Jahrgangsstufentest/BMT8 2007

Test und Lösungshinweise zum Download

Aufgabe 1

Für eine Ausstellung über Bayern soll auf einem großen Werbebanner die Statue der Bavaria abgebildet werden. Als Bildmotiv wird nebenstehendes Foto so vergrößert, dass es 20 m hoch ist.

Welche Gesamthöhe hat dann die Statue auf dem Werbebanner (ohne Sockel gemessen, Ergebnis auf Meter genau)?

Der Lösungsweg muss nachvollziehbar sein.

Die Statue hat dann eine Gesamthöhe von 16m.

Möglicher Lösungsweg:

Man misst die Höhe des Fotos (z.B. 5cm) und der Statue auf dem Foto ohne Sockel (z.B. 4cm).

Die Höhe der Statue auf dem Foto entspricht also $\frac{4}{5}$ der Höhe des Fotos.

Damit entspricht auch die Höhe der Statue auf dem Banner $\frac{4}{5}$ der Höhe des Banners:

$h_{Statue} = \frac{4}{5}\cdot h_{Banner} = \frac{4}{5}\cdot 20m = 16m$

Aufgabe 2a

Die Tabelle zeigt für einen bayerischen Landkreis die prozentuale Verteilung der Schülerinnen und Schüler in der Jahrgangsstufe 8 auf die einzelnen Schularten im Schuljahr 2005/06.

Diese Verteilung soll in nebenstehendem Kreisdiagramm veranschaulicht werden; die Sektoren für die Hauptschule und die Realschule sind bereits eingetragen.

Ergänze im Diagramm die beiden fehlenden Sektoren und beschrifte sie.

Hinweis für die Online-Version: Du kannst dein Vorgehen auch beschreiben.

Erläuterung:

Die "sonstige Schularten" machen 10% aus. Dies entspricht im Kreisdiagramm einem Kreissektor mit einem Mittelpunktswinkel von 36°.

Aufgabe 2b

Die vier Sektoren des vollständigen Kreisdiagramms sollen mit den vier Farben Blau, Grün, Orange und Rot gefüllt werden, jeder in einer anderen Farbe. Wie viele unterschiedliche Farbgebungen sind möglich?

(!4 · 4 · 4 · 4 = 256) (4 · 3 · 2 · 1 = 24) (!4 + 3 + 2 +1 = 10) (!4 · 4 = 16)

Aufgabe 3

Wandle jeweils in die in Klammern angegebene Einheit um.

• 4,35 km (m)

• 450 g (kg)

• 3500 cm² (dm²)

• eine Viertelstunde (s)

• 4,35 km = 4350 m
• 450 g = 0,45 kg
• 3500 cm² = 35dm²
• eine Viertelstunde = 900s

Aufgabe 4a

Konstruiere die Mittelsenkrechte der Strecke [AB] und zeichne den Kreis, der [AB] als Durchmesser hat.

Zeichne zwei Kreise mit den Mittelpunkten A und B und dem selben Radius. Die Gerade durch die beiden Schnittpunkte der Kreise ist die gesuchte Mittelsenkrechte.

Der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten mit der Strecke [AB] ist der Mittelpunkt des Kreises, der [AB] als Durchmesser hat.

   

Aufgabe 4b

C ist derjenige Schnittpunkt von Mittelsenkrechte und Kreis, der oberhalb der Strecke [AB] liegt. Das Dreieck ABC ist dann gleichschenklig, weil C auf der Mittelsenkrechten von [AB] liegt, und deshalb von A und B gleich weit entfernt ist. Begründe, dass das Dreieck ABC auch rechtwinklig ist.

Dreieck ABC ist rechtwinklig bei C, weil C auf dem Thaleskreis über [AB] liegt.

Aufgabe 4c

Es gilt:

In jedem gleichschenklig-rechtwinkligen Dreieck zerlegt die Mittelsenkrechte der Basis das Dreieck in zwei kongruente Teildreiecke.

Kreuze an, welche der folgenden Argumentationen richtig sind.

Die zwei Teildreiecke sind kongruent, ... (...weil die Mittelsenkrechte Symmetrieachse des gleichschenklig-rechtwinkligen Dreiecks ist.) (!...weil man zeigen kann, dass die Teildreiecke in allen drei Winkeln übereinstimmen und Dreiecke, die in allen drei Winkeln übereinstimmen, immer kongruent sind.) (...weil man zeigen kann, dass die Teildreiecke in allen drei Seiten übereinstimmen und Dreiecke, die in allen drei Seiten übereinstimmen, immer kongruent sind.) (!...weil man zeigen kann, dass die Flächeninhalte der Teildreiecke gleich groß sind und Dreiecke, die den gleichen Flächeninhalt besitzen, immer kongruent sind.)

