - 3,5	y$=$ x2 - 0,5

2. Aufgabe:

Bestimme mit Hilfe der vorgegebenen Scheitelpunkte die Funktionsgleichung. Ordne dann die entsprechende Funktionsgleichung dem jeweiligen Scheitelpunkt zu!

	Scheitelpunkt	Funktionsgleichung
1.	S $(0\!\,|\!\,4,7)$	y$=$ x2 + 4,7
2.	S $(0\!\,|\!\,-23)$	y$=$ x2 - 23
3.	S $(0\!\,|\!\,-2,5)$	y$=$ x2 - 2,5
4.	S $(0\!\,|\!\,0)$	y$=$ x2
5.	S $(0\!\,|\!\,13)$	y$=$ x2 + 13

3. Aufgabe:

Nun hast du die Funktionsgleichung gegeben. Finde jetzt den zugehörigen Scheitelpunkt S.

	Funktionsgleichung	Scheitelpunkt
1.	y$=$ x2 + 5,2	S [0; 5,2]
2.	y$=$ 3 + x2	S [0; 3]
3.	y$=$ x2 - 3	S [0; -3]
4.	y$=$ x2	S [0; 0]

4. Aufgabe: Zuordnung

Aufgabe

Quadratische Funktion "f(x)$=$x2+ ys"

Gegeben sind fünf Funktionsgleichungen, sowie fünf verschiedene Koordinaten. Finde zu jeder Funktionsgleichung den Punkt, der auf ihrer Parabel liegt. Überlege dir rechnerisch, welcher Punkt zu welcher Parabel gehört. Hilfe: Vorlage:Versteckt 1. y $=$ x2 - 1 [3; 8] 2. y $=$ x2 - 5 [3; 4] 3. y $=$ x2 + 0 [2; 4] 4. y $=$ x2 + 2 [1; 3] 5. y $=$ x2 + 4 [2; 8] Überprüfe dein Ergebnis mit dem "GeoGebra-Applet" rechts. Verschiebe dafür die Parabel entsprechend der Funktionsgleichung.

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STATION 3: Der Parameter x_s stellt sich vor

Nachdem du jetzt den Parameter y_s kennst, wollen wir uns mit dem Parameter x_s beschäftigen. Er wird in die quadratische Funktion wie folgt integriert:

                                       f(x) = (x - xs)2

Um die Eigenschaften dieses Parameters zu erlernen, bediene den Schieberegler x_s in der nachfolgenden Geogebraanwendung, er verändert dessen Wert. Die schwarz-gestrichelte Parabel ist die Normalparabel. Löse anschließend den darauf folgenden Lückentext und ziehe hierfür die richtigen Textbausteine, mit gehaltener linker Maustaste, in die Lücken.

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Lückentext! - Ordne die richtigen Begriffe zu:

Der Parameter x_s der quadratischen Funktion "f(x) = (x - x_s)²" bewirkt eine Verschiebung der Normalparabel auf der x-Achse. Wie schon bei der Verschiebumg des Parameters y_s, ist die verschobene Parabel kongruent zur Normalparabel. Mit Hilfe des Schiebereglers x_s stellt man fest, dass für positive Werte eine Verschiebung um x-Einheiten nach rechts erfolgt. Ist der Wert von x_s negativ, so wird der Graph um x-Einheiten nach links verschoben.
Aber Achtung! Es wird ein kleines Verwirrspiel getrieben, denn für positive x-Werte lautet die Funktionsgleichung "f(x) = [x - x_s]²". Man macht leicht den Fehler und stellt für positve Werte die Gleichung "f(x) = [x + x_s]²" auf. Da die Funktionsgleichung jedoch "f(x) = (x - x_s)²" lautet, entsteht für positive Werte eine Differenz in der Klammer. Genau andersherum verhält es sich für negative Werte von x_s, denn dort lautet die Funktionsgleichung "f(x) = [x + x_s]²". Für den Scheitelpunkt gilt die Koordinate "S [x_s; 0]", denn der y-Wert bleibt Null. Die Symmetrieachse ist die Parallelachse zur y-Achse senkrecht zur x-Achse.

Das waren einige wichtige Erkenntnisse, die wir nachfolgend festhalten wollen!

Merke

Für die quadratische Funktion "f(x)$=$(x - x_s)²" gilt:

• Der Graph der Funktion ist eine verschobene Parabel entlang der x-Achse
• Die Parabel ist kongruent zur Normalparabel
• Für x_s > 0 gilt: Verschiebung um x Einheiten nach rechts
• Für x_s < 0 gilt: Verschiebung um x Einheiten nach links
• Der Scheitelpunkt liegt bei S [x_s; 0]
• Die Symmetrieachse ist die Parallelachse zur y-Achse, senkrecht zur x-Achse

Achtung!

• Für x_s > 0, mit einer Verschiebung nach rechts, lautet die Funktionsgleichung "f(x) = (x – x_s)²"

Beispiel: Für x_s = 5: f(x) = (x - 5)²

• Für x_s < 0, mit einer Verschiebung nach links, lautet die Funktionsgleichung "f(x) = (x + x_s)²"

Beispiel: Für x_s = -5: f(x) = (x + 5)²

Ebenso wie beim Parameter y_s, folgen wieder einige Aufgaben, um auch diese Eigenschaften zu vertiefen.

