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Benutzer:Aslanoll2/ Lineare Funktionen 2: Unterschied zwischen den Versionen

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<!DOCTYPE html>
= Lineare Funktionen =
<html lang="de">
<head>
    <meta charset="UTF-8">
    <meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1.0">
    <title>Lernpfad: Lineare Funktionen</title>
    <style>
        /* CSS für die Gestaltung des Lernpfads */
        body {
            font-family: Arial, sans-serif;
            line-height: 1.6;
            background-color: #f4f7f9;
            color: #333;
            margin: 0;
            padding: 20px;
        }


        .container {
Willkommen zurück im Thema Lineare Funktionen! Dieser Lernpfad dient dazu, dein Wissen aufzufrischen und dich wieder fit für den Umgang mit Geraden und Gleichungen zu machen.  
            max-width: 900px;
            margin: auto;
            background: #fff;
            padding: 30px;
            border-radius: 8px;
            box-shadow: 0 4px 12px rgba(0, 0, 0, 0.1);
        }


        h1 {
Die folgenden Abschnitte helfen dir, dich zu orientieren. Wenn du dich in den Grundlagen sicher fühlst, kannst du die Wiederholung überspringen und direkt bei Punkt 3 (Punktprobe) einsteigen.
            color: #0056b3;
            border-bottom: 3px solid #0056b3;
            padding-bottom: 10px;
            margin-bottom: 30px;
        }


        h2, h3 {
__TOC__
            color: #007bff;
            margin-top: 25px;
            border-left: 5px solid #007bff;
            padding-left: 10px;
        }


        .module {
== Wiederholung (freiwillig) ==
            margin-bottom: 40px;
Hier kannst du überprüfen, ob die Grundlagen noch sitzen.
            padding: 20px;
            border: 1px solid #ddd;
            border-radius: 6px;
            background-color: #ffffff;
            transition: box-shadow 0.3s ease;
        }


        .module:hover {
=== Funktionsbegriff ===
            box-shadow: 0 0 10px rgba(0, 123, 255, 0.2);
Erinnerst du dich? Eine Funktion ist eine Zuordnung, bei der jedem Wert <math>x</math> (aus der Definitionsmenge) genau ein Wert <math>y</math> (aus der Wertemenge) zugeordnet wird.
        }


        .optional {
Man schreibt oft: <math>y = f(x)</math>.
            border: 1px dashed #ff9800; /* Orange für optionale Inhalte */
            background-color: #fffbe6;
        }


        .optional h2 {
''[Hier könntest du eine H5P-Übung einfügen: z.B. "Ist das eine Funktion?" Drag & Drop]''
            color: #ff9800;
            border-left: 5px solid #ff9800;
        }


        ul {
=== Wertetabelle ===
            list-style: none;
Um eine Funktion zu zeichnen, hilft oft eine Wertetabelle. Du setzt verschiedene <math>x</math>-Werte in die Funktionsgleichung ein und berechnest den dazugehörigen <math>y</math>-Wert.
            padding-left: 0;
        }


        li {
{| class="wikitable"
            padding: 8px 0;
|-
            border-bottom: 1px dotted #eee;
! x
        }
! Rechnung
! y
|-
| 0
| ...
| ...
|-
| 1
| ...
| ...
|}


        li:last-child {
=== Allgemeine Form linearer Funktionen ===
            border-bottom: none;
Jede lineare Funktion lässt sich durch eine Gleichung der folgenden Form beschreiben:
        }
    </style>
</head>
<body>


    <div class="container">
:<math>f(x) = m \cdot x + b</math>
        <h1>1. Lineare Funktionen: Der Lernpfad</h1>
:(Manchmal auch <math>m \cdot x + n</math> oder <math>m \cdot x + c</math>)


        <div id="wiederholung" class="module optional">
Dabei haben die Buchstaben feste Bedeutungen:
            <h2>2. 📚 Wiederholung (Freiwillig)</h2>
* '''<math>m</math>''' ist die **Steigung** (Wie steil ist die Gerade?)
            <p>Dieser Abschnitt ist optional und dient dazu, Ihr Vorwissen zu aktivieren. Wenn Sie sich sicher fühlen, können Sie direkt mit Abschnitt 3 fortfahren.</p>
* '''<math>b</math>''' ist der **y-Achsenabschnitt** (Wo schneidet die Gerade die y-Achse?)


