Benutzer:Aslanoll2/ Lineare Funktionen

Lineare Funktionen

Folgendes wird dirch in diesem Lernpfad begegnen:

• Steigungen linearer Funktionen ermitteln
• Funktionsterme bestimmen
• Überprüfen, ob Punkte auf dem Graphen einer linearer Funktion liegen
• Nullstellen linearer Funktionen bestimmen

STOPP!! Bevor du diesen Lernpfad durcharbeitest, beachte bitte, dass einige Kenntnisse vorausgesetzt werden:

• Funktionsbegriff
• Wertetabelle
• Allgemeine Form linearer Funktionen

Wenn du dir unsicher bist, ob du das genannte auf dem Kasten hast, kannst du gerne die kurze Einheit im Anschluss zur Wiederholung bearbeiten :)

Wiederholung (freiwillig)

Funktionsbegriff

Als erstes wiederholen wir den Funktionsbegriff. Die zentrale Fragestellung dabei ist "Was ist eine Funktion?". Viel Spaß!

Aufgabe 1a

Ergänze im folgenden Satz das fehlende Wort:

Eine Funktion ist eine eindeutige() Zuordnung

Falls du dir unsicher bist, kannst du gerne die folgende Lösung aufklappen

Das fehlende Wort ist: "eindeutige". Kurz gesagt: Jedem x-Wert wird ein y-Wert zugeordnet.

Aufgabe 1b

Bearbeite folgende Aufgabe, indem du entscheidest, ob es sich um eine Funktion handelt oder nicht

Falls du dazu noch Hilfe brauchst!

Falls du Schwierigkeiten hattest, könnte dir folgendes Video weiterhelfen:

Wertetabelle

Im nächsten Schritt folgen Übungen zu Wertetabellen als Darstellungsform von Linearen Funktionen.

Aufgabe 2a

Gegeben ist der Graph einer linearen Funktion. Fülle die Wertetabelle aus, indem du die Werte vom Graphen abliest!

Aufgabe 2b

Diesmal ist der Funktionsterm eines Graphen gegeben. Berechne mit dem Funktionsterm die fehlenden Werte in der Wertetabelle: f(x)=0,5x+2. Nachdem du die fehlenden Werte ermittelt hast, zeichnest du den Graphen der Funktion in dein Übungsheft!

Das ist der Graph der Funktion:

Allgemeine Form linearer Funktionen

Im letzten Teil der Wiederholung widmen wir uns der allgemeinen Form linearer Funktionen.

Aufgabe 3a

Ergänze den folgenden Satz:

Die allgemeine Form linearer Funktionen lautet y=mx+b()

Falls du dazu noch eine Auffrischung brauchst, kannst du gerne die folgende Lösung aufklappen!

Jede Lineare Funktion lässt sich durch eine Gleichung der folgenden Form beschreiben:

$f(x) = m \cdot x + b$

(Manchmal auch $m \cdot x + n$ oder $m \cdot x + c$)

Aufgabe 3b

Wofür steht das "m" in der allgemeinen Form und wofür steht das "b"?

Das "m" und das "b" haben feste Bedeutungen:

• $m$ ist die *Steigung* (Wie steil ist die Gerade?)
• $b$ ist der *y-Achsenabschnitt* (Wo schneidet die Gerade die y-Achse?)

Steigung einer linearen Funktion

Merke

Wie du bereits weißt, steht das "m" in der allgemeinen Form von linearen Funktionen für die Steigung des Graphen. Die Steigung einer linearen Funktion beschreibt, wie stark der Funktionswert y (oder f(x)) steigt oder fällt, wenn sich der x-Wert um eine Einheit verändert. Sie ist also das Maß für die "Neigung" des Graphen im Koordinatensystem. Ist bei einer linearen Funktion m > 0, so steigt der dazugehörige Graph. Ist die Steigung m < 0, so fällt der dazugehörige Graph. Im Sonderfall m = 0 verläuft der Graph parallel zur x-Achse. Das heißt, dass der Graph weder steigt, noch fällt. Die Steigung der linearen Funktion können wir mit dem sogenannten Steigungsdreieck berechnen. Im Bild unten siehst du, wie man dabei vorgeht.

Falls du dazu noch Hilfe brauchst!

Falls du Schwierigkeiten hast, das Prinzip hinter den Steigungsdreiecken zu verstehen, kannst du dir gerne das Video von Daniel Jung angucken.

Aufgabe 1

Ordne die Steigungen den passenden Steigungsdreiecken zu.

Aufgabe 2

Übertrage die Geraden in dein Heft oder Tablet und ermittle rechnerisch die Steigungen der Geraden. Zeichne dazu passende Steigungsdreiecke ein.

Anmerkung: Deine Steigungsdreiecke müssen nicht identisch mit der Lösung sein. Es gibt unterschiedliche Steigungsdreiecke für dieselbe Steigung!

Aufgabe 3

Ein Auto fährt eine Straße bergauf. In 100 Meter waagerechter Strecke steigt die Straße um 20 Meter. Zeichne den Verlauf der Straße in ein Koordinatensystem und berechne die Steigung der Straße. Um wie viel Meter steigt das Auto pro 50 Meter Fahrstrecke?