Aufgabe 5a

Berechne den Wert des Terms $\left(\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{5} - \frac{1}{3}\right) : 0,5$

Der Wert des Terms beträgt $\textstyle\frac{8}{15}$.

möglicher Rechenweg:

$\left(\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{5} - \frac{1}{3}\right) : 0,5 = \left(\frac{3}{5} - \frac{1}{3}\right) : 0,5 = \left(\frac{9}{15} - \frac{5}{15}\right) : 0,5 = \frac{4}{15} : 0,5 = \frac{4}{15} : \frac{1}{2} = \frac{4}{15} \cdot 2 = \frac{8}{15}$

Aufgabe 5b

Durch welche Zahl muss man die Zahl 0,5 im obigen Term ersetzen, damit man den doppelten Termwert erhält?

0,5 muss durch 0,25 ersetzt werden.

Begründung:

Wird bei einem Quotienten der Divisor halbiert, so verdoppelt sich der Wert des Quotienten.

Aufgabe 6a

Im Jahr 2006 hat die Deutsche Bahn zwischen Nürnberg und Ingolstadt eine 89 km lange ICE – Hochgeschwindigkeitsstrecke in Betrieb genommen. Frau Dorn, die regelmäßig mit dem Zug von Nürnberg nach Ingolstadt fährt, stellt fest: „Für mich verkürzte sich die Fahrzeit von 70 Minuten auf 28 Minuten.“

Um wie viel Prozent verkürzte sich die Fahrzeit von Frau Dorn?

Die Fahrzeit verkürzte sich um 60 %.

möglicher Rechenweg:

Die Fahrzeit verkürzte sich um 42 Minuten.

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle \frac{42}{70} = \frac{6}{10} = 60%}

Aufgabe 6b

Welcher Term beschreibt die Durchschnittsgeschwindigkeit in km/h, die der ICE auf der Hochgeschwindigkeitsstrecke besitzt?

(!$\frac{28}{89} \cdot 60$) (!$\frac{89}{28} \cdot 3,6$) ($\frac{89}{28} \cdot 60$) (!$\frac{89}{0,28}$)

Aufgabe 7a

Multipliziere aus und vereinfache:

$\left(a - b\right) \cdot \left(a - 2b\right) + 1,5 ab$

a ² - 1,5 ab + 2 b²

möglicher Lösungsweg:

$\left(a - b\right) \cdot \left(a - 2b\right) + 1,5 ab = a^2 - 2 ab - ab + 2 b^2 + 1,5 ab = a^2 - 1,5 ab + 2 b^2$

Aufgabe 7b

Vereinfache so weit wie möglich:

$\left( -x \right) ^2 \cdot x + x^3$

2x³

möglicher Lösungsweg:

$\left( -x \right) ^2 \cdot x + x^3 = x^2 \cdot x + x^3 = x^3 + x^3 = 2x^3$

Aufgabe 8

Berechne den Flächeninhalt des abgebildeten Vierecks ABCD.

Der Flächeninhalt des Viereck beträgt 12 FE bzw. 12 cm².

möglicher Lösungsweg:

Zerlege das Viereck (Trapez) in zwei rechtwinklige Dreiecke und ein Rechteck. Ihr Flächeninhalt lässt sich leicht aus der Grafik entnehmen bzw. über leicht abzulesende Seitenlängen berechnen.

Berechnung des Flächeninhalts:

A_Trapez = A_{D 1} + A_R + A_{D 2} = 1,5 + 6 + 4,5 = 12

Aufgabe 9

In Rechtecke der Länge 5 cm und der Breite 2 cm wird jeweils ein rechteckiges Loch so geschnitten, dass rundum ein Randstreifen bleibt.

Mögliche Figuren sind z. B.: oder

Nicht erlaubt sind z. B.: oder

Gib zwei Möglichkeiten an, wie lang und breit solch ein Loch sein kann, wenn der Flächeninhalt des Lochs genauso groß sein soll wie der Flächeninhalt der Restfläche.

mögliche Lösungen sind z.B. 1 = 4cm und b = 1,25 cm oder 1 = 3cm und b = 5/3 cm

Erläuterung:

Das Rechteck hat einen Flächeninhalt von 10 cm². Da die Flächeninhalte des rechteckigen Lochs und der Restfläche gleich groß sein sollen, beträgt der Flächeninhalt des Lochs 5 cm². Für die Länge und die Breite des Lochs wählt man daher Werte, deren Produkt 5 cm² ergibt, mit der Einschränkung, dass die Länge kleiner als 5 cm und die Breite kleiner als 2 cm ist (da rundum ein Randstreifen übrig bleiben soll).