            <ul>
----
                <li><h3>2.1 Funktionsbegriff</h3>
                    <p>Was macht eine Relation zu einer Funktion? Wiederholen Sie die Definition und die Zuordnung von $x$ zu $y$.</p>
                   
                </li>
                <li><h3>2.2 Wertetabelle</h3>
                    <p>Erinnern Sie sich, wie man aus einer Funktion $f(x)$ eine Wertetabelle erstellt und Punkte abliest.</p>
                </li>
                <li><h3>2.3 Allgemeine Form linearer Funktionen</h3>
                    <p>Welche Form hat die Gleichung einer linearen Funktion? Benennen Sie die einzelnen Parameter. (Tipp: $y = m \cdot x + b$)</p>
                </li>
            </ul>
        </div>
       
        <hr>


        <div id="punktprobe" class="module">
== Punktprobe ==
            <h2>3. 📍 Punktprobe</h2>
Liegt ein bestimmter Punkt <math>P(x|y)</math> eigentlich auf unserer Geraden? Das finden wir mit der sogenannten **Punktprobe** heraus.
            <p><strong>Lernziel:</strong> Sie können überprüfen, ob ein gegebener Punkt $P(x|y)$ auf dem Graphen einer linearen Funktion liegt.</p>
            <p><strong>Kurzinfo:</strong> Setzen Sie die Koordinaten des Punktes in die Funktionsgleichung ein. Wenn die Gleichung erfüllt ist (z.B. $5=5$), liegt der Punkt auf der Geraden.</p>
        </div>


        <div id="steigung" class="module">
**Anleitung:**
            <h2>4. ⛰️ Steigung einer linearen Funktion ($m$)</h2>
# Nimm die Koordinaten des Punktes <math>P(x|y)</math>.
            <p><strong>Lernziel:</strong> Sie können die Steigung $m$ aus zwei gegebenen Punkten oder direkt aus dem Graphen berechnen bzw. ablesen.</p>
# Setze den x-Wert für <math>x</math> und den y-Wert für <math>f(x)</math> (oder <math>y</math>) in die Gleichung ein.
            <p><strong>Formel:</strong> Die Steigung $m$ wird mit dem "Steigungsdreieck" oder der Formel berechnet:</p>
# Rechne beide Seiten aus.
            $$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$$
# Kommt auf beiden Seiten das Gleiche raus (wahre Aussage), liegt der Punkt auf der Geraden!
           
        </div>


        <div id="funktionsterm" class="module">
''[Hier könntest du eine H5P-Übung einfügen: "Liegt der Punkt P(2|5) auf f(x)=2x+1?"]''
            <h2>5. ✍️ Funktionsterm bestimmen</h2>
 
            <p><strong>Lernziel:</strong> Sie können die vollständige Funktionsgleichung $(y = m \cdot x + b)$ bestimmen, wenn:</p>
----
            <ul>
 
                <li>die Steigung $m$ und ein Punkt $P$ gegeben sind.</li>
== Steigung einer linearen Funktion ==
                <li>zwei Punkte $P_1$ und $P_2$ gegeben sind.</li>
Die Steigung <math>m</math> gibt an, um wie viele Einheiten sich der y-Wert ändert, wenn man den x-Wert um 1 erhöht.
            </ul>
 
            <p><strong>Schritte (bei 2 Punkten):</strong> 1. Steigung $m$ berechnen. 2. $m$ und einen Punkt in $y = m \cdot x + b$ einsetzen. 3. $b$ (den y-Achsenabschnitt) bestimmen.</
Um die Steigung aus einem Graphen abzulesen oder aus zwei Punkten zu berechnen, nutzen wir das **Steigungsdreieck**.
 
