Integralrechnung: Unterschied zwischen den Versionen

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==kleine Einführung in die Integralrechnung==
==Einführendes Beispiel==
{{Lernpfad-M|{{Kurzinfo-1|M-digital}}Der folgende Lernpfad soll eine kleine Einführung in die Integralrechnung mit den wichtigsten Grundlagen sowohl für Grund- als auch Leistungskurse der Jahrgangsstufe 12 im Fach Mathematik gegeben. <br><br>
{{Lernpfad-M|{{Lernpfad-M|{{Kurzinfo-1|M-digital}}Im folgenden Lernpfad soll eine Einführung in die Integralrechnung mit den wichtigsten Grundlagen sowohl für Grund- als auch Leistungskurse in Mathematik der Jahrgangsstufe 12 gegeben werden. <br>
 
Der Lernpfad wurde im Rahmen der schriftlichen Hausarbeit zur zweiten Staatsprüfung für das Lehramt an Gymnasien und Gesamtschulen von Daniel Jacobs (Benutzername: Dickesen) erstellt und im Unterricht der Jahrgangsstufe 12 eingesetzt.}}
Der Lernpfad wurde im Rahmen der der zweiten Staatsprüfung für das Lehramt an Gymnasien und Gesamtschulen von Nicole Streil (Benutzername: Nic3381) mit Unterstützung von D.Jacobs (Benutzername:Dickesen) erstellt und im Unterricht der Jahrgangsstufe 12 eingesetzt.}}
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{{Kasten_blau|Du kannst Dir jederzeit die Lösungen der Aufgaben zeigen lassen die Du gerade bearbeitest, obwohl ich selbstverständlich {{Schrift_grün|erst nach eigenständiger Bearbeitung}} dazu rate! <br>  
{{Kasten_blau|Du kannst Dir jederzeit die Lösungen der Aufgaben zeigen lassen die Du gerade bearbeitest, obwohl ich selbstverständlich '''{{Schrift_grün|erst nach eigenständiger Bearbeitung}}''' dazu rate! <br>  
Zusätzlich enthalten einige Aufgaben Tipps zur Lösung. Du kannst sie benutzen, falls Du an einem Punkt nicht weiterkommst. <br>
Zusätzlich enthalten einige Aufgaben Tipps zur Lösung. Du kannst sie benutzen, falls Du an einem Punkt nicht weiterkommst. <br>
Alle Aufgaben sollen im Heft schriftlich mit Angabe des Lernpfades (www-Adresse und Überschrift!) bearbeiten werden. Alle Definitionen, Ideen, etc. ebenfalls schriftlich ins Heft übernehmen!}}
Du solltest in jedem Fall alle Aufgaben im Heft schriftlich mit Angabe des Lernpfades (www-Adresse und Überschrift!) bearbeiten sowie alle Definitionen, Ideen, etc. ebenfalls schriftlich übernehmen!}}
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So, jetzt kann es endlich losgehen. <br> <br>
So, jetzt geht's aber los! Zunächst etwas zum Aufwärmen, Fokussieren und Eingewöhnen: <br> <br>
{{Aufgaben-M|1|
{{Aufgaben-M|1|
Eine Rangierlok wurde am Abend von Schaffner Paulsen am Mittleren von drei Signale abgestellt. Dieses Signal steht mittig auf dem Rangierbahnhof "Hasenweide". Am folgenden Tag soll Lokführer Knutsen die Funktionstüchtigkeit der Lok überprüfen, indem er ein paar Rangierübungen abfährt.<br><br>
Ein Hund rennt im Garten am Zaun hin und her und jagt die Passanten. Das Diagramm zeigt die Geschwindigkeit <math>v</math> des Hundes, wobei positives <math>v</math> die Bewegung nach rechts, negatives <math>v</math> die Bewegung nach links bedeutet. Die Geschwindigkeit <math>v</math> wird dabei in Meter pro Sekunde (m/s), die Zeit <math>t</math> in Sekunden (s) gemessen.}} <br>
In folgender Tabelle sind die Geschwindigkeiten und die jeweiligen Zeiten angegeben.
'''Der Hund startet zur Zeit t = 0 in der Mitte des Zauns.''' <br> <br>
}} <br>
[[Bild:Diagramm_Hund.jpg]]<br> <br>
'''Die Lok startet zur Zeit t = 0 am Mittleren Signal.''' <br> <br>
Bearbeite die folgenden Aufgaben und begründe Deine Antwort anhand des Graphen: <br> <br>
 
a) In welchen Zeitabschnitten bewegt sich der Hund nach rechts bzw. nach links? <br>
 