STATION 4: Aufgaben zum Parameter x_s

1. Aufgabe: Zuordnung

Gegeben sind die Graphen fünf verschiedener quadratischer Funktionen. Ordne jedem Graph die richtige Funktionsgleichung durch "drag and drop" zu:

y$=$ [x + 4,5]2	y$=$ [x + 2,5]2	y$=$ [x + 0]2	y$=$ [x - 2]2	y$=$ [x - 5]2

2. Aufgabe:

Bestimme mit Hilfe der vorgegebenen Scheitelpunkte die Funktionsgleichung. Ordne dann die entsprechende Funktionsgleichung dem jeweiligen Scheitelpunkt zu!

	Scheitelpunkt	Funktionsgleichung
1.	S $(2,5\!\,|\!\,0)$	y$=$ [x - 2,5]2
2.	S $(-3\!\,|\!\,0)$	y$=$ [x + 3]2
3.	S $(-2,5\!\,|\!\,0)$	y$=$ [x + 2,5]2
4.	S $(0\!\,|\!\,0)$	y$=$ x2
5.	S $(3\!\,|\!\,0)$	y$=$ [x - 3]2

3. Aufgabe:

Du siehst im folgendenden Koordinatensystem drei Parabeln. Man kann diese drei Parabeln durch bedienen der Schieberegler verschieben. Verschiebe die drei Parabeln so, dass sie den Platz für die folgenden Funktionsgleichungen einnehmen.

     f(x) = (x - 2)2
     f(x) = (x - 5)2
     f(x) = (x + 3)2

Überprüfe anschlißend durch Anklicken des Kontrollkästchens, ob du die Aufgabe richtig gelöst hast. Überdecken die blau-gestrichelten Parabeln deine verschobenen Parabeln, dann hast du die Aufgabe richtig gelöst.

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STATION 5: Zusammenführung der Parameter y_s und x_s zur Scheitelpunktsform

Bevor wir nun die beiden Parameter y_s und x_s zusammenführen, wollen wir die wichtigsten Eigenschaften wiederholen. Löse dafür die folgende Zuordnung. Mal sehen wer am wenigstens Versuche braucht!

	Frage	Antwort
1.	Wie lautet der Scheitelpunkt für "y$=$ [x - 2]2"?	S [2, 0]
2.	Wie lautet die Funktionsgleichung für eine Verschiebung nach unten auf der y-Achse?	y$=$ x2 - ys
3.	Wie lautet der Scheitelpunkt für "y$=$ x2 - 4"?	S [0, -4]
4.	Wie lautet die Funktionsgleichung für eine Verschiebung nach links auf der x-Achse?	y$=$ [x + xs]2
5.	Wie lautet der Scheitelpunkt für "y$=$ x2 + 2"?	S [0, 2]
6.	Wie lautet die Funktionsgleichung für eine Verschiebung nach rechts auf der x-Achse?	y$=$ [x - xs]2
7.	Wie lautet die Funktionsgleichung für eine Verschiebung nach oben auf der y-Achse?	y$=$ x2 + ys
8.	Wie lautet der Scheitelpunkt für "y$=$ [x + 4]2"?	S [-4, 0]

Jetzt sind wir an einem Punkt angekommen, an dem wir die Scheitelpunktsform aufstellen können.

In dieser Lerneinheit hast du die Parameter y_s und x_s einzeln kennen gelernt.

Ziel dieser Lerneinheit ist die quadratische Funktion "f(x) = (x - x_s)² + y_s", in der beide Parameter integriert sind.

Du weißt mittlerweile, welche Aufgaben der jeweilige Parameter hat. Während der Parameter y_s für den y-Wert im Koordinatensystem steht, gibt der Parameter x_s den x-Wert an. Genau durch diese beiden Punkte wird der Scheitelpunkt der Parabel bestimmt und man nennt die quadratische Funktion "f(x) = (x - x_s)² + y_s" deshalb Scheitelpunktsform.
Die Scheitelpunktsform vereint somit die Eigenschaften der Paramter x_s und y_s.

Im folgenden Kreuzworträtsel werden diese Eigenschaften nun noch mal abgefragt. Viel Erfolg!

Quadratische Funktion "f(x)$=$(x - xs)2 + ys"

Hinweise und Quiz:

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Hinweise: In der Grafik siehst du die verschobene Normalparabel Mit den Schiebereglnern ys und xs kannst du die Lage der Parabel verändern Bediene die Schieberegler und versuche das folgende Quiz zu lösen Quiz: Beim Klick auf die Ziffern im Kreuzworträtsel öffnet sich ein Eingabefeld. Trage dort deine Antwort ein. In deiner Lösung dürfen keine Bindestriche vorkommen, z.B. für die x-Achse schreibt man xAchse. Erst wenn das komplette Rätsel ausgefüllt ist, können die Ergebnisse überprüft werden. Scheitelpunkt Wie nennt man den Punkt S(xs, ys) der Parabel? Scheitelpunktsform Wie bezeichnet man die FORM der Funktionsgleichung f(x) = (x - xs)² + ys? Symmetrieachse Wie heißt die Achse, für die x = ys gilt? Normalparabel Zu welcher Parabel sind die verschobenen Parabeln kongruent? Unten In welche Richtung verschiebt man die Parabel f(x) = x² - 4? x-Achse Auf welcher Achse verschiebt der Parameter xs die Parabel? Ebene Die Parameter xs und ys bewirken eine Verschiebung der Normalparabel in der... y-Achse Auf welcher Achse verschiebt der Parameter ys die Parabel? Zwei Um wie viele Einheiten wird die Funktion f(x) = (x - 5)² + 2 nach oben verschoben?

