Übungen Funktionsuntersuchung

Aufgabe 1

Untersuche die Funktion auf Symmetrie. Bestimme die Schnittpunkte mit den Achsen, ggf. das Verhalten an den Definitionslücken, das Verhalten im Unendlichen und die Extrema. Skizziere anschließend $G_f$.

a) $f(x)= \frac{1}{2}x^3-4x^2+8x$

b) $f(x)= \frac{4+x^2}{x^2-9}$

c) $f(x)= \frac{1}{6}(x+1)^2(x-2)$

d) $f(x)= \frac{x^2-4}{x^2+1}$

e) $f(x)= 2-\frac{5}{2}x^2+x^4$

Überprüfe deine Ergebnisse eigenständig mithilfe von GeoGebra

Hier gibt's die Lösung

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Aufgabe 2

Untersuche die Funktion f soweit, dass du den Graphen skizzieren kannst. Bestimme anschließend die Gleichung der Tangente an den Graphen $G_f$, die parallel zur Gerade $g$ verläuft.

a) $f(x)=-2x^2+12x-10$; $g(x)=-4x+6$

b) $f(x)=x^3+10x+4$; $g(x)=x+8$

Zwei Geraden sind parallel, wenn sie die gleiche Steigung haben.

Die Steigung der Tangenten in einem Punkt, entspricht der Steigung des Graphen, also der Ableitung, in diesem Punkt.

Hier gibt's die Lösung

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Aufgabe 3

Betrachtet werden die Funktionen $f_1(x)=x^3-x^2+3x$ $f_1(x)=x^3-3x^2+3x$ $f_1(x)=x^3-4x^2+3x$

a) Stelle den Parameter a jeweils so ein, dass du $f_1, f_2$ bzw. $f_3$ erhältst. Vergleiche die Anzahl der Extrema der drei Funktionen.

b) Alle drei Funktionsterme haben die Form $f_a(x)=x^3+ax^2+3x$. Für welche Parameterwerte a $a \in \R$besitzen die Funktionen, die diese Form haben, zwei Extrema, ein bzw. kein Extremum?

Beweise deine Überlegung auch rechnerisch.

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