Benutzer:Aslanoll2/ Lineare Funktionen

Lineare Funktionen

Folgendes wird dirch in diesem Lernpfad begegnen:

• Steigungen linearer Funktionen ermitteln
• Funktionsterme bestimmen
• Überprüfen, ob Punkte auf dem Graphen einer linearer Funktion liegen
• Nullstellen linearer Funktionen bestimmen

STOPP!! Bevor du diesen Lernpfad durcharbeitest, beachte bitte, dass einige Kenntnisse vorausgesetzt werden:

• Funktionsbegriff
• Wertetabelle
• Allgemeine Form linearer Funktionen

Wenn du dir unsicher bist, ob du das genannte auf dem Kasten hast, kannst du gerne die kurze Einheit im Anschluss zur Wiederholung bearbeiten :)

Wiederholung (freiwillig)

Funktionsbegriff

Als erstes wiederholen wir den Funktionsbegriff. Die zentrale Fragestellung dabei ist "Was ist eine Funktion?". Viel Spaß!

Aufgabe 1a

Ergänze im folgenden Satz das fehlende Wort:

Eine Funktion ist eine eindeutige() Zuordnung

Falls du dir unsicher bist, kannst du gerne die folgende Lösung aufklappen

Das fehlende Wort ist: "eindeutige". Kurz gesagt: Jedem x-Wert wird ein y-Wert zugeordnet.

Aufgabe 1b

Bearbeite folgende Aufgabe, indem du entscheidest, ob es sich um eine Funktion handelt oder nicht

Falls du dazu noch Hilfe brauchst!

Falls du Schwierigkeiten hattest, könnte dir folgendes Video weiterhelfen:

Wertetabelle

Im nächsten Schritt folgen Übungen zu Wertetabellen als Darstellungsform von Linearen Funktionen.

Aufgabe 2a

Gegeben ist der Graph einer linearen Funktion. Fülle die Wertetabelle aus, indem du die Werte vom Graphen abliest!

Aufgabe 2b

Diesmal ist der Funktionsterm eines Graphen gegeben. Berechne mit dem Funktionsterm die fehlenden Werte in der Wertetabelle: f(x)=0,5x+2. Nachdem du die fehlenden Werte ermittelt hast, zeichnest du den Graphen der Funktion in dein Übungsheft!

Das ist der Graph der Funktion:

Allgemeine Form linearer Funktionen

Im letzten Teil der Wiederholung widmen wir uns der allgemeinen Form linearer Funktionen.

Aufgabe 3a

Ergänze den folgenden Satz:

Die allgemeine Form linearer Funktionen lautet y=mx+b()

Falls du dazu noch eine Auffrischung brauchst, kannst du gerne die folgende Lösung aufklappen!

Jede Lineare Funktion lässt sich durch eine Gleichung der folgenden Form beschreiben:

$f(x) = m \cdot x + b$

(Manchmal auch $m \cdot x + n$ oder $m \cdot x + c$)

Aufgabe 3b

Wofür steht das "m" in der allgemeinen Form und wofür steht das "b"?

Das "m" und das "b" haben feste Bedeutungen:

• $m$ ist die *Steigung* (Wie steil ist die Gerade?)
• $b$ ist der *y-Achsenabschnitt* (Wo schneidet die Gerade die y-Achse?)

Punktprobe

Merke

Mit der Punktprobe können wir überprüfen, ob ein bestimmter Punkt auf einem gegebenen Graphen liegt. Zur Erinnerung: Ein Punkt setzt sich zusammen aus seinem x-Wert und seinem y-Wert, die seine genaue Position im Koordinatensystem bestimmen.

Die Punktprobe läuft wie folgt ab:

Wir wollen überprüfen, ob die Punkte P (4|11) und T (2|6) auf dem Graphen der Funktion f(x) = 2x + 3 liegen.

Man rechnet: Punkt P: f(4) = 2 × 4 + 3 = 11. Also liegt der Punkt P auf dem Graphen der Funktion f, da der y-Wert des Punktes, also 11, derselbe ist wie der Funktionswert, den man bekommt, wenn man den x-Wert des Punktes in die Funktion einsetzt.

Punkt T: f(2) = 2 × 2 + 3 = 7 ≠ 6. Also liegt der Punkt T nicht auf dem Graphen der Funktion f, da der y-Wert des Punktes, also 6, nicht derselbe ist wie der Funktionswert, den man bekommt, wenn man den x-Wert des Punktes in die Funktion einsetzt

Aufgabe 4a

Überprüfe rechnerisch, ob die Punkte P (2|1) und Q (1|-1) auf dem Graphen liegen

• f(x) = 2x - 3
• g(x) = -3x + 7
• h(x) = 0,5x - 1,5
• u(x) = 4x - 6

• P und Q liegen auf f(x)
• P liegt auf g(x), aber Q nicht
• P liegt nicht auf h(x), aber Q schon
• Weder P noch Q liegen auf u(x)

Aufgabe 4b

Wir haben eine 6,5cm lange Kerze. Ihr Abbrennen kann mit dieser Funktion beschrieben werden: f(x) = 6,5 - 0,4x. Dabei steht x für die Zeit in Minuten.

Überprüfe rechnerisch mithilfe der Punktprobe, ob die Punkte P (12|1,7) und T (14|1,5) auf dem Graphen der Funktion liegen.

Was bedeuten die Punkte im Zusammenhang mit der Kerze?

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Steigung einer linearen Funktion

- Erinnerung: Graph einer linearen Funktion hat immer die gleiche Steigung

- m berechnen (Steigungsdreieck)

- Bezug herstellen: m berechnen, um Funktionsterm bestimmen zu können

Funktionsterm bestimmen

- Vorgehen erläutern und Idee dahinter mit Bezug auf Steigung (vorherige Einheit)

- y-Achsenabschnitt

- Steigungsdreieck und y-Achsenabschnitt in Kombination, um Funktionsterm bestimmen zu können

- anhand von 2 Punkten, die auf einem Graphen liegen, den Funktionsterm bestimmen und den Graphen zeichnen

Nullstellen linearer Funktionen

- Vorgehen erläutern mit Hilfe von y-Achsenabschnitt

- Nullstellen berechnen