Trigonometrische Funktionen/Einfluss von c: Unterschied zwischen den Versionen
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{{Box|1=Aufgabe C1|2= | {{Box|1=Aufgabe C1|2= | ||
<ggb_applet height="450" width="900" id="ypthxjcu" /> <br> | <ggb_applet height="450" width="900" id="ypthxjcu" /> <br> | ||
# Öffne dieses GeoGebra-Applet. Mit dem Schieberegler kannst du den Wert von <math> | # Öffne dieses GeoGebra-Applet. Mit dem Schieberegler kannst du den Wert von <math> c </math> ändern. <br> | ||
# Stelle den Schieberegler auf <math> | # Stelle den Schieberegler auf <math> c = 1 </math> ein. Wie ändert sich der Graph? <br> | ||
# Überlege dir, wie sich die Werte <math> | # Überlege dir, wie sich die Werte <math> c = 2 </math> und <math> c = -1 </math>, sowie <math> c = 0,5 </math> und <math> c = \frac{\pi}{2} </math> auf den Graphen auswirken und überprüfe deine Vermutung. <br> | ||
# Formuliere das Ergebnis deiner Untersuchungen. <br> | # Formuliere das Ergebnis deiner Untersuchungen. <br> | ||
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Man erhält den Graph der Funktion | Man erhält den Graph der Funktion | ||
:<math> x \rightarrow \sin ( x + c ) </math> | :<math> x \rightarrow \sin ( x + c ) </math> | ||
aus dem Graph der Sinusfunktion durch Verschiebung in Richtung der <math> | aus dem Graph der Sinusfunktion durch Verschiebung in Richtung der <math>x</math>-Achse. Genauer: | ||
* <span style="background-color:yellow;"> Ist <math> | * <span style="background-color:yellow;"> Ist <math>c</math> positiv, so wird der Graph der Sinusfunktion um den Betrag von <math> c </math> nach links verschoben. | ||
* <span style="background-color:yellow;"> Ist <math> | * <span style="background-color:yellow;"> Ist <math>c</math> negativ, so wird der Graph der Sinusfunktion um den Betrag von <math> c </math> nach rechts verschoben. | ||
<math> | <math>c</math> wird auch als Phasenverschiebung bezeichnet.|3=Merksatz}} | ||
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Eine mögliche formale Begründung: | Eine mögliche formale Begründung: | ||
<math> | <math>\sin( x + c )=0 </math> | ||
<math> \Leftrightarrow x + c = k \cdot \pi; k \in \Z </math> | <math> \Leftrightarrow x + c = k \cdot \pi; k \in \Z </math> | ||
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<math> \Leftrightarrow x = k \cdot \pi - c </math> | <math> \Leftrightarrow x = k \cdot \pi - c </math> | ||
Die Bestimmung der Nullstellen von <math> x \rightarrow \sin ( x + c ) </math> und Vergleich mit den Nullstellen der Sinuskurve zeigt, dass jeder Funktionswert für <math> | Die Bestimmung der Nullstellen von <math> x \rightarrow \sin ( x + c ) </math> und Vergleich mit den Nullstellen der Sinuskurve zeigt, dass jeder Funktionswert für <math>c > 0 </math> bereits ein Stück weiter links angenommen wird. Genauer, der Graph wird also für <math>c > 0</math> um <math>c </math> nach links verschoben und für <math>c < 0 </math> entsprechend nach rechts.}} | ||
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| <math> | | <math>c<-1; </math> | <math> -1<c<0; </math> | <math> 0<c<1; </math> | <math> 1<c</math> | ||
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++-- Verschiebung nach rechts | ++-- Verschiebung nach rechts | ||
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---- Streckung in <math> | ---- Streckung in <math> x </math>- Richtung / Verkleinerung der Frequenz | ||
---- Stauchung in <math> | ---- Stauchung in <math> x </math>- Richtung / Vergrößerung der Frequenz | ||
---- Streckung in <math> | ---- Streckung in <math> y </math>- Richtung / Vergrößerung der Amplitude | ||
---- Stauchung in <math> | ---- Stauchung in <math> y </math>- Richtung / Verkleinerung der Amplitude | ||
---- Spiegelung an <math> | ---- Spiegelung an <math> x </math>- Achse | ||
---- Spiegelung an <math> | ---- Spiegelung an <math> y </math>- Achse | ||
</quiz> | </quiz> | ||
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Nun betrachten wir den Einfluss von <math> | Nun betrachten wir den Einfluss von <math> c </math> in | ||
:<math> x \rightarrow \cos ( x + c ) </math>. | :<math> x \rightarrow \cos ( x + c ) </math>. | ||
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Die allgemeine Kosinusfunktion verhält sich bei Variation von <math> | Die allgemeine Kosinusfunktion verhält sich bei Variation von <math> c </math> genauso wie die allgemeine Sinusfunktion. | ||
[[Bild:N_cos_c.jpg|center]]}} | [[Bild:N_cos_c.jpg|center]]}} | ||
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Aktuelle Version vom 23. April 2022, 16:28 Uhr
FAQ
Hier kannst du die Bedeutung der verwendeten Begriffe nachschlagen.
Einfluss von c
Wir betrachten nun den Einfluss von in
- .
Aufgabe C1
- Öffne dieses GeoGebra-Applet. Mit dem Schieberegler kannst du den Wert von ändern.
- Stelle den Schieberegler auf ein. Wie ändert sich der Graph?
- Überlege dir, wie sich die Werte und , sowie und auf den Graphen auswirken und überprüfe deine Vermutung.
- Formuliere das Ergebnis deiner Untersuchungen.
Merke
Man erhält den Graph der Funktion
aus dem Graph der Sinusfunktion durch Verschiebung in Richtung der -Achse. Genauer:
- Ist positiv, so wird der Graph der Sinusfunktion um den Betrag von nach links verschoben.
- Ist negativ, so wird der Graph der Sinusfunktion um den Betrag von nach rechts verschoben.
Aufgabe C2
Versuche nun die beobachteten Veränderungen auch mathematisch zu begründen!
Hier genügt es, wenn du diese Aufgabe mit Hilfe von Plausibilitätsüberlegungen gelöst hast. Eine formale Begründung war nicht notwendig.
Eine mögliche formale Begründung:
Die Bestimmung der Nullstellen von und Vergleich mit den Nullstellen der Sinuskurve zeigt, dass jeder Funktionswert für bereits ein Stück weiter links angenommen wird. Genauer, der Graph wird also für um nach links verschoben und für entsprechend nach rechts.
Aufgabe C3
Teste dich! Klicke im folgenden Quiz auf die richtigen Zuordnungen!
Nun betrachten wir den Einfluss von in
- .
Aufgabe C4
Öffne dieses GeoGebra-Applet und bearbeite damit die Aufgabe C1 noch einmal für .
Die allgemeine Kosinusfunktion verhält sich bei Variation von genauso wie die allgemeine Sinusfunktion.
Hefteintrag: Beachte, dass in der Lösung zur Aufgabe C1 ein Hefteintrag "versteckt" ist!