{{Lösung versteckt|{{Lösung|Bewegung nach rechts wenn der Graph oberhalb der x-Achse liegt für &nbsp;
{| class="wikitable "
<math>0 \leq t \leq 8</math> &nbsp; und &nbsp; <math>13 \leq t \leq 16.</math> <br> <br>
|+ Tabelle Rangierübung
Bewegung nach links wenn der Graph unterhalb der x-Achse liegt für &nbsp;
|- style="background: #DDFFDD;"
<math>9 \leq t \leq 13</math> &nbsp; und &nbsp; <math>16 \leq t \leq 28.</math>
! Zeit t[s]
}}}}
! Geschwindigkeit v[m/s]
b) Wann hat der Hund die größte Geschwindigkeit nach rechts bzw. nach links erreicht? <br>
|-
{{Lösung versteckt|{{Lösung|Größte Geschwindigkeit nach rechts am Hochpunkt des Graphen für <math>t = 5.</math> <br>
| 0
Größte Geschwindigkeit nach links am Tiefpunkt des Graphen für <math>t = 25.</math>
| 0
}}}}
|-
c) Wann wird der Hund schneller, wann wird er langsamer? <br>
| 4
| 10
|-
| 7
| 0
|-
| 9
| 0
|-
| 12
| -6
|-
| 14
| -7
|-
| 16
| -6
|-
| 18
| 0
|-
| 20
| 0
|-
| 22
| 5
|-
| 24
| 5
|-
| 26
| 0
|-
| 28
| -3
|-
| 30
| 0
|}
 
<br>  
Bearbeite die folgenden Aufgaben und begründe Deine Antwort: <br> <br>
a) '''Skizziere den Graphen der Geschwindigkeits-Zeit-Funktion der Rangierlok!'''<br>
{{Lösung versteckt|[[Datei:Nic3381_Rangierlok3.JPG|zentriert|500px]]}}<br><br>
b) '''In welchen Zeitabschnitten bewegt sich die Lok vorwärts  bzw. rückwärts?''' <br>
{{Lösung versteckt|{{Lösung|Bewegung vorwärts wenn der Graph oberhalb der x-Achse liegt für &nbsp;
<math>0 \leq t \leq 7</math> &nbsp; und &nbsp; <math>20 \leq t \leq 25.</math> <br> <br>
Bewegung rückwärts wenn der Graph unterhalb der x-Achse liegt für &nbsp;
<math>9 \leq t \leq 18</math> &nbsp; und &nbsp; <math>26 \leq t \leq 30.</math>
}}}}<br><br>
c)''' Wann hat die Lok die größte Geschwindigkeitvorwärts bzw. rückwärts erreicht?''' <br>
{{Lösung versteckt|{{Lösung|Größte Geschwindigkeit vorwärts am Hochpunkt des Graphen für <math>t = 4.</math> <br>
Größte Geschwindigkeit rückwärts am Tiefpunkt des Graphen für <math>t = 14.</math>
}}}}<br><br>
d) '''Wann wird die Lok schneller, wann wird sie langsamer?''' <br>
{{Lösung versteckt|{{Lösung|
{{Lösung versteckt|{{Lösung|
Bewegung '''vorwärts''': <br>
Bewegung nach rechts: <br>
Lok wird schneller bei positiver Steigung des Graphen: <math>0 \leq t \leq 4 \ ; \ 20 \leq t \leq 22</math> <br>
Hund wird schneller bei positiver Steigung des Graphen: <math>0 \leq t \leq 5 \ ; \ 13 \leq t \leq 15</math> <br>
Lok wird langsamer bei negativer Steigung des Graphen: <math>4 \leq t \leq 7 \ ; \ 22 \leq t \leq 25</math>
Hund wird langsamer bei negativer Steigung des Graphen: <math>5 \leq t \leq 8 \ ; \ 15 \leq t \leq 16</math>
<br><br>
<br><br>
Bewegung '''rückwärts''': <br>
Bewegung nach links: <br>
Lok wird schneller bei negativer Steigung des Graphen: <math>9 \leq t \leq 14 \ ; \ 26 \leq t \leq 28</math> <br>
Hund wird schneller bei negativer Steigung des Graphen: <math>9 \leq t \leq 12 \ ; \ 16 \leq t \leq 25</math> <br>
Lok wird langsamer bei positiver Steigung des Graphen: <math>14 \leq t \leq 18 \ ; \ 28 \leq t \leq 30</math>
Hund wird langsamer bei positiver Steigung des Graphen: <math>12 \leq t \leq 13 \ ; \ 25 \leq t \leq 28</math>
}}}}<br><br>
}}}}
e)''' Gib eine Schätzung für die Breite des Rangierbahnhofes an unter der Voraussetzung, dass die Lok zum  Zeitpunkt t = 7 das Endsignal und somit die Grundstücksgrenze erreicht hat.''' <br>
d) Gib eine Schätzung für die Breite des Grundstücks an unter der Voraussetzung, dass der Hund zum  Zeitpunkt t = 8 die Grundstücksgrenze erreicht hat. <br>
{{Lösung versteckt|{{Lösung|
{{Lösung versteckt|{{Lösung|
Strecke vom mittleren Signal bis zu den beiden Rändern jeweils ca. 35m. <br>
Strecke von der Zaunmitte bis zu den beiden Rändern jeweils ca. 27m. <br>
Somit ergibt sich eine Grundstücksbreite von ca. 70m.
Somit ergibt sich eine Grundstücksbreite von ca. 54m.
}}}}
}}}}
f)''' Im letzten Aufgabenteil hast Du ausgehend von der von der Lok zurückgelegten Strecke die Bahnhofsbreite geschätzt. Woran kann man die zurückgelegte Strecke in obigem Diagramm erkennen?''' <br>
e) Im letzten Aufgabenteil hast Du ausgehend von der vom Hund zurückgelegten Strecke die Grundstücksbreite geschätzt. Woran kann man die zurückgelegte Strecke in obigem Diagramm erkennen? <br>
{{Lösung versteckt|{{Lösung|
{{Lösung versteckt|{{Lösung|
Die zurückgelegte Strecke zeigt sich im Diagramm als Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse. <br> Dabei ist die zurückgelegte Strecke vorwärts die Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse ''oberhalb'' der x-Achse und die zurückgelegte Strecke rückwärts ist die Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse ''unterhalb'' der x-Achse!
Die zurückgelegte Strecke zeigt sich im Diagramm als Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse. <br> Dabei ist die zurückgelegte Strecke nach rechts die Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse ''oberhalb'' der x-Achse und die zurückgelegte Strecke nach links ist die Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse ''unterhalb'' der x-Achse!
}}}}<br><br>
}}}}
g) '''Befindet sich die Lok nach 30 Sekunden vor oder hinter dem mittleren Signal?''' <br>
f) Befindet sich der Hund nach 28 Sekunden rechts oder links von der Mitte des Zauns? <br>
{{Lösung versteckt|{{Lösung|
{{Lösung versteckt|{{Lösung|
Da der Flächeninhalt zwischen dem Graphen und der x-Achse ''oberhalb'' der x-Achse etwas größer ist als derjenige ''unterhalb'' der x-Achse, befindet sich die Lok vor dem mittleren Signal.
Da der Flächeninhalt zwischen dem Graphen und der x-Achse ''oberhalb'' der x-Achse etwas größer ist als derjenige ''unterhalb'' der x-Achse, befindet sich der Hund rechts von der Zaunmitte.
}}}}
}}}}
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[[Mathematik-digital/eine kleine Einführung in die Integralrechnung/Zusammenhänge|>>Weiter>>]]
[[Benutzer:Dickesen|Home]] &nbsp; &nbsp; [[Benutzer:Dickesen/Integral2|>>Weiter>>]]
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{{Navigation Lernpfad eine kleine Einführung in die Integralrechnung}}
{{Kastendesign1|
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INHALT=
[[Benutzer:Dickesen|Home]] &nbsp; &#124; &nbsp;
[[Benutzer:Dickesen/Integral2|Vorüberlegungen]] &nbsp; &#124;  &nbsp;[[Benutzer:Dickesen/Integral3|Ober- und Untersumme]] &nbsp; &#124; &nbsp;
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[[Benutzer:Dickesen/Integral11|Aufgaben II]]
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}}


