Trigonometrische Funktionen/Anwendungen 2

Trigonometrische Funktionen

• Einfluss der Parameter
• Bestimmung der Funktionsgleichung aus dem Graphen
• Anwendungen in der Physik

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FAQ

Hier kannst du die Bedeutung der verwendeten Begriffe nachschlagen.

Lerne einige Anwendungen kennen!

Kompetenzen

1. Auf diesen Seiten kannst du deine Kenntnisse über die Paramter a, b, c und d der allgemeinen Sinusfunktion anwenden.
2. Du findest den Graphen bzw. den Funktionsterm einer passenden Sinusfunktion zu einem gegebenen Problem.
3. Du gibst nach Modellierung des Problems den Funktionsterm an und zeichnest den Graphen.

Nun kannst du dein erworbenes Wissen anwenden. Wähle je nach Zeit und Interesse:

(Hefteintrag: Formuliere jeweils eine Überschrift und mache dir Notizen zu den Aufgaben!)

Riesenrad

Marie hat zwei Brieffreunde. Pablo wohnt in Madrid, Maike in Hamburg. In den Sommerferien trafen sie sich in Wien und gingen in den Prater. Dort bestaunten sie das Riesenrad. Maike fiel sofort ein, als sie das Riesenrad sah, dass sie im Mathematikunterricht die Sinusfunktion durch Abwickeln am Einheitskreis erhalten hatte.

Tipp:
1. Falls du nicht mehr weißt wie das "Abwickeln am Einheitskreis" funktioniert, kannst du es hier nochmals anschauen.
2. Informationen zum Riesenrad im Wiener Prater findest du hier.

Maike meinte nun, dass eine Gondel sicher auch eine Sinuslinie beschreibt. Marie und Pablo wollten dies natürlich erklärt haben. Unterstütze sie, indem du Ihnen mit dem folgenden GeoGebra-Applet bei der Lösungsfindung hilfst.

Aufgabe 1

a) Verändere nun den Winkel $\varphi$ mit dem Schieberegler.

b) Klicke an „Situation im Koordinatensystem betrachten“ – Drehe dabei das Riesenrad ganz langsam.

c) Bringe den Schieberegler für den Drehwinkel $\varphi$ auf 0° und klicke „Modellierung mit einer Sinusfunktion“ an.

d) Erzeuge mit Hilfe der Schieberegler für a, b, c und d eine Sinuskurve, auf der die Punkte des Riesenrads liegen.

e) Lies die Parameterwerte für a, b, c und d ab. Notiere die Sinusfunktion.

Die Sinusfunktion schaut im GeoGebra-Applet etwa so aus:

1. Die Parameterwerte sind: a = 20, b = 0,05, c = -1,56, d = 30
2. Die Sinusfunktion lautet: x --> 20sin(0,05x - 1,56) + 30

Tageslängen

Nachdem Marie, Pablo und Maike im Prater Riesenrad gefahren sind, gingen sie ein Eis essen. Dabei beobachteten sie die Sonne, wie sie gen Westen immer tiefer stand und unterging. Maike bemerkte dabei, dass sie in Hamburg immer ganz lange Sommertage haben. Pablo meinte, dass die Tage in Madrid gar nicht so lang seien. Marie meint nur, dass heute in Wien ein toller Sommertag war. Allerdings beschäftige sie dieses Problem weiter und Marie bat ihre Freunde einmal über ein Jahr hin zu beobachten wie lang die Tage in Hamburg und Madrid seien. Regelmäßig zum Monatsersten notierten sie die Sonnenaufgangs- und Sonnenuntergangszeiten und schrieben Marie die Tageslängen.

Marie erstellt daraufhin folgende Tabelle:

Dabei bedeutet der Eintrag 9:21, dass der Tag zwischen Sonnenaufgang und Sonnenuntergang 9 Stunden und 21 Minuten lang ist.

Sie macht dazu dieses Diagramm:

Um eine Idee zu bekommen, auf welcher Linie, die dazwischenliegenden Tage liegen könnten, verbindet sie die Punkte

und stellt fest, dass diese Punkte auf einer Sinuslinie liegen.

Nun möchte sie natürlich Terme für diese Sinuskurven der Tageslängen in Madrid und Hamburg angeben und ihren Freunde mitteilen.

Aufgabe 2

Hilf Marie dabei und finde die Werte der Parameter a, b, c und d für die allgemeine Sinusfunktionen.

Gib die Funktionsterme an!

Amplitude: a = $\frac{1}{2}max-min$

Mittelwert: d = min + a
Periodendauer: T = 365
Verschiebung:80 Die Periode beginnt am 21. März (Tag- und Nachtgleiche), nicht am 1. Januar!

