Einführung in die Integralrechnung: Unterschied zwischen den Versionen
Aus ZUM-Unterrichten
Keine Bearbeitungszusammenfassung Markierung: 2017-Quelltext-Bearbeitung |
Keine Bearbeitungszusammenfassung |
||
| (37 dazwischenliegende Versionen von 4 Benutzern werden nicht angezeigt) | |||
| Zeile 2: | Zeile 2: | ||
Einige Übungen sind dem gleichnamigen Lernpfad [http://www.austromath.at/medienvielfalt/materialien/int_einfuehrung/lernpfad/ Einführung in die Integralrechnung] der österreichischen Arbeitsgruppe [http://www.austromath.at/medienvielfalt/ Medienvielfalt im Mathematikunterricht] entnommen, die aus einer Kooperation von [http://www.mathe-online.at/ mathe-online] und [http://www.geogebra.at GeoGebra] entstanden ist. | Einige Übungen sind dem gleichnamigen Lernpfad [http://www.austromath.at/medienvielfalt/materialien/int_einfuehrung/lernpfad/ Einführung in die Integralrechnung] der österreichischen Arbeitsgruppe [http://www.austromath.at/medienvielfalt/ Medienvielfalt im Mathematikunterricht] entnommen, die aus einer Kooperation von [http://www.mathe-online.at/ mathe-online] und [http://www.geogebra.at GeoGebra] entstanden ist. | ||
[[Datei:Logo Mathematik-digital 2011.png|200px|right|verweis=Mathematik-digital]] | |||
'''Materialien:'''{{pdf|Infini_AB1.pdf|Das bestimmte Integral}}; {{pdf|Infini AB02.pdf|Aufgaben mit Lösung}}; {{pdf|Infini_AB7.pdf|Integralfunktion}}|Lernpfad}} | |||
__NOTOC__ | __NOTOC__ | ||
==Das Flächenproblem== | ==Das Flächenproblem== | ||
{{Box|Idee| | |||
{| | [[Bild:Integral Grundstück.png|200px|right]] | ||
Ziel der folgenden Überlegungen ist es, ein Verfahren zu entwickeln, mit dem Flächeninhalte von krummlinig begrenzten Flächen berechnet werden können. | |||
*Wie groß ist der [http://www.austromath.at/medienvielfalt/materialien/int_einfuehrung/lernpfad/content/wasserverbrauch.htm Wasserverbrauch]? | *Wie groß ist der [http://www.austromath.at/medienvielfalt/materialien/int_einfuehrung/lernpfad/content/wasserverbrauch.htm Wasserverbrauch]? | ||
*Wie groß ist der [http://www.austromath.at/medienvielfalt/materialien/int_einfuehrung/lernpfad/content/Grundstueck.htm Flächeninhalt des Grundstücks]? | *Wie groß ist der [http://www.austromath.at/medienvielfalt/materialien/int_einfuehrung/lernpfad/content/Grundstueck.htm Flächeninhalt des Grundstücks]? | ||
|} | |||
|Hervorhebung2}} | |||
==Unter- und Obersumme== | ==Unter- und Obersumme== | ||
| Zeile 22: | Zeile 23: | ||
<div class="grid"> | <div class="grid"> | ||
<div class="width-1-2">Informiere dich in dem Video wie man mit der Untersumme und Obersumme die Fläche zwischen einem Graphen und der x-Achse bestimmen kann? | <div class="width-1-2">Informiere dich in dem Video wie man mit der Untersumme und Obersumme die Fläche zwischen einem Graphen und der x-Achse bestimmen kann? | ||
</div> | </div> | ||
<div class="width-1-2">{{# | <div class="width-1-2">{{#ev:youtube|2bW8Zr7oTlY|460}}</div> | ||
}}</div> | |||
</div> | </div> | ||
|3=Unterrichtsidee }} | |3=Unterrichtsidee }} | ||
| Zeile 35: | Zeile 35: | ||
#Berechne die zugehörige Ober- und Untersumme. | #Berechne die zugehörige Ober- und Untersumme. | ||
#Gib auch das arithmetische Mittel von Ober- und Untersumme als Näherungswert für die Fläche unter dem Funktionsgraphen an.|3=Üben}} | #Gib auch das arithmetische Mittel von Ober- und Untersumme als Näherungswert für die Fläche unter dem Funktionsgraphen an.|3=Üben}} | ||
<div class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Lösungsvorschläge anzeigen" data-collapsetext="Lösungsvorschläge verbergen"> | <div class="loesung-verstecken mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Lösungsvorschläge anzeigen" data-collapsetext="Lösungsvorschläge verbergen"> | ||
{| class="wikitable" | {| class="wikitable" | ||
|- | |- | ||
| x || 0 || 0,5 || 1 || 1,5 ||2 || 2,5 || 3 || 3,5 || 4 | |x||0||0,5||1||1,5||2||2,5||3||3,5||4 | ||
|- | |- | ||
| f(x) || 0 | |f(x)||0||0,0625||0,25||0,5625||1||1,5625||2,25||3,0625||4 | ||
|} | |} | ||
| Zeile 51: | Zeile 51: | ||
'''Mittelwert: 5,375''' | '''Mittelwert: 5,375''' | ||
</div> | </div> | ||
{{Box|1=Aufgabe 2|2= Gegeben ist die Funktion f(x) = 0.5 x². | {{Box|1=Aufgabe 2|2= Gegeben ist die Funktion f(x) = 0.5 x². | ||