[[Kategorie:Integralrechnung]]
[[Kategorie:Integralrechnung]]

Version vom 10. November 2012, 13:49 Uhr

Einführendes Beispiel

{{Lernpfad-M|Vorlage:Lernpfad-M

Vorlage:Kasten blau

So, jetzt geht's aber los! Zunächst etwas zum Aufwärmen, Fokussieren und Eingewöhnen:

Vorlage:Aufgaben-M
Der Hund startet zur Zeit t = 0 in der Mitte des Zauns.

Diagramm Hund.jpg

Bearbeite die folgenden Aufgaben und begründe Deine Antwort anhand des Graphen:

a) In welchen Zeitabschnitten bewegt sich der Hund nach rechts bzw. nach links?

Vorlage:Lösung

b) Wann hat der Hund die größte Geschwindigkeit nach rechts bzw. nach links erreicht?

Vorlage:Lösung

c) Wann wird der Hund schneller, wann wird er langsamer?

Vorlage:Lösung

d) Gib eine Schätzung für die Breite des Grundstücks an unter der Voraussetzung, dass der Hund zum Zeitpunkt t = 8 die Grundstücksgrenze erreicht hat.

Vorlage:Lösung

e) Im letzten Aufgabenteil hast Du ausgehend von der vom Hund zurückgelegten Strecke die Grundstücksbreite geschätzt. Woran kann man die zurückgelegte Strecke in obigem Diagramm erkennen?

Vorlage:Lösung

f) Befindet sich der Hund nach 28 Sekunden rechts oder links von der Mitte des Zauns?

Vorlage:Lösung





Vorlage:Kastendesign1

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