Hinweis: Falls du Probleme bei der Skalierung hast, verwende 2 Kästchen pro 10 Meter.

Zusatzaufgabe (freiwillig): Ermittle rechnerisch, um wie viele Meter das Auto nach 130 Metern gestiegen ist. (Hinweis: y = m ⋅ x + b)

Funktionsterm bestimmen

Merke

Es gibt verschiedene Wege, um den Funktionsterm einer linearen Funktion zu bestimmen. Zwei mögliche Wege lernt ihr jetzt kennen.

• Funktionsterm aus der Steigung und dem y-Achsenabschnitt.

Um den Funktionsterm einer linearen Funktion zu bestimmen, untersucht man den Zusammenhang zwischen Steigung und y-Achsenabschnitt, die gemeinsam die allgemeine Form, die du bereits kennst, (y=mx+b) festlegen.

• Beispiel:

• Funktionsterm aus einem Punkt und der gegebenen Steigung

Du kannst den Funktionsterm aber auch aus einem Punkt, der auf dem Graphen liegt, und der gegebenen Steigung der dazugehörigen Funktion bestimmen.

• Beispiel:

Aufgabe 1

Bestimme den jeweiligen Funktionsterm anhand des Graphen

• a)

• b)

• c)

• a) f(x)=$\frac{1}{2}$x-1
• b) g(x)=-2x+3
• c) h(x)=$\frac{2}{3}$x+$\frac{3}{2}$

Aufgabe 2

Ordne jedem Graphen den richtigen Term zu

Aufgabe 3

• a) Ermittle diejenige lineare Funktion, die durch den Punkt P(-1|1) verläuft und die Steigung 4 hat
• b) Ermittle diejenige lineare Funktion, die durch den Punkt Q(8|4) und die Steigung $\frac{3}{4}$ hat.
• c) Ermittle diejenige lineare Funktion, die durch den Punkt A(2|-4) verläuft und die Steigung -6 hat.

• a) f(x)=4x+3
• b) g(x)=$\frac{3}{4}$x-2
• c) h(x)=-6x+8

Punktprobe

Merke

Mit der Punktprobe können wir überprüfen, ob ein bestimmter Punkt auf einem gegebenen Graphen liegt. Zur Erinnerung: Ein Punkt setzt sich zusammen aus seinem x-Wert und seinem y-Wert, die seine genaue Position im Koordinatensystem bestimmen.

Die Punktprobe läuft wie folgt ab:

Wir wollen überprüfen, ob die Punkte P (4|11) und T (2|6) auf dem Graphen der Funktion f(x) = 2x + 3 liegen.

Man rechnet: Punkt P: f(4) = 2 × 4 + 3 = 11. Also liegt der Punkt P auf dem Graphen der Funktion f, da der y-Wert des Punktes, also 11, derselbe ist wie der Funktionswert, den man bekommt, wenn man den x-Wert des Punktes in die Funktion einsetzt.

Punkt T: f(2) = 2 × 2 + 3 = 7 ≠ 6. Also liegt der Punkt T nicht auf dem Graphen der Funktion f, da der y-Wert des Punktes, also 6, nicht derselbe ist wie der Funktionswert, den man bekommt, wenn man den x-Wert des Punktes in die Funktion einsetzt

Aufgabe 1

Überprüfe rechnerisch, ob die Punkte P (2|1) und Q (1|-1) auf dem Graphen liegen

• f(x) = 2x - 3
• g(x) = -3x + 7
• h(x) = 0,5x - 1,5
• u(x) = 4x - 6

• P und Q liegen auf f(x)
• P liegt auf g(x), aber Q nicht
• P liegt nicht auf h(x), aber Q schon
• Weder P noch Q liegen auf u(x)

Aufgabe 2

Wir haben eine 6,5cm lange Kerze. Ihr Abbrennen kann mit dieser Funktion beschrieben werden: f(x) = 6,5 - 0,4x. Dabei steht x für die Zeit in Minuten.

Überprüfe rechnerisch mithilfe der Punktprobe, ob die Punkte P (12|1,7) und T (14|1,5) auf dem Graphen der Funktion liegen.

Was bedeuten die Punkte im Zusammenhang mit der Kerze?

• Punkt P: f(12) = 6,5 - 0,4 × 12 = 1,7. Also liegt P auf dem Graphen von f.
• Punkt T: f(14) = 6,5 - 0,4 × 14 = 0,9 ≠ 1,5. Also liegt T nicht auf dem Graphen von f.
• Im Zusammenhang mit der Kerze heißt das: Der Punkt P liegt auf dem Graphen, da die Kerze nach 12 Minuten noch 1,7cm hoch war. Der Punkt T hingegen liegt nicht auf dem Graphen, da die Kerze nach 14 Minuten schon deutlich kleiner als 1,5cm war.

Nullstellen linearer Funktionen

- Vorgehen erläutern mit Hilfe von y-Achsenabschnitt

- Nullstellen berechnen