Quadratische Funktionen/Die Normalform h(x): Unterschied zwischen den Versionen

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{{Lernpfad-M|<big>'''Die Normalform "f(x) <math>=</math> x<sup>2</sup> + bx + c"'''</big>
{{Lernpfad|Titel=Die Normalform "f(x) <math>=</math> x<sup>2</sup> + bx + c"
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In diesem Lernpfad lernst du die Normalform kennen! Bearbeite den unten aufgeführten Lernpfad!


 
* Von der Scheitelpunkts- zur Normalform
'''In diesem Lernpfad lernst du die Normalform kennen! Bearbeite den unten aufgeführten Lernpfad!'''
* Von der Normal- zur Scheitelpunktsform
 
*'''Von der Scheitelpunkts- zur Normalform'''
*'''Von der Normal- zur Scheitelpunktsform'''
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Im letzten Lernpfad hast du die '''Scheitelpunktsform "f(x) = (x - x<sub>s</sub>)<sup>2</sup> + y<sub>s</sub>"''' kennen gelernt. Man kann die Scheitelpunktsform umformen und erhält dann die '''Normalform f(x) <math>=</math> x<sup>2</sup> + bx + c'''. Wir wollen im Folgenden betrachten, wie man von der Scheitelpunkts- zur Normalform von der Normal- zur Scheitelpunktsform gelangt.  
Im letzten Lernpfad hast du die '''Scheitelpunktsform "f(x) = (x - x<sub>s</sub>)<sup>2</sup> + y<sub>s</sub>"''' kennen gelernt. Man kann die Scheitelpunktsform umformen und erhält dann die '''Normalform "f(x) <math>=</math> x<sup>2</sup> + bx + c"'''. Wir wollen im Folgenden betrachten, wie man von der Scheitelpunkts- zur Normalform und von der Normal- zur Scheitelpunktsform gelangt.  




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Im Moment erkennt man noch kein Muster zwischen der Scheitelpunktsform "f(x) <math>=</math> (x - x<sub>s</sub>)<sup>2</sup> + y<sub>s</sub>" und der Normalform "f(x) <math>=</math> x<sup>2</sup> + bx + c".
Im Moment erkennt man noch kein Muster zwischen der '''Scheitelpunktsform "f(x) <math>=</math> (x - x<sub>s</sub>)<sup>2</sup> + y<sub>s</sub>"''' und der '''Normalform "f(x) <math>=</math> x<sup>2</sup> + bx + c"'''.


Da die Umformung von der Scheitelpunkts- zur Normalform nicht besonders schwer ist, wirst du diese in der folgenden Aufgabe gleich selbst durchführen!
Da die Umformung von der Scheitelpunkts- zur Normalform nicht besonders schwer ist, wirst du diese in der folgenden Aufgabe gleich selbst durchführen!
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<big>'''Aufgabe:'''</big>
<big>'''Aufgabe:'''</big>


Du hast die Scheitelpunktsform "f(x) <math>=</math> (x - 4)<sup>2</sup> + 5" gegeben.  
Du hast die Scheitelpunktsform '''"f(x) <math>=</math> (x - 4)<sup>2</sup> + 5"''' gegeben.  
Diese Form soll nun durch '''ausmultiplizieren''' und '''zusammenfassen''' der Terme <br>
Diese Form soll nun durch '''"Ausmultiplizieren"''' und '''"Zusammenfassen"''' der Terme <br>
auf die Form "f(x) <math>=</math> x<sup>2</sup> + bx + c" gebracht werden.
auf die Form '''"f(x) <math>=</math> x<sup>2</sup> + bx + c"''' gebracht werden.


