Trigonometrische Funktionen/Einfluss von c

FAQ

Hier kannst du die Bedeutung der verwendeten Begriffe nachschlagen.

Einfluss von c

Wir betrachten nun den Einfluss von $c$ in

$x \rightarrow \sin ( x + c )$.

Aufgabe C1

1. Öffne dieses GeoGebra-Applet. Mit dem Schieberegler kannst du den Wert von $c$ ändern.
   
2. Stelle den Schieberegler auf $c = 1$ ein. Wie ändert sich der Graph?
   
3. Überlege dir, wie sich die Werte $c = 2$ und $c = -1$, sowie $c = 0,5$ und $c = \frac{\pi}{2}$ auf den Graphen auswirken und überprüfe deine Vermutung.
   
4. Formuliere das Ergebnis deiner Untersuchungen.
   

Merke

Man erhält den Graph der Funktion

$x \rightarrow \sin ( x + c )$

aus dem Graph der Sinusfunktion durch Verschiebung in Richtung der $x$-Achse. Genauer:

• Ist $c$ positiv, so wird der Graph der Sinusfunktion um den Betrag von $c$ nach links verschoben.
• Ist $c$ negativ, so wird der Graph der Sinusfunktion um den Betrag von $c$ nach rechts verschoben.

$c$ wird auch als Phasenverschiebung bezeichnet.

Aufgabe C2

Versuche nun die beobachteten Veränderungen auch mathematisch zu begründen!

Hier genügt es, wenn du diese Aufgabe mit Hilfe von Plausibilitätsüberlegungen gelöst hast. Eine formale Begründung war nicht notwendig.

Eine mögliche formale Begründung:

$\sin( x + c )=0$

$\Leftrightarrow x + c = k \cdot \pi; k \in \Z$

$\Leftrightarrow x = k \cdot \pi - c$

Die Bestimmung der Nullstellen von $x \rightarrow \sin ( x + c )$ und Vergleich mit den Nullstellen der Sinuskurve zeigt, dass jeder Funktionswert für $c > 0$ bereits ein Stück weiter links angenommen wird. Genauer, der Graph wird also für $c > 0$ um $c$ nach links verschoben und für $c < 0$ entsprechend nach rechts.

Aufgabe C3

Teste dich! Klicke im folgenden Quiz auf die richtigen Zuordnungen!

$c<-1;$	$-1<c<0;$	$0<c<1;$	$1<c$
				Verschiebung nach oben
				Verschiebung nach unten
				Verschiebung nach rechts
				Verschiebung nach links
				Streckung in $x$- Richtung / Verkleinerung der Frequenz
				Stauchung in $x$- Richtung / Vergrößerung der Frequenz
				Streckung in $y$- Richtung / Vergrößerung der Amplitude
				Stauchung in $y$- Richtung / Verkleinerung der Amplitude
				Spiegelung an $x$- Achse
				Spiegelung an $y$- Achse

Nun betrachten wir den Einfluss von $c$ in

$x \rightarrow \cos ( x + c )$.

Aufgabe C4

Öffne dieses GeoGebra-Applet und bearbeite damit die Aufgabe C1 noch einmal für $cos$.

Die allgemeine Kosinusfunktion verhält sich bei Variation von $c$ genauso wie die allgemeine Sinusfunktion.

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Hefteintrag: Beachte, dass in der Lösung zur Aufgabe C1 ein Hefteintrag "versteckt" ist!

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