Die Formel lautet:
:<math>m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}</math>
 
''[Hier bitte ein Bild oder Applet einfügen, das ein Steigungsdreieck zeigt]''
 
''[Platzhalter für eine GeoGebra-Applet: "Stelle die Steigung richtig ein"]''
 
----
 
== Funktionsterm bestimmen ==
Oft hast du keinen Term gegeben, sondern nur zwei Punkte oder einen Punkt und die Steigung. Dein Ziel ist es, <math>m</math> und <math>b</math> herauszufinden.
 
**Vorgehensweise:**
# Berechne <math>m</math> (mit der Steigungsformel), falls nicht gegeben.
# Setze <math>m</math> und die Koordinaten eines Punktes <math>(x|y)</math> in die Gleichung <math>y = m \cdot x + b</math> ein.
# Löse die Gleichung nach <math>b</math> auf.
# Schreibe den fertigen Funktionsterm auf.
 
----
 
== Nullstellen linearer Funktionen ==
Die Nullstelle ist der x-Wert, an dem der Graph die x-Achse schneidet. Dort ist der y-Wert immer 0.
 
**Ansatz:**
:<math>f(x) = 0</math>
 
Setze deinen Funktionsterm gleich Null und löse nach <math>x</math> auf.
 
**Beispiel:**
:<math>2x - 4 = 0 \quad | +4</math>
:<math>2x = 4 \quad | :2</math>
:<math>x = 2</math>
 
Die Nullstelle liegt bei <math>x = 2</math>.
 
''[Hier könntest du eine Abschlussaufgabe als H5P-Quiz einfügen]''
 
Hinweise zur Gestaltung auf ZUM Unterrichten
Bilder & Diagramme: Der Abschnitt zur Steigung profitiert enorm von einer Visualisierung. Im Text oben habe ich einen Platzhalter eingefügt, aber du solltest dort idealerweise ein Steigungsdreieck visualisieren.
Wird in einem neuen Fenster geöffnet
Shutterstock
Falls du kein eigenes Bild hast, kannst du auf ZUM oft Bilder aus Wikimedia Commons direkt einbinden.
Interaktivität (H5P & GeoGebra): Ich habe im Quelltext kursiv Platzhalter geschrieben wie ''[Hier könntest du eine H5P-Übung einfügen...]''.
Auf ZUM Unterrichten fügst du H5P meistens über einen speziellen Tag ein, z.B. <h5p id="12345" />. Du müsstest diese Übungen (Lückentexte, Drag & Drop) noch erstellen oder bestehende IDs einfügen.
Das Gleiche gilt für GeoGebra-Applets (z.B. <geogebra id="d5s8f..." />).
Mathematische Formeln: Ich habe die Tags <math>...</math> verwendet. Diese sorgen dafür, dass die Formeln auf der Webseite schön als echtes mathematisches Schriftbild dargestellt werden (LaTeX-Rendering).

Version vom 10. Dezember 2025, 15:50 Uhr

Lineare Funktionen

Willkommen zurück im Thema Lineare Funktionen! Dieser Lernpfad dient dazu, dein Wissen aufzufrischen und dich wieder fit für den Umgang mit Geraden und Gleichungen zu machen.

Die folgenden Abschnitte helfen dir, dich zu orientieren. Wenn du dich in den Grundlagen sicher fühlst, kannst du die Wiederholung überspringen und direkt bei Punkt 3 (Punktprobe) einsteigen.

Wiederholung (freiwillig)

Hier kannst du überprüfen, ob die Grundlagen noch sitzen.

Funktionsbegriff

Erinnerst du dich? Eine Funktion ist eine Zuordnung, bei der jedem Wert (aus der Definitionsmenge) genau ein Wert (aus der Wertemenge) zugeordnet wird.

Man schreibt oft: .

