Potenzfunktionen - 4. Stufe: Unterschied zwischen den Versionen
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mit <math>a \in \mathbb{R}, q \in \mathbb{N} \cup \{ \textstyle{ \frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\frac{1}{5},\frac{1}{6},\ldots } \}</math> zusammengesetzt. Bearbeite zu dem Bild nacheinander folgende Fragen: | mit <math>a \in \mathbb{R}, q \in \mathbb{N} \cup \{ \textstyle{ \frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\frac{1}{5},\frac{1}{6},\ldots } \}</math> zusammengesetzt. Bearbeite zu dem Bild nacheinander folgende Fragen: | ||
# Das "Blatt" rechts oben im Bild ist aus drei verschiedenen Potenzfunktionen aufgebaut. Untersuche, wie die Parameter a und q die Graphen beeinflussen und welche Werte für a und q hier verwendet sind. | |||
# Von welcher Form sind die Funktionen, die das Blatt links unten ausbilden? | |||
# Wie kann man die Größe der Blätter beeinflussen? | |||
[[Bild:rosette_1.png|thumb|right|250px|Das erste Blatt setzt sich aus drei abschnittsweise definierten Potenzfuntktionen zusammen.]] | [[Bild:rosette_1.png|thumb|right|250px|Das erste Blatt setzt sich aus drei abschnittsweise definierten Potenzfuntktionen zusammen.]] | ||
[[Bild:rosette_2.png|thumb| | [[Bild:rosette_2.png|thumb|frameless|right|250px|Wie müssen die Parameter verändert werden, wenn sie das Blatt links unten bilden sollen? ]] | ||
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Version vom 2. Februar 2009, 16:02 Uhr
Die Graphen der Funktionen mit f(x) = x-1/n, n ∈ IN
Es sei stets IN0={0,1,2,...} und IN={1,2,3,..}, insbesondere also IN0 =/= IN.
Wir betrachten in diesem Abschnitt die Graphen solcher Funktionen, die einen negativen Stammbruch der Form mit als Exponenten haben. Für diese Art der Exponenten gilt: .
Vergleich mit Funktionen aus Stufe 3
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Exponenten, Brüche und Potenzgesetze
Im vorliegenden Fall betrachten wir negative Stammbrüche als Exponten. Man erinnere sich dabei an die Potenzgesetze, insbesondere an folgenden Zusammenhang:
- Für eine reelle Zahl und eine natürliche Zahl wird definiert:
- für
Auf unsere Situation angewandt ergibt sich:
Vorlage:Arbeiten |
Potenzfunktionen und ihre Umkehrfunktionen
Beispiel
Es sei eine Potenzfunktion, definiert durch . Gesucht ist die Umkehrfunktion von .
ergibt sich aus durch Auflösen nach . Es ist: Vertauschen von und ergibt schließlich die gesuchte Funktion: . |
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Beispiel
Es sei eine Potenzfunktion, nun definiert durch mit Definitionsbereich ID = IR+. Gesucht ist wieder ihre Umkehrfunktion .
Auflösen nach ergibt: |
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Hinweis: man beachte besonders hier die unterschiedliche Bedeutung von und !
Vergleich mit Potenzfunktionen der Stufe 1
Im Zusammenhang mit den Umkehrfunktionen dieser Art kann es sinnvoll sein, sich die Potenzfunktionen der Stufe 1 noch einmal vor Augen zu führen. Hier kannst Du direkt zur Stufe 1 springen.
Zusammenfassung
Die Umkehrfunktionen von Potenzfunktionen der Bauart mit sind Potenzfunktionen der Bauart
Die Umkehrfunktionen von Potenzfunktionen der Bauart mit sind Potenzfunktionen der Bauart .
Was bewirken Parameter in Potenzfunktionen? - Merkregel "5 S"
- Spiegeln
- Strecken
- Stauchen
- Schieben
- Superponieren
Siehe Video auf www.oberprima.com.
APPLET
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Mit Funktionen malen
Das nebenstehende Bild ist vollständig aus Potenzfunktionen der Form
mit zusammengesetzt. Bearbeite zu dem Bild nacheinander folgende Fragen:
- Das "Blatt" rechts oben im Bild ist aus drei verschiedenen Potenzfunktionen aufgebaut. Untersuche, wie die Parameter a und q die Graphen beeinflussen und welche Werte für a und q hier verwendet sind.
- Von welcher Form sind die Funktionen, die das Blatt links unten ausbilden?
- Wie kann man die Größe der Blätter beeinflussen?