Du hast die einzelnen Terme vorgegeben, bring sie in die richtige Reihenfolge!
Du hast die einzelnen Terme vorgegeben, bring sie in die richtige Reihenfolge!
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| || <u>  </u> || <u>  Von der Scheitelpunktsform zur Normalform  </u>
| ||<u>  </u>||<u>  Von der Scheitelpunktsform zur Normalform  </u>
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| 1. || y<math>=</math> || [x - x<sub>s</sub>]<sup>2</sup> + y<sub>s</sub> <br>  
|1.||y<math>=</math>||[x - x<sub>s</sub>]<sup>2</sup> + y<sub>s</sub> <br>
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| 2. || y<math>=</math> || <strong> [x - 4]<sup>2</sup> + 5 </strong> <br>  
|2.||y<math>=</math>||<strong> [x - 4]<sup>2</sup> + 5 </strong> <br>
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| 3. || y<math>=</math> || <strong> [x<sup>2</sup> - 8x + 16] + 5 </strong> <br>  
|3.||y<math>=</math>||<strong> [x<sup>2</sup> - 8x + 16] + 5 </strong> <br>
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| 4. || y<math>=</math> || <strong> x<sup>2</sup> - 8x + 21 </strong> <br>  
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| 5. || y<math>=</math> || <strong> x<sup>2</sup> + bx + c  </strong> <br>  
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{{Merke|
{{Merke|
Die Normalform "f(x) <math>=</math> x<sup>2</sup> + bx + c" entsteht aus der Scheitelpunktsform "f(x) <math>=</math> (x - x<sub>s</sub>)<sup>2</sup> + y<sub>s</sub>" durch '''ausmultiplizieren''' und '''zusammenfassen''' der Terme. <br>
Die Normalform '''"f(x) <math>=</math> x<sup>2</sup> + bx + c"''' entsteht aus der Scheitelpunktsform '''"f(x) <math>=</math> (x - x<sub>s</sub>)<sup>2</sup> + y<sub>s</sub>"''' durch '''"Ausmultiplizieren"''' und '''"Zusammenfassen"''' der Terme. <br>
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Diese Umformung ist etwas schwieriger, aber du kennst sie von früher!
Diese Umformung ist etwas schwieriger, aber du kennst sie bereits von früher!


In der letzten Lerneinheit hast du erfahren, welche Eigenschaften die Scheitelpunktsform hat.  
In der letzten Lerneinheit hast du erfahren, welche Eigenschaften die Scheitelpunktsform hat.  
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Bei der Normalform "f(x) = x<sup>2</sup> + bx + c" ist das nicht so einfach und wir wollen
Bei der Normalform "f(x) = x<sup>2</sup> + bx + c" ist das nicht so einfach und wir wollen
deshalb lernen, wie man die Normalform in die Scheitelpunktsform überführt.  
deshalb lernen, wie man die Normal- in die Scheitelpunktsform umformt.  


Keine Angst, die Vorgehensweise ist dir bekannt, sie nennt sich '''quadratische Ergänzung''' und du hast sie bei der Extremwertbestimmung kennen gelernt.  
Keine Angst, die Vorgehensweise ist dir bekannt, sie nennt sich '''quadratische Ergänzung''' und du hast sie bei der Extremwertbestimmung kennen gelernt.  
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| || <u> Verfahren  </u> || <u>  Beispiel  </u>
| ||<u> Verfahren  </u>||<u>  Beispiel  </u>
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| 1. || Normalform der Parabel: || <strong> y <math>=</math> x<sup>2</sup> + 6x + 11 </strong>  
|1.||Normalform der Parabel:||<strong> y <math>=</math> x<sup>2</sup> + 6x + 11 </strong>
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| 2. || Vergleich mit a<sup>2</sup> + 2ab + b<sup>2</sup>: || <strong> y <math>=</math> x<sup>2</sup> + 2<math>\cdot</math> x <math>\cdot</math> 3 + 11 </strong>  
|2.||Vergleich mit a<sup>2</sup> + 2ab + b<sup>2</sup>:||<strong> y <math>=</math> x<sup>2</sup> + 2<math>\cdot</math> x <math>\cdot</math> 3 + 11 </strong>
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| 3. || Quadratische Ergänzung: || <strong> y <math>=</math> x<sup>2</sup> + 6x + 3<sup>2</sup> - 3<sup>2</sup> + 11 </strong>  
|3.||Quadratische Ergänzung:||<strong> y <math>=</math> x<sup>2</sup> + 6x + 3<sup>2</sup> - 3<sup>2</sup> + 11 </strong>
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| 4. || Scheitelpunktsform: || <strong> y<math>=</math> [x + 3]<sup>2</sup> + 2 </strong> ||  
|4.||Scheitelpunktsform:||<strong> y<math>=</math> [x + 3]<sup>2</sup> + 2 </strong>||
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| 5. || Scheitelkoordinaten: || <strong> S[-3; 2] </strong>  
|5.||Scheitelkoordinaten:||<strong> S <math>[-3|2]</math> </strong>
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{{Merke|
{{Merke|
Man gelangt mittels '''quadratischer Ergänzung''' von der Normalform "f(x) <math>=</math> x<sup>2</sup> + bx + c" zur Scheitelpunktsform "f(x) <math>=</math> (x - x<sub>s</sub>)<sup>2</sup> + y<sub>s</sub>".<br>
Man gelangt mittels '''quadratischer Ergänzung''' von der Normalform '''"f(x) <math>=</math> x<sup>2</sup> + bx + c"''' zur Scheitelpunktsform '''"f(x) <math>=</math> (x - x<sub>s</sub>)<sup>2</sup> + y<sub>s</sub>"'''.<br>
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<big>'''Aufgabe: Zuordnung - Gruppe'''</big>
<big>'''Aufgabe: Zuordnung - Gruppe'''</big>