Merke

Für die quadratische Funktion "f(x)$=$(x - x_s)² + y_s" gilt:

• Der Graph der Funktion ist eine verschobene Parabel in der Ebene
• Die Parabel ist kongruent zur Normalparabel
• Man erhält den Graph von f durch verschieben der Normalparabel um x Einheiten entlang der x-Achse und um y Einheiten entlang der y-Achse
• Der Scheitelpunkt liegt bei S [x_s; y_s]
• Die Symmetrieachse hat die Gleichung x $=$ y_s

STATION 6: Aufgaben zur Scheitelpunktsform

1. Aufgabe: Multiple Choice

Kreuze alle richtigen Aussagen an!

"f(x) $=$ (x - 5)² - 3" (!Die Parabel ist nach rechts und nach oben verschoben)(!Die Parabel hat den Scheitelpunkt S [-3, 5])(Die Parabel hat den Scheitelpunkt S [5, -3]) (!Die Parabel ist nach unten geöffnet) (Die Parabel ist nach rechts und nach unten verschoben)

"f(x) $=$ 5 + (x + 12)²" (!Es liegt keine Parabel vor) (Die Parabel ist um 5 Einheiten nach oben verschoben) (!Die Parabel ist um 12 Einheiten nach rechts verschoben) (Die Parabel ist um 12 Einheiten nach links verschoben) (Die Parabel liegt oberhalb der x-Achse) (!Die Parabel hat keine Symmetrieachse)

"f(x) $=$ x² + 3" (!Die Parabel ist eine um 3 Einheiten nach links verschobene Normalparabel) (Die Parabel hat den Scheitelpunkt [0, 3]) (Die Symmetrieachse der Parabel ist die y-Achse) (!Die Parabel ist um eine Einheit nach rechts verschoben) (Die Parabel ist nach oben geöffnet)

"f(x) $=$-5 + (x - 6)²" (!Die Funktionsgleichung ist keine quadratische Funktion) (!Die Parabel ist um 5 Einheiten nach links verschoben) (Die Parabel ist um 6 Einheiten nach rechts verschoben) (Die Parabel ist um 5 Einheiten nach unten verschoben) (! Die Parabel ist um 5 Einheiten nach unten und um 6 Einheiten nach links veschoben)

2. Aufgabe:

Gegeben ist der Scheitelpunkt S einer verschobenen Normalparabel. Finde zum jeweiligen Scheitelpunkt die richtige Funktionsvorschrift:

	Scheitelpunkt	Funktionsgleichung
1.	S $(2\!\,|\!\,-5)$	y$=$ [x - 2]2 - 5
2.	S $(4\!\,|\!\,-8)$	y$=$ [x - 4]2 - 8
3.	S $(4\!\,|\!\,8)$	y$=$ [x - 4]2 + 8
4.	S $(5\!\,|\!\,-2)$	y$=$ [x - 5]2 - 2

3. Aufgabe-Zuordnung:

Finde die richtige Funktionsvorschrift für die Graphen!

y$=$ [x + 3]2 + 4		y$=$ [x - 3]2 + 2		y$=$ [x - 1]2 - 5		y$=$ [x + 5]2 - 1

4. Aufgabe: KNIFFELAUFGABE:

Zum Abschluss dieser Lektion noch eine kleine Aufgabe zum Nachdenken.
Gegeben ist die Funktion "f(x) = (x + 3)² + 1,5" und die Punkte W, X, T und P. Welche dieser Punkte liegt auf dem Graph? Überprüfe dies durch Kopfrechnung!

     a)	W $(0\!\,|\!\,1)$ 
     b)	X $(0\!\,|\!\,10,5)$ 
     c)	T $(-1\!\,|\!\,2)$ 
     d)	P $(-3\!\,|\!\,1,5)$ 

Hilfe:
Falls du nicht weiterkommst, lass dir helfen!
Vorlage:Versteckt Bediene nun den Schieberegler, um den Graph der Funktion an die richtige Stelle zu positionieren. Mit dem Anklicken des Kontrollkästchens "Punkte an", erkennst du, welche Punkte auf der Parabel liegen.

Die Datei [INVALID] wurde nicht gefunden.

Prima!

Damit kennst du nun die Parameter x_s und y_s, welche für die Verschiebung der Parabel in der Ebene verantwortlich sind.

In der nächsten Lerneinheit lernst du dann die Normalform kennen.