Tageslänge Hamburg:

a: 4:41,5 ergibt als Zahlenwert 4,69
d: 12:15,5 ergibt als Zahlenwert 12,26
Tageslänge(t) = $4,69 \cdot sin(\frac{2\pi}{365}\cdot(t-80))+12,26$

Tageslänge Madrid:

a: 2:50 ergibt als Zahlenwert 2,83
d: 12:11 ergibt als Zahlenwert 12,18

Tageslänge(t) = $2,83 \cdot sin(\frac{2\pi}{365}\cdot(t-80))+12,18$

Schwingungen

Es gibt viele periodische Vorgänge, also Vorgänge, die sich nach einer bestimmten Zeit wiederholen. Zeichnet man deren zeitlichen Verlauf auf, so erhält man einen sinusförmigen Graphen.

Aufgabe 3 - Das Federpedel

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Ein Ball hängt an einer Feder und schwingt nach einmaliger Auslenkung. Im Bild sind die Ruhelage und die größten Auslenkungen aus dieser zu sehen. Die Zeitabstände zwischen den einzelnen Fotos sind jeweils gleich groß.

1. Bestimme die Amplitude $\ A$!
2. Wie groß ist die Schwingungsdauer $\ T$?
3. Berechne die Frequenz $\ f$!
4. Berechne die Winkelgeschwindigkeit $\ \omega$!
5. Gib die zugehörige Funktionsgleichung in der Form $s(t) = A \cdot \sin (\omega t)$an!

1. $\ A = 4 cm$

2. $\ T \approx 0,925 s$

3. $f = \frac{1}{T} = \frac{1}{0,925 s} \approx 1,08 Hz$

4. $\omega = 2 \pi f = 2 \pi \cdot 1,08 Hz \approx 6,8 \frac{1}{s}$ oder $\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{0,925s} \approx 6,8 \frac {1}{s}$

5. $s(t) = 4 \cdot \sin(6,8 t)$

Aufgabe 3b - Das Federpendel-Vokabelheft

Du hast doch sicher ein Vokabelheft um für eine Fremdsprache die Vokabeln besser lernen zu können. Nun sollst du die "Vokabeln" für das Federpendel aus Aufgabe P1 notieren. Zeichne dazu einen senkrechten Strich in die Mitte deines Heftes! Auf die linke Seite schreibst du untereinander die allgemeine Sinusfunktion, ihre Parameter und x! Auf der rechten Seite notierst du die jeweilige "Übersetzung" für das Federpendel!

$x\rightarrow a\cdot\sin\Big(b\cdot (x+c)\Big)+d$	$s(t) = A \cdot \sin (\omega t)$
$a$	$A$
$b$	$\omega$
$c$	$0$
$d$	$0$
$x$	$t$

Schaukeln

Aufgabe 4 - Das Fadenpendel

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1. Beschreibe das Experiment und verwende dabei die passenden mathematischen und physikalischen Fachbegriffe!
2. Betrachte den Graphen und überlege dir, inwiefern er nur fast der Graph einer Sinusfunktion ist!
3. Diskutiere was an dem Exerperiment "schief" gelaufen sein könnte!

Oszilloskop

Aufgabe 5 - Das Oszilloskop

Ein Oszilloskop (umgangssprachlich "Oszi") ist ein elektronisches Messgerät mit dessen Hilfe u.a. der Verlauf der Spannung zeitlich dargestellt werden kann. Auf einem Oszilloskop sieht man dieses Bild. Dabei ist die x-Ablenkung auf 0,1ms/div (Millisekunden pro Teilung) und die y-Ablenkung auf 1V/div (Volt pro Teilung) eingestellt.

1. Gib die Spitzenspannung (Amplitude) an!
2. Wie groß ist die Schwingungsdauer?
3. Bestimme die Frequenz!

1. Die Spitzenspannung (Amplitude) beträgt ungefähr 2,3V.

2. Die Schwinungsdauer beträgt in etwa $\ T = 0,4ms$.

3. Es gibt mehrere Möglichkeiten die Frequenz zu bestimmen. So errechnet man z.B. aus der Schwingungsdauer, dass $f = \frac{1}{0,4ms}=\frac{1}{\frac{4}{10000}s}=2500Hz=2,5kHz$ gilt.

Möchtest Du genaueres über das Oszilloskop wissen? Dann kannst Du Dich hier freiwillig informieren.

Experiment Bleistiftmine

Aufgabe

Du hast doch bestimmt einen Zirkel, oder? Genauer gesagt benötigst du nicht den Zirkel, sondern nur die Bleistiftmine für dieses Experiment. Die Mine sollte schräg angefeilt sein. Nimm die Mine aus dem Zirkel und lege sie auf ein Blatt Papier. Wenn du die Mine nun mit einem leichten Druck über das Papier rollst und darauf achtest, dass du eine gerade Richtung beibehältst, dann kannst du den Graphen einer Sinusfunktion erkennen. Diesen kannst du dann gerne noch mit einem Stift nachfahren.

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