[Hier könntest du eine H5P-Übung einfügen: z.B. "Ist das eine Funktion?" Drag & Drop]

Wertetabelle

Um eine Funktion zu zeichnen, hilft oft eine Wertetabelle. Du setzt verschiedene -Werte in die Funktionsgleichung ein und berechnest den dazugehörigen -Wert.

x Rechnung y
0 ... ...
1 ... ...

Allgemeine Form linearer Funktionen

Jede lineare Funktion lässt sich durch eine Gleichung der folgenden Form beschreiben:

(Manchmal auch oder )

Dabei haben die Buchstaben feste Bedeutungen:

  • ist die **Steigung** (Wie steil ist die Gerade?)
  • ist der **y-Achsenabschnitt** (Wo schneidet die Gerade die y-Achse?)

Punktprobe

Liegt ein bestimmter Punkt eigentlich auf unserer Geraden? Das finden wir mit der sogenannten **Punktprobe** heraus.

    • Anleitung:**
  1. Nimm die Koordinaten des Punktes .
  2. Setze den x-Wert für und den y-Wert für (oder ) in die Gleichung ein.
  3. Rechne beide Seiten aus.
  4. Kommt auf beiden Seiten das Gleiche raus (wahre Aussage), liegt der Punkt auf der Geraden!

[Hier könntest du eine H5P-Übung einfügen: "Liegt der Punkt P(2|5) auf f(x)=2x+1?"]

Steigung einer linearen Funktion

Die Steigung gibt an, um wie viele Einheiten sich der y-Wert ändert, wenn man den x-Wert um 1 erhöht.

Um die Steigung aus einem Graphen abzulesen oder aus zwei Punkten zu berechnen, nutzen wir das **Steigungsdreieck**.

Die Formel lautet:

[Hier bitte ein Bild oder Applet einfügen, das ein Steigungsdreieck zeigt]

[Platzhalter für eine GeoGebra-Applet: "Stelle die Steigung richtig ein"]

Funktionsterm bestimmen

Oft hast du keinen Term gegeben, sondern nur zwei Punkte oder einen Punkt und die Steigung. Dein Ziel ist es, und herauszufinden.

    • Vorgehensweise:**
  1. Berechne (mit der Steigungsformel), falls nicht gegeben.
  2. Setze und die Koordinaten eines Punktes in die Gleichung ein.
  3. Löse die Gleichung nach auf.
  4. Schreibe den fertigen Funktionsterm auf.

Nullstellen linearer Funktionen

Die Nullstelle ist der x-Wert, an dem der Graph die x-Achse schneidet. Dort ist der y-Wert immer 0.

    • Ansatz:**

Setze deinen Funktionsterm gleich Null und löse nach auf.

    • Beispiel:**

Die Nullstelle liegt bei .

[Hier könntest du eine Abschlussaufgabe als H5P-Quiz einfügen]

Hinweise zur Gestaltung auf ZUM Unterrichten Bilder & Diagramme: Der Abschnitt zur Steigung profitiert enorm von einer Visualisierung. Im Text oben habe ich einen Platzhalter eingefügt, aber du solltest dort idealerweise ein Steigungsdreieck visualisieren. Wird in einem neuen Fenster geöffnet Shutterstock Falls du kein eigenes Bild hast, kannst du auf ZUM oft Bilder aus Wikimedia Commons direkt einbinden. Interaktivität (H5P & GeoGebra): Ich habe im Quelltext kursiv Platzhalter geschrieben wie [Hier könntest du eine H5P-Übung einfügen...]. Auf ZUM Unterrichten fügst du H5P meistens über einen speziellen Tag ein, z.B. <h5p id="12345" />. Du müsstest diese Übungen (Lückentexte, Drag & Drop) noch erstellen oder bestehende IDs einfügen. Das Gleiche gilt für GeoGebra-Applets (z.B. <geogebra id="d5s8f..." />). Mathematische Formeln: Ich habe die Tags verwendet. Diese sorgen dafür, dass die Formeln auf der Webseite schön als echtes mathematisches Schriftbild dargestellt werden (LaTeX-Rendering).

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