Du hast hier 3 verschiedene quadratische Funktionen in Normalform gegeben. Ordne der jeweiligen Normalform die einzelnen Schritte der quadratischen Ergänzung, bis hin zum Scheitelpunkt, zu. Es werden dabei jeder Funktionsgleichung 4 Schritte zugeordnet.   
Du hast drei verschiedene quadratische Funktionen in Normalform gegeben. Ordne der jeweiligen Normalform die einzelnen Schritte der quadratischen Ergänzung, bis hin zum Scheitelpunkt, zu. Dabei bekommt jede Funktionsgleichung vier Schritte zugeordnet.   




<div class="zuordnungs-quiz">
<div class="zuordnungs-quiz">
{|  
{|  
| f(x) = x<sup>2</sup> - 2x - 2 || f(x) = x<sup>2</sup> - 2x - 1<sup>2</sup> + 1<sup>2</sup> - 2 || f(x) = (x - 1)<sup>2</sup> - 1<sup>2</sup> - 2 || f(x) = (x - 1)<sup>2</sup> - 3 || <math>S(1\!\,|\!\,-3)</math> ||  
|f(x) = x<sup>2</sup> - 2x - 2||f(x) = x<sup>2</sup> - 2x - 1<sup>2</sup> + 1<sup>2</sup> - 2||f(x) = (x - 1)<sup>2</sup> - 1<sup>2</sup> - 2||f(x) = (x - 1)<sup>2</sup> - 3||S <math>[1|-3]</math>||
|-
|-
| f(x) = x<sup>2</sup> + 10x + 15 || f(x) = x<sup>2</sup> + 10x + 5<sup>2</sup> - 5<sup>2</sup> + 15 || f(x) = (x + 5)<sup>2</sup> - 5<sup>2</sup> + 15 || f(x) = (x + 5)<sup>2</sup> - 10 || <math>S(-5\!\,|\!\,-10)</math> ||
|f(x) = x<sup>2</sup> + 10x + 15||f(x) = x<sup>2</sup> + 10x + 5<sup>2</sup> - 5<sup>2</sup> + 15||f(x) = (x + 5)<sup>2</sup> - 5<sup>2</sup> + 15||f(x) = (x + 5)<sup>2</sup> - 10||S <math>[-5|-10]</math>||
|-
|-
| f(x) = x<sup>2</sup> + 6x || f(x) = x<sup>2</sup> + 6x + 3<sup>2</sup> - 3<sup>2</sup> || f(x) = (x + 3)<sup>2</sup> - 3<sup>2</sup> || f(x) = (x + 3)<sup>2</sup> - 9 || <math>S(-3\!\,|\!\,-9)</math> ||  
|f(x) = x<sup>2</sup> + 6x||f(x) = x<sup>2</sup> + 6x + 3<sup>2</sup> - 3<sup>2</sup>||f(x) = (x + 3)<sup>2</sup> - 3<sup>2</sup>||f(x) = (x + 3)<sup>2</sup> - 9||S <math> [-3|-9]</math>||
|}
|}
</div>
</div>
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Damit kennst du nun die unterschiedlichen Darstellungsformen für die quadratische Funktion. <br>
Damit kennst du nun die unterschiedlichen Darstellungsformen der quadratischen Funktion, die '''Scheitelpunkts-''' und '''Normalform'''. <br>
Es ist zum einen die Scheitelpunktsform und zum anderen die Normalform. <br>
In der nächsten Einheit lernst du dann einen neuen und auch den letzten Parameter kennen. <br>
In der nächsten Einheit lernst du dann einen neuen und auch den letzten Parameter kennen. <br>
Aber siehe selbst!! <br>
Aber siehe selbst!! <br>
{{TODO| MathML einsetzen}}

Aktuelle Version vom 23. April 2022, 17:51 Uhr

Lernpfad: Die Normalform "f(x) x2 + bx + c"
Quadratische Funktionen/Die Normalform h(x)

In diesem Lernpfad lernst du die Normalform kennen! Bearbeite den unten aufgeführten Lernpfad!

