Lineare Funktionen/Station 4

Lineare Funktionen

• Station 1: Proportionalität
• Übung 1
• Station 2: Steigung
• Übung 2
• Station 3: Beschreibung allgemeiner Geraden
• Übung 3
• Station 4: Aufstellen eines Funktionterms
• Übung 4
• Abschluss

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Station 4: Aufstellen des Funktionsterms

Schlussetappe!

In Station 3 hast du gelernt, wie die Funktionsgleichung linearer Funktionen aussieht und wie man den Funktionsterm am Graphen ablesen kann. In dieser Station lernst du, wie man den Funktionsterm aufstellen kann, wenn nur wenige Angaben zur Verfügung stehen.

4.1 Funktionsterm aus gegebenem Punkt und Steigung bestimmen

In diesem Abschnitt geht es darum, folgende Frage zu klären:

Frage

Eine lineare Funktion $f$ hat die Steigung $m = 1,5$ und verläuft durch den Punkt $A(2|0,5)$.

Wie würdest du vorgehen, um den Funktoinsterm der Funktion zu bestimmmen, ohne den Graphen zu zeichnen?
Dokumentiere deine Überlegungen im Schulheft.

Du kommst nicht drauf? Oder bist dir nicht sicher?

Hilfe zur Selbsthilfe:

• $f$ ist linear, also gilt $f(x) = m* x + t$
  
• $f(x) = 1,5* x + t$ (Steigung ist ja gegeben)
  

Wir müssen also im Endeffekt nur noch den y-Achsenabschnitt t bestimmen, oder?

• $A(2|0,5)$ liegt auf f, also $f(2) = 0,5$ und sowieso $f(2) = 1,5 * 2 + t$
• Also: $1,5 * 2 + t = 0,5$ oder kurz $3+t=0,5$
• Damit: $t = 0,5-3 = -2,5$
  
  

Die Funktionsgleichung lautet: $f(x)=1,5\cdot x -2,5$

Merke

Allgemein gilt: Um die Funktionsgleichung bzw. den Funktionsterm einer linearen Funktion zu bestimmen, muss man nur die Steigung m und den y-Achsenabschnitt t bestimmen.

Bestimmung der Funktionsgleichung

Wenn ein Punkt und die Steigung bekannt sind, kannst du die Funktionsgleichung bestimmen.

Beispiel: Eine lineare Funktion $f$ hat die Steigung $m = 3$ und verläuft durch den Punkt $A(1,4)$.
$f$ ist linear, also $f(x) = mx + t$. Und da $m = 3$ ist $f (x) = 3x + t$
Es muss nur noch t bestimmt werden!


$f(1) = 3$ also $3*1 + t = 4$ und damit $t = 1$

Die Funktiongleichung lautet somit : $f(x) = 3 x + 1$

4.2 Funktionsterm aus zwei gegebenen Punkten bestimmen

Bestimmung der Funktionsgleichung, wenn zwei Punkte bekannt sind

Beispiel: Die lineare Funktion f verläuft durch die Punkte $A(4|5)$ und $B(-4|1)$.

Zunächst muss die Steigung m bestimmt werden!

$m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\frac{5-1}{4-(-4)}=\frac{4}{8}=0,5$

Nun muss wie oben noch t bestimmt werden! Nehme entweder Punkt A oder B zu Hilfe.

$f(x) = 0,5 x + t$
$f(4) = 5, \text{ also } 0,5 * 4 + t = 5 \text{ und damit } t = 3$.

Die Funktiongleichung lautet: $f(x) = 0,5 x + 3$

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