Laplace-Wahrscheinlichkeit wiederholen und vertiefen/Drei-Würfel-Problem: Unterschied zwischen den Versionen
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{{ | {{Aufgaben-M|3.1|Welchen Fehler hatte ''de Méré'' wohl gemacht? Kannst du den Irrtum aufklären?}} | ||
Versuche die Aufgabe zuerst ohne Hilfen zu lösen! | |||
Vielleicht kann dir diese Urnensimulation weiterhelfen: | |||
{{Rechtsklick Fenster}} [http://www.mathematik.uni-dortmund.de/didaktik/_personelles/papers/stoc_pro/Urne/JavaUrne.html Urnensimulation] | |||
Lösungshilfen: {{versteckt| | |||
:*Mit Hilfe einer Urnensimulation kannst du unter anderem auch diesen dreifachen Würfelwurf simulieren. (Wie geht das? → 6 Kugeln in der Urne; dreimaliges Ziehen mit zurücklegen) Führe dies <u>mit</u> und <u>ohne</u> Beachtung der Reihenfolge durch. | |||
:*Was fällt dir auf? | |||
:*Denke nochmal an „Gustavs Glücksspiel“. Wenn er dir das Spiel mit zwei gleichartigen Würfeln angeboten hätte, hätten sich die Wahrscheinlichkeiten deswegen geändert? | |||
:*Das Glücksspiel von Gustav war ein Laplace-Experiment. Ist das „Drei-Würfel-Problem“ auch eines? | |||
:*Stell dir vor, die Würfel von ''de Méré'' wären unterscheidbar. Was ist nun für die Ergebnismenge wichtig? | |||
}} | |||
{{Lösung versteckt|:*Die Ergebnisse von ''de Méré'' sind nicht gleichwahrscheinlich! Also kann er gar nicht die Laplace-Wahrscheinlichkeiten berechnen. | |||
:*Die Wahrscheinlichkeiten bei Gustavs Glücksspiel hätten sich ja auch nicht geändert, nur weil die Würfel anders gewesen wären. Denke daran, dass zum Beispiel eine farbenblinde Person die andersfarbigen Würfel gar nicht unterscheiden könnte. | |||
}} | |||
{{Aufgaben-M|3.2|Gib nun die Ergebnismenge für den dreifachen Würfelwurf so an, dass die Laplace-Annahme gerechtfertigt ist.}} | |||
{{Lösung versteckt|:<math>\Omega = \{(1,1,1),(1,1,2),(1,1,3),(1,1,4),(1,1,5),(1,1,6),(1,2,1),...,(6,6,4),(6,6,5),(6,6,6)\} </math> | |||
:<math>\left|\Omega\right|=6 \cdot 6 \cdot 6 = 6^3 = 216</math> | |||
}} | |||
( | {{Aufgaben-M|3.3|Berechne nun die Wahrscheinlichkeiten für die Ereignisse '''E<sub>1</sub>''': „Augensumme 11“ und '''E<sub>2</sub>''': „Augensumme 12“ beim dreifachen Würfelwurf.}} | ||
{{Lösung versteckt| | |||
:*Für Ergebnisse mit drei verschiedenen Augenzahlen müssen wir nicht nur eines beachten, sondern sechs verschiedene (Zählprinzip). | |||
::Beispiel:<math>\{1,4,6\}\ \rightarrow \{(1,4,6),(1,6,4),(4,1,6),(4,6,1),(6,1,4),(6,4,1)\}</math> | |||
:*Für Ergebnisse mit zwei verschiedenen Augenzahlen müssen wir drei verschieden Ergebnisse beachten. | |||
:*Für Ergebnisse wie <math>\{3,3,3\}</math> gibt es nur ein Ergebnis. | |||
:<math>\Rightarrow \quad \left|E_1\right|= 6\ +\ 6\ +\ 6\ +\ 3\ +\ 3\ +\ 3=27 \quad \Rightarrow \quad p(E_1)= \frac{27}{216}=12{,}5\ %</math> | |||
:<math>\Rightarrow \quad \left|E_2\right|= 6\ +\ 6\ +\ 6\ +\ 3\ +\ 3\ +\ 1=25 \quad \Rightarrow \quad p(E_2)= \frac{25}{216}\approx11{,}6\ %</math> | |||
:Da der Unterschied nicht sehr groß ist, müssen ''de Méré'' und seine Freunde sehr oft gewürfelt haben, damit ihnen das Problem aufgefallen ist! | |||
}} | |||
Version vom 3. September 2009, 19:44 Uhr
Das „Drei-Würfel-Problem“
Bild von drei Würfeln einfügen!
Versuche die Aufgabe zuerst ohne Hilfen zu lösen!
Vielleicht kann dir diese Urnensimulation weiterhelfen:
Vorlage:Rechtsklick Fenster Urnensimulation
Lösungshilfen: Vorlage:Versteckt
- Die Ergebnisse von de Méré sind nicht gleichwahrscheinlich! Also kann er gar nicht die Laplace-Wahrscheinlichkeiten berechnen.
- Die Wahrscheinlichkeiten bei Gustavs Glücksspiel hätten sich ja auch nicht geändert, nur weil die Würfel anders gewesen wären. Denke daran, dass zum Beispiel eine farbenblinde Person die andersfarbigen Würfel gar nicht unterscheiden könnte.
- Für Ergebnisse mit drei verschiedenen Augenzahlen müssen wir nicht nur eines beachten, sondern sechs verschiedene (Zählprinzip).
- Beispiel:
- Für Ergebnisse mit zwei verschiedenen Augenzahlen müssen wir drei verschieden Ergebnisse beachten.
- Für Ergebnisse wie gibt es nur ein Ergebnis.
- Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle \Rightarrow \quad \left|E_1\right|= 6\ +\ 6\ +\ 6\ +\ 3\ +\ 3\ +\ 3=27 \quad \Rightarrow \quad p(E_1)= \frac{27}{216}=12{,}5\ %}
- Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle \Rightarrow \quad \left|E_2\right|= 6\ +\ 6\ +\ 6\ +\ 3\ +\ 3\ +\ 1=25 \quad \Rightarrow \quad p(E_2)= \frac{25}{216}\approx11{,}6\ %}
- Da der Unterschied nicht sehr groß ist, müssen de Méré und seine Freunde sehr oft gewürfelt haben, damit ihnen das Problem aufgefallen ist!