#Zerlege das Intervall [0;1] mit dem Schieberegler in gleichlange Teilintervalle und bestimme die zugehörige Ober- und Untersumme mit dem Applet. | #Zerlege das Intervall [0;1] mit dem Schieberegler in gleichlange Teilintervalle und bestimme die zugehörige Ober- und Untersumme mit dem Applet. | ||
<ggb_applet width="648" height="588" version="4.4" | <ggb_applet width="648" height="588" version="4.4" id="kj3t88nw" enableRightClick="false" showAlgebraInput="false" enableShiftDragZoom="true" showMenuBar="false" showToolBar="false" showToolBarHelp="true" enableLabelDrags="false" showResetIcon="true" /> | ||
|3=Üben}} | |3=Üben}} | ||
==Das bestimmte Integral== | ==Das bestimmte Integral== | ||
{{Box|1=Arbeitsaufträge|2= | |||
*Informiere dich im {{pdf|Infini_AB1.pdf|Arbeitsblatt "Das bestimmte Integral"}} über die Definition des Begriffs "bestimmtes Integral". | *Informiere dich im {{pdf|Infini_AB1.pdf|Arbeitsblatt "Das bestimmte Integral"}} über die Definition des Begriffs "bestimmtes Integral". | ||
*Auf dem {{pdf|Infini AB02 ohne Lösung.pdf|Arbeitsblatt}} sind für einige einfache Funktionen die bestimmten Integrale über dem Intervall [a;b] angegeben. Finde anschauliche Erklärungen für die Herleitung und berechne die bestimmten Integrale für die angegeben Werte! {{pdf|Infini AB02L.pdf|Lösung}} | *Auf dem {{pdf|Infini AB02 ohne Lösung.pdf|Arbeitsblatt}} sind für einige einfache Funktionen die bestimmten Integrale über dem Intervall [a;b] angegeben. Finde anschauliche Erklärungen für die Herleitung und berechne die bestimmten Integrale für die angegeben Werte! {{pdf|Infini AB02L.pdf|Lösung}} | ||
*Berechne: <math>\int_{0}^{3}(x^2-2x-3)\, \mathrm{d}x</math>; <math>\int_{1}^{4}(x^2-2x-3)\, \mathrm{d}x</math>; <math>\int_{4}^{1}(x^2-2x-3)\, \mathrm{d}x</math> | *Berechne: <math>\int_{0}^{3}(x^2-2x-3)\, \mathrm{d}x</math>; <math>\int_{1}^{4}(x^2-2x-3)\, \mathrm{d}x</math>; <math>\int_{4}^{1}(x^2-2x-3)\, \mathrm{d}x</math> | ||
*Überprüfe die Lösung mit folgendem {{Ggb|LP_best_Int.ggb|Applet}}, in dem du mit Hilfe der Schieberegler die Integrationsgrenzen anpasst! | *Überprüfe die Lösung mit folgendem {{Ggb|LP_best_Int.ggb|Applet}}, in dem du mit Hilfe der Schieberegler die Integrationsgrenzen anpasst! | ||
|3=Arbeitsmethode}} | |||
==Flächenberechnung== | ==Flächenberechnung== | ||
{{Box|1=Achtung Flächenbilanz|2= | |||
*Erkläre den Unterschied zwischen dem Wert des bestimmten Integrals und dem [http://www.geogebra.org/de/upload/files/dynamische_arbeitsblaetter/lwolf/orientierteflaeche/flaeche.html | <div class="grid"> | ||
< | <div class="width-1-2"> | ||
*Erkläre den Unterschied zwischen dem Wert des bestimmten Integrals und dem Flächeninhalt zwischen Graph und x-Achse. | |||
*Verwende dazu [http://www.geogebra.org/de/upload/files/dynamische_arbeitsblaetter/lwolf/orientierteflaeche/flaeche.html '''dieses Applet''']! | |||
*Informiere dich im Video über '''Bestimmtes Integral, Flächenbilanz, Fläche über/unter der x-Achse'''. | |||
</div> | |||
<div class="width-1-2"> | |||
{{#ev:youtube|lP1sALCSxQs|460}}</div> | |||
</div> | |||
|3=Unterrichtsidee}} | |||
==Integralfunktion== | ==Integralfunktion== | ||
{{Box|Aufgabe 4| | |||
#die Berechnung eines Integrals als Grenzwert von Unter- bzw. Obersumme ist aufwendig. Einfacher geht die Bestimmung mit der Integralfunktion. | |||
#Betrachte im Applet die Integralfunktion | |||
#Bearbeite als Zusammmenfassung das {{pdf|Infini_AB7.pdf|Arbeitsblatt "Die Integralfunktion"}} | |||
== | <ggb_applet id="zz6vp32p" width="1200" height="568" /> | ||
|Üben}} | |||
[[Kategorie:Mathematik]] | [[Kategorie:Mathematik]] | ||
[[Kategorie:Mathematik-digital]] | [[Kategorie:Mathematik-digital]] | ||
| Zeile 98: | Zeile 94: | ||
[[Kategorie:Lernpfad]] | [[Kategorie:Lernpfad]] | ||
[[Kategorie:Interaktive Übung]] | [[Kategorie:Interaktive Übung]] | ||
[[Kategorie: | {{DEFAULTSORT:Integralrechnung}} | ||
[[Kategorie:Analysis]] | |||
Aktuelle Version vom 24. April 2022, 10:27 Uhr
Lernpfad
In diesem Lernpfad können die Schüler die grundlegenden Zusammenhänge der Integralrechnung anhand vieler interaktiver Übungen entdecken.