  • Von der Scheitelpunkts- zur Normalform
  • Von der Normal- zur Scheitelpunktsform



Im letzten Lernpfad hast du die Scheitelpunktsform "f(x) = (x - xs)2 + ys" kennen gelernt. Man kann die Scheitelpunktsform umformen und erhält dann die Normalform "f(x) x2 + bx + c". Wir wollen im Folgenden betrachten, wie man von der Scheitelpunkts- zur Normalform und von der Normal- zur Scheitelpunktsform gelangt.



STATION 1: Von der Scheitelpunkts- zur Normalform



Im Moment erkennt man noch kein Muster zwischen der Scheitelpunktsform "f(x) (x - xs)2 + ys" und der Normalform "f(x) x2 + bx + c".

Da die Umformung von der Scheitelpunkts- zur Normalform nicht besonders schwer ist, wirst du diese in der folgenden Aufgabe gleich selbst durchführen!


Aufgabe:

Du hast die Scheitelpunktsform "f(x) (x - 4)2 + 5" gegeben. Diese Form soll nun durch "Ausmultiplizieren" und "Zusammenfassen" der Terme
auf die Form "f(x) x2 + bx + c" gebracht werden.

Du hast die einzelnen Terme vorgegeben, bring sie in die richtige Reihenfolge!

Von der Scheitelpunktsform zur Normalform
1. y [x - xs]2 + ys
2. y [x - 4]2 + 5
3. y [x2 - 8x + 16] + 5
4. y x2 - 8x + 21
5. y x2 + bx + c














Merke

Die Normalform "f(x) x2 + bx + c" entsteht aus der Scheitelpunktsform "f(x) (x - xs)2 + ys" durch "Ausmultiplizieren" und "Zusammenfassen" der Terme.



STATION 2: Von der Normal- zur Scheitelpunktsform


Diese Umformung ist etwas schwieriger, aber du kennst sie bereits von früher!

In der letzten Lerneinheit hast du erfahren, welche Eigenschaften die Scheitelpunktsform hat. Du bist in der Lage, anhand dieser Form den Scheitelpunkt zu bestimmen.

Bei der Normalform "f(x) = x2 + bx + c" ist das nicht so einfach und wir wollen deshalb lernen, wie man die Normal- in die Scheitelpunktsform umformt.

Keine Angst, die Vorgehensweise ist dir bekannt, sie nennt sich quadratische Ergänzung und du hast sie bei der Extremwertbestimmung kennen gelernt.

Löse zur Wiederholung der quadratischen Ergänzung die folgende Zuordnung.

„Von der Scheitelpunktsform zur Normalform“:

Verfahren Beispiel
1. Normalform der Parabel: y x2 + 6x + 11
2. Vergleich mit a2 + 2ab + b2: y x2 + 2 x 3 + 11
3. Quadratische Ergänzung: y x2 + 6x + 32 - 32 + 11
4. Scheitelpunktsform: y [x + 3]2 + 2
5. Scheitelkoordinaten: S













Merke

Man gelangt mittels quadratischer Ergänzung von der Normalform "f(x) x2 + bx + c" zur Scheitelpunktsform "f(x) (x - xs)2 + ys".


Um das ein wenig einzuüben, löse die folgende Aufgabe!


Aufgabe: Zuordnung - Gruppe

Du hast drei verschiedene quadratische Funktionen in Normalform gegeben. Ordne der jeweiligen Normalform die einzelnen Schritte der quadratischen Ergänzung, bis hin zum Scheitelpunkt, zu. Dabei bekommt jede Funktionsgleichung vier Schritte zugeordnet.


f(x) = x2 - 2x - 2 f(x) = x2 - 2x - 12 + 12 - 2 f(x) = (x - 1)2 - 12 - 2 f(x) = (x - 1)2 - 3 S
f(x) = x2 + 10x + 15 f(x) = x2 + 10x + 52 - 52 + 15 f(x) = (x + 5)2 - 52 + 15 f(x) = (x + 5)2 - 10 S
f(x) = x2 + 6x f(x) = x2 + 6x + 32 - 32 f(x) = (x + 3)2 - 32 f(x) = (x + 3)2 - 9 S


Damit kennst du nun die unterschiedlichen Darstellungsformen der quadratischen Funktion, die Scheitelpunkts- und Normalform.
In der nächsten Einheit lernst du dann einen neuen und auch den letzten Parameter kennen.
Aber siehe selbst!!


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