Potenzfunktionen - 4. Stufe: Unterschied zwischen den Versionen
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Zu welchen vorgegebenen Potenzfunktionen gibt es eine Umkehrfunktion? Welche Eigenschaften muss die gegebene Potenzfunktion erfüllen, damit es eine Umkehrfunktion gibt?<br /> | Zu welchen vorgegebenen Potenzfunktionen gibt es eine Umkehrfunktion? Welche Eigenschaften muss die gegebene Potenzfunktion erfüllen, damit es eine Umkehrfunktion gibt?<br /> | ||
Begründe Deine Überlegungen und beachte dabei besonders Definitions- und Wertebereich der betrachteten Funktionen, sowie ihr Monotonieverhalten!<br /> | Begründe Deine Überlegungen und beachte dabei besonders Definitions- und Wertebereich der betrachteten Funktionen, sowie ihr Monotonieverhalten!<br /> | ||
{{Lösung versteckt| Potenzfunktionen mit <math>f(x) = x^{\frac 1 n}</math> mit <math>n\geq2</math> sind auf ihrem Definitionsbereich <math>\mathbb{D}=\mathbb{R}^+_0</math> streng monoton steigend. Deswegen gibt es auf diesem Bereich eine Umkehrfunktion und zwar von der Bauart <math>f(x) = x^n.</math><br />Hat man aber eine Potenzfunktion <math>f(x) = x^n</math> mit <math>n\geq2</math> (also eine aus der Stufe 1 dieses Lernpfades) vorgegeben, so ist sie auf ihrem Defintionsbereich <math>\mathbb{D}=\mathbb{R}</math> | {{Lösung versteckt| Potenzfunktionen mit <math>f(x) = x^{\frac 1 n}</math> mit <math>n\geq2</math> sind auf ihrem Definitionsbereich <math>\mathbb{D}=\mathbb{R}^+_0</math> streng monoton steigend. Deswegen gibt es auf diesem Bereich eine Umkehrfunktion und zwar von der Bauart <math>f(x) = x^n.</math><br />Hat man aber eine Potenzfunktion <math>f(x) = x^n</math> mit <math>n\geq2</math> (also eine aus der Stufe 1 dieses Lernpfades) vorgegeben, so ist sie auf ihrem Defintionsbereich <math>\mathbb{D}=\mathbb{R}</math> nicht überall streng monoton. Die Umkehrbarkeit ist aber nur auf streng monotonen Intervallen möglich. Betrachtet man <math>f</math> auf dem eingeschränkten Definitionsbereich <math>\mathbb{R}^+_0</math>, so ist sie dort streng monoton und damit umkehrbar. Die Umkehrfunktion ist dort <math>f(x) = x^{\frac 1 n}</math>. }} | ||
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Version vom 28. März 2009, 20:57 Uhr
Die Graphen der Funktionen mit f(x) = x-1/n, n ∈ IN
Vergleich mit Funktionen aus Stufe 3
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Exponenten, Brüche und Potenzgesetze
Im vorliegenden Fall betrachten wir negative Stammbrüche als Exponenten. Denke dabei insbesondere an folgenden Zusammenhang:
- Für eine reelle Zahl und eine natürliche Zahl wird definiert:
- für
Auf unsere Situation angewandt ergibt sich:
| Vorlage:Arbeiten |
Potenzfunktionen und ihre Umkehrfunktionen
Beispiel
| Es sei eine Potenzfunktion, definiert durch . Gesucht ist die Umkehrfunktion von .
ergibt sich aus durch Auflösen nach . Es ist: Vertauschen von und ergibt schließlich die gesuchte Funktion: . |
Die Datei [INVALID] wurde nicht gefunden. |
Beispiel
| Es sei eine Potenzfunktion, nun definiert durch mit Definitionsbereich ID = IR+. Gesucht ist wieder ihre Umkehrfunktion .
Auflösen nach ergibt: |
Die Datei [INVALID] wurde nicht gefunden. |
Hinweis: Man beachte besonders hier die unterschiedliche Bedeutung von und !
Vergleich mit Potenzfunktionen der Stufe 1
Im Zusammenhang mit den Umkehrfunktionen dieser Art kann es sinnvoll sein, sich die Potenzfunktionen der Stufe 1 noch einmal vor Augen zu führen. Hier kannst Du direkt zur Stufe 1 springen.
Zusammenfassung
Die Umkehrfunktionen von Potenzfunktionen mit für sind Potenzfunktionen mit
Die Umkehrfunktionen von Potenzfunktionen mit für sind Potenzfunktionen mit .
*Zusammenfassung: Was bewirken Parameter in Potenzfunktionen? - Merkregel "5 S"-Prinzip
*: freiwillig
Die Datei [INVALID] wurde nicht gefunden.
*Zum Weiterdenken: Mit Funktionen malen
(freiwillig)
| Die Datei [INVALID] wurde nicht gefunden. Das obenstehende Bild ist vollständig aus Potenzfunktionen der Form mit zusammengesetzt.
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Und nun gehts zum Abschlusstest |