Einige Übungen sind dem gleichnamigen Lernpfad Einführung in die Integralrechnung der österreichischen Arbeitsgruppe Medienvielfalt im Mathematikunterricht entnommen, die aus einer Kooperation von mathe-online und GeoGebra entstanden ist.
Das bestimmte Integral; Aufgaben mit Lösung; Integralfunktion
Das Flächenproblem
Idee
Ziel der folgenden Überlegungen ist es, ein Verfahren zu entwickeln, mit dem Flächeninhalte von krummlinig begrenzten Flächen berechnet werden können.
- Wie groß ist der Wasserverbrauch?
- Wie groß ist der Flächeninhalt des Grundstücks?
Unter- und Obersumme
Begriffsklärung
Informiere dich in dem Video wie man mit der Untersumme und Obersumme die Fläche zwischen einem Graphen und der x-Achse bestimmen kann?
Aufgabe 1
Gegeben ist die Funktion f(x) = 0.25 x². 
- Zerlege das Intervall [0;4] in 8 gleichlange Teilintervalle und skizziere den Graphen und die Rechtecke in dein Heft.
- Berechne die zugehörige Ober- und Untersumme.
- Gib auch das arithmetische Mittel von Ober- und Untersumme als Näherungswert für die Fläche unter dem Funktionsgraphen an.
| x | 0 | 0,5 | 1 | 1,5 | 2 | 2,5 | 3 | 3,5 | 4 |
| f(x) | 0 | 0,0625 | 0,25 | 0,5625 | 1 | 1,5625 | 2,25 | 3,0625 | 4 |
Für den Flächeninhalt der Obersumme gilt:
S = f (0,5) 0,5 + f (1) 0,5 + .....f (4) 0,5 = 0,5 f(0,5) + f(1) + ...f (4) = 6,375
Für den Flächeninhalt der Untersumme gilt:
s = f (0) 0,5 + f (0,5) 0,5 + .....f (3,5) 0,5 = 4,375
Mittelwert: 5,375
Aufgabe 2
Gegeben ist die Funktion f(x) = 0.5 x².
- Zerlege das Intervall [0;1] mit dem Schieberegler in gleichlange Teilintervalle und bestimme die zugehörige Ober- und Untersumme mit dem Applet.
Das bestimmte Integral
Arbeitsaufträge
- Informiere dich im Arbeitsblatt "Das bestimmte Integral" über die Definition des Begriffs "bestimmtes Integral".
- Auf dem Arbeitsblatt sind für einige einfache Funktionen die bestimmten Integrale über dem Intervall [a;b] angegeben. Finde anschauliche Erklärungen für die Herleitung und berechne die bestimmten Integrale für die angegeben Werte! Lösung
- Berechne: ; ;
- Überprüfe die Lösung mit folgendem
Applet, in dem du mit Hilfe der Schieberegler die Integrationsgrenzen anpasst!
Flächenberechnung
Achtung Flächenbilanz
- Erkläre den Unterschied zwischen dem Wert des bestimmten Integrals und dem Flächeninhalt zwischen Graph und x-Achse.
- Verwende dazu dieses Applet!
- Informiere dich im Video über Bestimmtes Integral, Flächenbilanz, Fläche über/unter der x-Achse.
Integralfunktion
Aufgabe 4
- die Berechnung eines Integrals als Grenzwert von Unter- bzw. Obersumme ist aufwendig. Einfacher geht die Bestimmung mit der Integralfunktion.
- Betrachte im Applet die Integralfunktion
- Bearbeite als Zusammmenfassung das Arbeitsblatt "Die Integralfunktion"
